1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}= -2$,$x_{2}= 4$,则 $m + n$ 等于( )

A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$25$

A

解：由根与系数的关系得
$x_{1}+x_{2}=-m$，$x_{1}x_{2}=n$
$\because x_{1}=-2$，$x_{2}=4$
$\therefore -2 + 4=-m$，$-2×4=n$
解得$m=-2$，$n=-8$
$\therefore m + n=-2+(-8)=-10$
A

2. 已知一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c$ 为常数)的两个根为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______,$ax_{1}^{2}+bx_{1}+c= $______,$ax_{2}^{2}+bx_{2}+c= $______。

$-\dfrac{b}{a}$;$\dfrac{c}{a}$;0;0.

3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x + c = 0$ 的一个根为 $-1$,则另一个根是______。

4

设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$，根据韦达定理，两根之和为$3$。
已知一个根为$-1$，则$-1 + x_1 = 3$，解得$x_1 = 4$。
4

4. 解下列方程：
(1) $(x - 1)^{2}= 3$；
(2) $x^{2}-3x = 0$。

（1）$x_{1}=1+\sqrt{3}$,$x_{2}=1-\sqrt{3}$;（2）$x_{1}=0$,$x_{2}=3$.

(1) $(x - 1)^{2}= 3$
$x - 1 = \pm\sqrt{3}$
$x = 1\pm\sqrt{3}$
$x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1-\sqrt{3}$
(2) $x^{2}-3x = 0$
$x(x - 3)=0$
$x = 0$或$x - 3 = 0$
$x_{1}=0$，$x_{2}=3$

问题 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx + 2m - 1 = 0$ 的两个实数根的平方和为 $23$,求 $m$ 的值。
名师指导
可以设该方程的两根分别为 $x_{1},x_{2}$,则由一元二次方程根与系数的关系可知 $x_{1}+x_{2}= m$,$x_{1}x_{2}= 2m - 1$。由 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 23$ 可得关于 $m$ 的方程,求得 $m$ 的值后要代入判别式检验。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

$-3$

设方程$x^2 - mx + 2m - 1 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$。
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = m$，$x_1x_2 = 2m - 1$。
因为$x_1^2 + x_2^2 = 23$，又$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，所以：
$m^2 - 2(2m - 1) = 23$
整理得：$m^2 - 4m + 2 = 23$，即$m^2 - 4m - 21 = 0$
因式分解得：$(m - 7)(m + 3) = 0$，解得$m = 7$或$m = -3$
方程有两个实数根，需$\Delta \geq 0$，$\Delta = (-m)^2 - 4×1×(2m - 1) = m^2 - 8m + 4$
当$m = 7$时，$\Delta = 7^2 - 8×7 + 4 = -3 ＜ 0$，舍去；
当$m = -3$时，$\Delta = (-3)^2 - 8×(-3) + 4 = 37 ＞ 0$，符合题意。
综上，$m = -3$