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1. 在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,∠AOB的位置如图,到∠AOB两边距离相等的点应是().
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
A
解析
【分析】
解题的核心依据是角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。因此我们需要先判断∠AOB的角平分线在网格中的大致走向，再看四个点中哪个点落在角平分线上，该点就是到∠AOB两边距离相等的点。结合网格特征观察位置的方法解题更简便。
【解析】
根据角平分线的判定与性质：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，同时角平分线上的点到角两边的距离相等。
观察网格中∠AOB的位置，可直观判断出点M落在∠AOB的角平分线上，因此点M到OA、OB两边的距离相等。
其余点验证：点P、Q距离OA更近，到OB的距离更远，两边距离不相等；点N距离OB更近，到OA的距离更远，两边距离不相等，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定、角平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何概念应用题，结合网格考查角平分线的相关定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定，能结合网格特征快速定位角平分线的位置，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。因此我们需要先判断∠AOB的角平分线在网格中的大致走向，再看四个点中哪个点落在角平分线上，该点就是到∠AOB两边距离相等的点。结合网格特征观察位置的方法解题更简便。
【解析】
根据角平分线的判定与性质：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，同时角平分线上的点到角两边的距离相等。
观察网格中∠AOB的位置，可直观判断出点M落在∠AOB的角平分线上，因此点M到OA、OB两边的距离相等。
其余点验证：点P、Q距离OA更近，到OB的距离更远，两边距离不相等；点N距离OB更近，到OA的距离更远，两边距离不相等，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定、角平分线的性质
【点评】
本题是基础的几何概念应用题，结合网格考查角平分线的相关定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定，能结合网格特征快速定位角平分线的位置，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.8
2.如图,点P在∠AOB内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC = 3 cm,当PD = cm时,点P在∠AOB的平分线上.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
本题需利用角平分线的判定定理解题，解题思路如下：首先明确角平分线的判定规则：角的内部到角的两条边距离相等的点，在角的平分线上。题中PC是点P到OA边的垂线段长度（即P到OA的距离），PD是点P到OB边的垂线段长度（即P到OB的距离），若要点P在∠AOB的平分线上，只需两个距离相等，结合已知PC的长度即可求出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
已知PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC为点P到OA的距离，PD为点P到OB的距离。
当点P在∠AOB的平分线上时，满足PD=PC，
∵PC=3cm，
∴PD=3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查角平分线判定定理的正向运用，解题的关键是牢记定理内容，明确点到角两边的距离指的是垂线段的长度，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题需利用角平分线的判定定理解题，解题思路如下：首先明确角平分线的判定规则：角的内部到角的两条边距离相等的点，在角的平分线上。题中PC是点P到OA边的垂线段长度（即P到OA的距离），PD是点P到OB边的垂线段长度（即P到OB的距离），若要点P在∠AOB的平分线上，只需两个距离相等，结合已知PC的长度即可求出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
已知PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC为点P到OA的距离，PD为点P到OB的距离。
当点P在∠AOB的平分线上时，满足PD=PC，
∵PC=3cm，
∴PD=3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查角平分线判定定理的正向运用，解题的关键是牢记定理内容，明确点到角两边的距离指的是垂线段的长度，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$DE ⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$，且$DB=DC$，$BE=CF$。求证：$AD$是$∠ BAC$的平分线。
答案
证明：
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}DB = DC \\BE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}DB = DC \\BE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
解析
【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE和DF相等即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC，且给出DB=DC、BE=CF的条件，可先通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，最终推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}DB = DC \\BE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形性质，角平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将角平分线的证明转化为点到角两边的距离相等的证明，需要熟练掌握HL定理的适用条件和角平分线的判定定理，理清证明逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要证明AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE和DF相等即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC，且给出DB=DC、BE=CF的条件，可先通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，最终推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ E = ∠ DFC = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}DB = DC \\BE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ 点$D$在$∠ BAC$的平分线上，
即$AD$是$∠ BAC$的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形性质，角平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将角平分线的证明转化为点到角两边的距离相等的证明，需要熟练掌握HL定理的适用条件和角平分线的判定定理，理清证明逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
4. (2024 昆明期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°,DE⊥ AC$于点$E,DF// AC$交$AB$于点$F$.若$DE=DB$,则下列结论: 
①$AB=AE$;②$AD$平分$∠ BAC$;③$∠ C+∠ AFD=180°$;④$△ BDF≌△ ECD$.其中正确的有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$AB=AE$;②$AD$平分$∠ BAC$;③$∠ C+∠ AFD=180°$;④$△ BDF≌△ ECD$.其中正确的有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
我们可以逐个验证4个结论是否成立：首先根据已知DB⊥AB、DE⊥AC且DE=DB，结合角平分线的判定定理可先判断结论②；再利用HL证明Rt△ABD和Rt△AED全等，可判断结论①；接下来根据平行线的性质和三角形外角的性质推导∠C与∠AFD的数量关系，判断结论③；最后分析△BDF和△ECD的已知条件，看是否满足全等三角形的判定要求，判断结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 验证结论②：
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，又
∵DE⊥AC，且DE=DB，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC，故②正确。
2. 验证结论①：
在$Rt△ ABD$和$Rt△ AED$中：
$\begin{cases} AD=AD \quad (\mathrm{公共边}) \\ DB=DE \quad (\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴$Rt△ ABD ≌ Rt△ AED \ (\mathrm{HL})$，
∴对应边$AB=AE$，故①正确。
3. 验证结论③：
∵$DF // AC$，
∴$∠ FDB = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∵$∠ AFD$是$△ FBD$的外角，$∠ B=90°$，
∴$∠ AFD = ∠ B + ∠ FDB = 90° + ∠ C$，
则$∠ C + ∠ AFD = 90° + 2∠ C$，仅当$∠ C=45°$时和为180°，不是恒成立，故③错误。
4. 验证结论④：
在$△ BDF$和$△ ECD$中，仅已知$∠ B=∠ DEC=90°$，$BD=DE$，$∠ FDB=∠ C$，缺少对应边相等的条件，无法证明两个三角形全等，故④错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需结合已知条件逐个推导结论，注意判定全等三角形必须有边相等的条件，不能仅凭角相等就判定全等，同时不要默认题目未给出的数量关系成立。
【难度系数】
0.7
我们可以逐个验证4个结论是否成立：首先根据已知DB⊥AB、DE⊥AC且DE=DB，结合角平分线的判定定理可先判断结论②；再利用HL证明Rt△ABD和Rt△AED全等，可判断结论①；接下来根据平行线的性质和三角形外角的性质推导∠C与∠AFD的数量关系，判断结论③；最后分析△BDF和△ECD的已知条件，看是否满足全等三角形的判定要求，判断结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 验证结论②：
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，又
∵DE⊥AC，且DE=DB，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC，故②正确。
2. 验证结论①：
在$Rt△ ABD$和$Rt△ AED$中：
$\begin{cases} AD=AD \quad (\mathrm{公共边}) \\ DB=DE \quad (\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴$Rt△ ABD ≌ Rt△ AED \ (\mathrm{HL})$，
∴对应边$AB=AE$，故①正确。
3. 验证结论③：
∵$DF // AC$，
∴$∠ FDB = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∵$∠ AFD$是$△ FBD$的外角，$∠ B=90°$，
∴$∠ AFD = ∠ B + ∠ FDB = 90° + ∠ C$，
则$∠ C + ∠ AFD = 90° + 2∠ C$，仅当$∠ C=45°$时和为180°，不是恒成立，故③错误。
4. 验证结论④：
在$△ BDF$和$△ ECD$中，仅已知$∠ B=∠ DEC=90°$，$BD=DE$，$∠ FDB=∠ C$，缺少对应边相等的条件，无法证明两个三角形全等，故④错误。
综上，正确的结论为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需结合已知条件逐个推导结论，注意判定全等三角形必须有边相等的条件，不能仅凭角相等就判定全等，同时不要默认题目未给出的数量关系成立。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC$ 的平分线与 $△ ABC$ 的外角平分线交于点 $P$，$PD ⊥ AC$ 于点 $D$，$PH ⊥ BA$，交 $BA$ 的延长线于点 $H$。
(1) 若 $PH = 8\ \mathrm{cm}$，求点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离；
(2) 求证：点 $P$ 在 $∠ HAC$ 的平分线上。
(1) 若 $PH = 8\ \mathrm{cm}$，求点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离；
(2) 求证：点 $P$ 在 $∠ HAC$ 的平分线上。
答案
(1) 解：
过点$ P $作$ PF ⊥ BE $于点$ F $。
∵ $ BP $平分$ ∠ ABC $，$ PH ⊥ BA $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PF = PH $。
∵ $ PH = 8\ \mathrm{cm} $，
∴ $ PF = 8\ \mathrm{cm} $，
即点$ P $到直线$ BC $的距离为$ 8\ \mathrm{cm} $。
---
(2) 证明：
∵ $ CP $平分$ ∠ ACE $，$ PD ⊥ AC $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PD = PF $。
由(1)可知$ PF = PH $，
∴ $ PD = PH $。
又∵ $ PD ⊥ AC $，$ PH ⊥ AH $，
即点$ P $到$ ∠ HAC $的两边$ AH $、$ AC $的距离相等，
∴ 由角平分线的判定定理可得：点$ P $在$ ∠ HAC $的平分线上。
过点$ P $作$ PF ⊥ BE $于点$ F $。
∵ $ BP $平分$ ∠ ABC $，$ PH ⊥ BA $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PF = PH $。
∵ $ PH = 8\ \mathrm{cm} $，
∴ $ PF = 8\ \mathrm{cm} $，
即点$ P $到直线$ BC $的距离为$ 8\ \mathrm{cm} $。
---
(2) 证明：
∵ $ CP $平分$ ∠ ACE $，$ PD ⊥ AC $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PD = PF $。
由(1)可知$ PF = PH $，
∴ $ PD = PH $。
又∵ $ PD ⊥ AC $，$ PH ⊥ AH $，
即点$ P $到$ ∠ HAC $的两边$ AH $、$ AC $的距离相等，
∴ 由角平分线的判定定理可得：点$ P $在$ ∠ HAC $的平分线上。
解析
【分析】
(1) 要求点P到直线BC的距离，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作BC的垂线PF，结合BP是∠ABC的平分线、PH垂直BA，可得PF与PH相等，代入PH的数值即可得到结果。
(2) 要证明点P在∠HAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点P到∠HAC两边AH、AC的距离相等，即PH=PD。先利用CP是外角平分线的性质得到PD=PF，再结合(1)的结论PF=PH，即可推出PD=PH，进而证明结论。
【解析】
(1) 过点$ P $作$ PF ⊥ BE $于点$ F $。
∵ $ BP $平分$ ∠ ABC $，$ PH ⊥ BA $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PF = PH $。
∵ $ PH = 8\ \mathrm{cm} $，
∴ $ PF = 8\ \mathrm{cm} $，
即点$ P $到直线$ BC $的距离为$ 8\ \mathrm{cm} $。
(2) 证明：
∵ $ CP $平分$ ∠ ACE $，$ PD ⊥ AC $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PD = PF $。
由(1)可知$ PF = PH $，
∴ $ PD = PH $。
又
∵ $ PD ⊥ AC $，$ PH ⊥ AH $，
即点$ P $到$ ∠ HAC $的两边$ AH $、$ AC $的距离相等，
∴ 由角平分线的判定定理可得：点$ P $在$ ∠ HAC $的平分线上。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$；
(2) 证明如上。
【知识点】
1.角平分线的性质
2.角平分线的判定
3.点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合基础题，解题关键是合理构造辅助线，利用角平分线的性质得到相等的垂线段，再结合判定定理完成证明，要注意区分性质和判定的使用场景：已知角平分线求等线段用性质，已知等线段证角平分线用判定。
【难度系数】
0.7
(1) 要求点P到直线BC的距离，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作BC的垂线PF，结合BP是∠ABC的平分线、PH垂直BA，可得PF与PH相等，代入PH的数值即可得到结果。
(2) 要证明点P在∠HAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点P到∠HAC两边AH、AC的距离相等，即PH=PD。先利用CP是外角平分线的性质得到PD=PF，再结合(1)的结论PF=PH，即可推出PD=PH，进而证明结论。
【解析】
(1) 过点$ P $作$ PF ⊥ BE $于点$ F $。
∵ $ BP $平分$ ∠ ABC $，$ PH ⊥ BA $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PF = PH $。
∵ $ PH = 8\ \mathrm{cm} $，
∴ $ PF = 8\ \mathrm{cm} $，
即点$ P $到直线$ BC $的距离为$ 8\ \mathrm{cm} $。
(2) 证明：
∵ $ CP $平分$ ∠ ACE $，$ PD ⊥ AC $，$ PF ⊥ BE $，
∴ 由角平分线的性质得：$ PD = PF $。
由(1)可知$ PF = PH $，
∴ $ PD = PH $。
又
∵ $ PD ⊥ AC $，$ PH ⊥ AH $，
即点$ P $到$ ∠ HAC $的两边$ AH $、$ AC $的距离相等，
∴ 由角平分线的判定定理可得：点$ P $在$ ∠ HAC $的平分线上。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$；
(2) 证明如上。
【知识点】
1.角平分线的性质
2.角平分线的判定
3.点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合基础题，解题关键是合理构造辅助线，利用角平分线的性质得到相等的垂线段，再结合判定定理完成证明，要注意区分性质和判定的使用场景：已知角平分线求等线段用性质，已知等线段证角平分线用判定。
【难度系数】
0.7
6. 如图,有三条公路两两相交,要选择一处地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有().
A.1种选择
B.2种选择
C.3种选择
D.4种选择
A.1种选择
B.2种选择
C.3种选择
D.4种选择
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。首先思考：到两条相交公路距离相等的点，一定在这两条公路夹角的角平分线上。现在要找同时到三条两两相交的公路距离相等的点，就需要找同时在三条公路两两夹角的角平分线上的点。我们分两种情况考虑：第一种是三条公路围成的三角形内部的点，第二种是三角形外部的点。内部的点是三个内角角平分线的交点，只有1个；外部的点是每两个外角的角平分线的交点，共有3个，两类相加就是总数量。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
我们分两类找符合要求的点：
1. 三条公路围成的三角形的内角平分线交点：三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，共1个点；
2. 三角形的外角平分线交点：任意两个外角的角平分线也会交于1点，该点到三条公路的距离也相等，这样的点共有3个。
因此符合条件的点总共有$1+3=4$个，即有4种选择。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题易错点是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点，从而误选A。解题时要注意全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。首先思考：到两条相交公路距离相等的点，一定在这两条公路夹角的角平分线上。现在要找同时到三条两两相交的公路距离相等的点，就需要找同时在三条公路两两夹角的角平分线上的点。我们分两种情况考虑：第一种是三条公路围成的三角形内部的点，第二种是三角形外部的点。内部的点是三个内角角平分线的交点，只有1个；外部的点是每两个外角的角平分线的交点，共有3个，两类相加就是总数量。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
我们分两类找符合要求的点：
1. 三条公路围成的三角形的内角平分线交点：三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，共1个点；
2. 三角形的外角平分线交点：任意两个外角的角平分线也会交于1点，该点到三条公路的距离也相等，这样的点共有3个。
因此符合条件的点总共有$1+3=4$个，即有4种选择。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题易错点是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点，从而误选A。解题时要注意全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
