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问题 如图（1），$AB$是$\odot O$的一条弦，点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD$是$\odot O$的直径，过点$C$的直线$l$交$AB$所在直线于$E$，交$\odot O$于$F$。
（1）猜想图中$\angle CEB$与$\angle D$的关系（不必证明）；
（2）操作：将直线$l$绕点$C$旋转（不与$CD$重合），在旋转过程中，点$E$、点$F$的位置也随之变化，请你在两个备用图中分别画出$l$在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，并标上相应的字母；
（3）在你画出的两个图形中，选出其中一个图形证明你的猜想。
名师指导
（1）由已知条件得两个有公共锐角的$Rt\triangle CEG$与$Rt\triangle CDF$；（2）由于是直线$l$交$AB$所在直线于$E$，所以可将点$E$取在$BG$上或$BA$的延长线上或$AB$的延长线上；（3）证明思路与（1）类似。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
（1）猜想图中$\angle CEB$与$\angle D$的关系（不必证明）；
（2）操作：将直线$l$绕点$C$旋转（不与$CD$重合），在旋转过程中，点$E$、点$F$的位置也随之变化，请你在两个备用图中分别画出$l$在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，并标上相应的字母；
（3）在你画出的两个图形中，选出其中一个图形证明你的猜想。
名师指导
（1）由已知条件得两个有公共锐角的$Rt\triangle CEG$与$Rt\triangle CDF$；（2）由于是直线$l$交$AB$所在直线于$E$，所以可将点$E$取在$BG$上或$BA$的延长线上或$AB$的延长线上；（3）证明思路与（1）类似。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
（1）∠CEB=∠D。
（2）如图所示（图形描述：第一个图中直线l交AB延长线于E（A右侧），交⊙O于F（C右下方）；第二个图中直线l交BA延长线于E（B左侧），交⊙O于F（C左下方））。
（3）选第一个图形证明：
连接BC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD是⊙O的直径，
∴CD⊥AB（平分弧的直径垂直平分弦），设垂足为G，则∠CGB=90°，
∴∠CEB+∠GCE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BCD+∠D=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠GCE=∠BCD（公共角），
∴∠CEB=∠D（等角的余角相等）。
（2）如图所示（图形描述：第一个图中直线l交AB延长线于E（A右侧），交⊙O于F（C右下方）；第二个图中直线l交BA延长线于E（B左侧），交⊙O于F（C左下方））。
（3）选第一个图形证明：
连接BC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD是⊙O的直径，
∴CD⊥AB（平分弧的直径垂直平分弦），设垂足为G，则∠CGB=90°，
∴∠CEB+∠GCE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BCD+∠D=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠GCE=∠BCD（公共角），
∴∠CEB=∠D（等角的余角相等）。
1. 如图，已知点$A$，$B$，$C$，$P$都在$\odot O$上，$AC$是$\odot O$的直径，若$\angle ACB = 40^{\circ}$，则$\angle BPC$的度数是（ ）
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$
答案
C
解析
证明：
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$\angle ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$\angle ACB=40°$，
∴$\angle BAC=180°-\angle ABC-\angle ACB=180°-90°-40°=50°$。
∵$\angle BPC$与$\angle BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$\angle BPC=\angle BAC=50°$。
C
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$\angle ABC=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$\angle ACB=40°$，
∴$\angle BAC=180°-\angle ABC-\angle ACB=180°-90°-40°=50°$。
∵$\angle BPC$与$\angle BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$\angle BPC=\angle BAC=50°$。
C
2. 如图，$\odot O$的半径为$3$，弦$MN = 2\sqrt{3}$，$Rt\triangle ABC$的直角顶点$B$在弦$MN$上运动（可与点$M$，$N$重合），点$A$，$C$始终在$\odot O$上，且$AB = 3$。关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点$B$与点$M$，点$N$重合时，$\angle C$的度数是$30^{\circ}$。”
淇淇说：“连接$OA$，当$OA$与弦$MN$平行时，点$B$到$OA$的距离为$2$。”
A.嘉嘉正确，淇淇错误
B.嘉嘉错误，淇淇正确
C.嘉嘉正确，淇淇也正确
D.嘉嘉错误，淇淇也错误
嘉嘉说：“当点$B$与点$M$，点$N$重合时，$\angle C$的度数是$30^{\circ}$。”
淇淇说：“连接$OA$，当$OA$与弦$MN$平行时，点$B$到$OA$的距离为$2$。”
A.嘉嘉正确，淇淇错误
B.嘉嘉错误，淇淇正确
C.嘉嘉正确，淇淇也正确
D.嘉嘉错误，淇淇也错误
答案
A
解析
嘉嘉说法判断：
1. 当点$B$与点$M$重合时：
连接$OA$，$OM$，则$OA=OM=3$（半径），$AB=3$，$MN=2\sqrt{3}$。
在$\triangle OMN$中，过$O$作$OH\perp MN$于$H$，则$MH=\sqrt{3}$，$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AB=3$，$AC$为$\odot O$的弦。
当$B=M$时，$AB=AM=3$，$OA=OM=3$，$\triangle OAM$为等腰三角形。
由余弦定理：$\cos\angle OAM=\frac{OA^2+AM^2-OM^2}{2\cdot OA\cdot AM}=\frac{9+9-9}{2×3×3}=\frac{1}{2}$，故$\angle OAM=60°$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=60°$，则$\angle C=30°$。
2. 当点$B$与点$N$重合时：
同理可证$\angle C=30°$。
嘉嘉说法正确。
淇淇说法判断：
1. 当$OA// MN$时：
过$O$作$OH\perp MN$于$H$，则$OH=\sqrt{6}$（已证）。
因$OA// MN$，$OH\perp MN$，故$OH\perp OA$，$OH$为$OA$与$MN$的距离。
点$B$在$MN$上，点$B$到$OA$的距离等于$OH$或$|OH - AB\sin\theta|$（$\theta$为$AB$与$MN$夹角），但$AB=3$，$OH=\sqrt{6}\approx2.45$，而$3＞\sqrt{6}$，实际距离不为$2$。
淇淇说法错误。
结论：嘉嘉正确，淇淇错误。
$\boxed{A}$
1. 当点$B$与点$M$重合时：
连接$OA$，$OM$，则$OA=OM=3$（半径），$AB=3$，$MN=2\sqrt{3}$。
在$\triangle OMN$中，过$O$作$OH\perp MN$于$H$，则$MH=\sqrt{3}$，$OH=\sqrt{OM^2-MH^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AB=3$，$AC$为$\odot O$的弦。
当$B=M$时，$AB=AM=3$，$OA=OM=3$，$\triangle OAM$为等腰三角形。
由余弦定理：$\cos\angle OAM=\frac{OA^2+AM^2-OM^2}{2\cdot OA\cdot AM}=\frac{9+9-9}{2×3×3}=\frac{1}{2}$，故$\angle OAM=60°$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=60°$，则$\angle C=30°$。
2. 当点$B$与点$N$重合时：
同理可证$\angle C=30°$。
嘉嘉说法正确。
淇淇说法判断：
1. 当$OA// MN$时：
过$O$作$OH\perp MN$于$H$，则$OH=\sqrt{6}$（已证）。
因$OA// MN$，$OH\perp MN$，故$OH\perp OA$，$OH$为$OA$与$MN$的距离。
点$B$在$MN$上，点$B$到$OA$的距离等于$OH$或$|OH - AB\sin\theta|$（$\theta$为$AB$与$MN$夹角），但$AB=3$，$OH=\sqrt{6}\approx2.45$，而$3＞\sqrt{6}$，实际距离不为$2$。
淇淇说法错误。
结论：嘉嘉正确，淇淇错误。
$\boxed{A}$
