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8. 当$a+b=3$，$ab=4$时，代数式$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$的值为
$\frac{3}{4}$
。答案
8. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$是异分母分式的加法，首先按照异分母分式加法的规则对其通分化简，化简后可以发现结果的分子、分母恰好对应题目给出的$a+b$和$ab$，因此无需单独求解a、b的具体数值，直接将已知条件整体代入即可算出结果，能避免不必要的计算。
【解析】
第一步，对所求代数式通分化简：
根据异分母分式加法法则，取公分母为$ab$，则：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{a+b}{ab}$
第二步，代入已知条件计算：
将$a+b=3$，$ab=4$代入$\dfrac{a+b}{ab}$，可得：
$\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
异分母分式加法，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是基础计算类题型，核心是掌握分式加法的运算规则，灵活运用整体代入的思想简化计算，不需要求解a、b的具体值就能快速得到结果。
【难度系数】
0.85
解题时先观察所求代数式的结构，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$是异分母分式的加法，首先按照异分母分式加法的规则对其通分化简，化简后可以发现结果的分子、分母恰好对应题目给出的$a+b$和$ab$，因此无需单独求解a、b的具体数值，直接将已知条件整体代入即可算出结果，能避免不必要的计算。
【解析】
第一步，对所求代数式通分化简：
根据异分母分式加法法则，取公分母为$ab$，则：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{a+b}{ab}$
第二步，代入已知条件计算：
将$a+b=3$，$ab=4$代入$\dfrac{a+b}{ab}$，可得：
$\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
异分母分式加法，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是基础计算类题型，核心是掌握分式加法的运算规则，灵活运用整体代入的思想简化计算，不需要求解a、b的具体值就能快速得到结果。
【难度系数】
0.85
9. 计算：
(1)
(2) $\frac{1}{a-2} + \frac{1}{a^2 - 2a}$
(3) $\frac{4a}{a^2 - 4} - \frac{2}{a + 2}$
(1)
(2) $\frac{1}{a-2} + \frac{1}{a^2 - 2a}$
(3) $\frac{4a}{a^2 - 4} - \frac{2}{a + 2}$
答案
(1) $\frac{2}{x-y}$ (2) $\frac{a+1}{a^2-2a}$ (3) $\frac{2}{a-2}$
解析
【分析】
这三道是分式加减法运算题，解题思路为：首先判断分式类型：同分母分式可直接分子相加减，分母保持不变；异分母分式先对分母因式分解，找到最简公分母，通分化为同分母分式后再做加减运算；最后对计算结果约分，化为最简分式。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，直接按同分母分式减法规则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x-2y}{(x-y)^2}\\&=\frac{2(x-y)}{(x-y)^2}\\&=\frac{2}{x-y}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解得$a^2-2a=a(a-2)$，最简公分母为$a(a-2)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{a-2}+\frac{1}{a(a-2)}\\&=\frac{a}{a(a-2)}+\frac{1}{a(a-2)}\\&=\frac{a+1}{a(a-2)}\\&=\frac{a+1}{a^2-2a}\end{aligned}$
(3) 先对分母因式分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，最简公分母为$(a+2)(a-2)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2}{a+2}\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{4a-2a+4}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2}{a-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{2}{x-y}$ (2) $\frac{a+1}{a^2-2a}$ (3) $\frac{2}{a-2}$
【知识点】
分式的加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，核心考查分式加减的运算规则，解题关键是准确判断分母类型、找准最简公分母，计算后要注意将结果化为最简形式，能很好地巩固分式运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
这三道是分式加减法运算题，解题思路为：首先判断分式类型：同分母分式可直接分子相加减，分母保持不变；异分母分式先对分母因式分解，找到最简公分母，通分化为同分母分式后再做加减运算；最后对计算结果约分，化为最简分式。
【解析】
(1) 两个分式为同分母分式，直接按同分母分式减法规则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2x-2y}{(x-y)^2}\\&=\frac{2(x-y)}{(x-y)^2}\\&=\frac{2}{x-y}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解得$a^2-2a=a(a-2)$，最简公分母为$a(a-2)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{a-2}+\frac{1}{a(a-2)}\\&=\frac{a}{a(a-2)}+\frac{1}{a(a-2)}\\&=\frac{a+1}{a(a-2)}\\&=\frac{a+1}{a^2-2a}\end{aligned}$
(3) 先对分母因式分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，最简公分母为$(a+2)(a-2)$，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2}{a+2}\\&=\frac{4a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{4a-2a+4}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2}{a-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{2}{x-y}$ (2) $\frac{a+1}{a^2-2a}$ (3) $\frac{2}{a-2}$
【知识点】
分式的加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，核心考查分式加减的运算规则，解题关键是准确判断分母类型、找准最简公分母，计算后要注意将结果化为最简形式，能很好地巩固分式运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
10. 先化简，再求值：$\frac{a^2 - a}{a^2 - 2a + 1} + \frac{1}{a - 1}$，其中$a=2$。
答案
10. 化简得$\frac{a+1}{a-1}$，当$a=2$时，原式=$\frac{2+1}{2-1}$=3
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分子、分母，判断是否可以因式分解，通过因式分解后约分可简化分式；第二步观察约分后两个分式的分母，发现属于同分母分式，按照同分母分式加法法则计算即可得到最简结果；第三步将a=2代入最简式计算数值，注意代入前需确认a的取值能让原分式所有分母不为0，本题a=2满足要求。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a - 1)}{(a - 1)^2} + \frac{1}{a - 1} \\&=\frac{a}{a - 1} + \frac{1}{a - 1} \\&=\frac{a + 1}{a - 1}\end{aligned}$
当$a=2$时，原分式所有分母均不为0，分式有意义，代入最简式得：
原式$=\frac{2 + 1}{2 - 1}=3$
【答案】
化简结果为$\frac{a+1}{a-1}$，求值结果为3
【知识点】
分式的约分；同分母分式加法；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先对分子分母因式分解完成约分，将原式转化为同分母分式再进行加减运算，代入数值前要注意验证所给数值是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分子、分母，判断是否可以因式分解，通过因式分解后约分可简化分式；第二步观察约分后两个分式的分母，发现属于同分母分式，按照同分母分式加法法则计算即可得到最简结果；第三步将a=2代入最简式计算数值，注意代入前需确认a的取值能让原分式所有分母不为0，本题a=2满足要求。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a - 1)}{(a - 1)^2} + \frac{1}{a - 1} \\&=\frac{a}{a - 1} + \frac{1}{a - 1} \\&=\frac{a + 1}{a - 1}\end{aligned}$
当$a=2$时，原分式所有分母均不为0，分式有意义，代入最简式得：
原式$=\frac{2 + 1}{2 - 1}=3$
【答案】
化简结果为$\frac{a+1}{a-1}$，求值结果为3
【知识点】
分式的约分；同分母分式加法；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先对分子分母因式分解完成约分，将原式转化为同分母分式再进行加减运算，代入数值前要注意验证所给数值是否使原分式有意义。
【难度系数】
0.8
11. 某数学兴趣小组在学习了分式之后，探究了分式的一种特殊变形. 例如：
$\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$. 他们把这种不改变分式的分母，在分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫作“分离常数法”. “分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法.
【知识理解】（1）请利用“分离常数法”将分式$\frac{3x-1}{x+1}$变形为$m+\frac{n}{x+1}$（其中$m$，$n$为常数），求$m$，$n$的值.
【能力提升】（2）若分式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，求满足条件的整数$x$的值.
$\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$. 他们把这种不改变分式的分母，在分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫作“分离常数法”. “分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法.
【知识理解】（1）请利用“分离常数法”将分式$\frac{3x-1}{x+1}$变形为$m+\frac{n}{x+1}$（其中$m$，$n$为常数），求$m$，$n$的值.
【能力提升】（2）若分式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，求满足条件的整数$x$的值.
答案
（1）原式=$\frac{3x+3-4}{x+1}=\frac{3x+3}{x+1}-\frac{4}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}-\frac{4}{x+1}=3-\frac{4}{x+1}$，
∴$m=3$，$n=-4$
（2）$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4x-4}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$.
∵$4+\frac{1}{x-1}$为整数，且$x$为整数，
∴$x-1=±1$，
∴$x=0$或$2$
∴$m=3$，$n=-4$
（2）$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4x-4}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$.
∵$4+\frac{1}{x-1}$为整数，且$x$为整数，
∴$x-1=±1$，
∴$x=0$或$2$
解析
【分析】
（1）按照题干给出的“分离常数法”的运算规则，将分子$3x-1$变形为含分母$x+1$的倍数与常数的组合形式，再拆分分式，即可得到$m$、$n$的值。
（2）先利用分离常数法把分式拆成常数加分子为常数的分式结构，要使分式的值为整数，仅需分子为1的分式部分为整数，即分母$x-1$是1的整数约数，列出所有可能的取值求解即可，同时需保证分母不为0。
【解析】
（1）对$\frac{3x-1}{x+1}$进行分离常数变形：
$\frac{3x-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-4}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}-\frac{4}{x+1}=3-\frac{4}{x+1}$
对比$m+\frac{n}{x+1}$的结构，可得$m=3$，$n=-4$。
（2）先对$\frac{4x-3}{x-1}$进行分离常数变形：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$
∵分式的值为整数，且$x$为整数，
∴$\frac{1}{x-1}$为整数，即$x-1$是1的整数因数，
∴$x-1=\pm1$，
解得$x=2$或$x=0$，且两个取值均满足分母$x-1≠0$，符合要求。
【答案】
（1）$m=3$，$n=-4$；
（2）满足条件的整数$x$的值为0或2。
【知识点】
分离常数法，分式的化简，整除的性质
【点评】
本题围绕新定义“分离常数法”设题，核心考查分式变形的技巧，解题的关键是掌握将分子构造为分母的倍数与常数的和的拆分方法，第二问结合整数整除的性质求解，侧重考查对新方法的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）按照题干给出的“分离常数法”的运算规则，将分子$3x-1$变形为含分母$x+1$的倍数与常数的组合形式，再拆分分式，即可得到$m$、$n$的值。
（2）先利用分离常数法把分式拆成常数加分子为常数的分式结构，要使分式的值为整数，仅需分子为1的分式部分为整数，即分母$x-1$是1的整数约数，列出所有可能的取值求解即可，同时需保证分母不为0。
【解析】
（1）对$\frac{3x-1}{x+1}$进行分离常数变形：
$\frac{3x-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-4}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}-\frac{4}{x+1}=3-\frac{4}{x+1}$
对比$m+\frac{n}{x+1}$的结构，可得$m=3$，$n=-4$。
（2）先对$\frac{4x-3}{x-1}$进行分离常数变形：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$
∵分式的值为整数，且$x$为整数，
∴$\frac{1}{x-1}$为整数，即$x-1$是1的整数因数，
∴$x-1=\pm1$，
解得$x=2$或$x=0$，且两个取值均满足分母$x-1≠0$，符合要求。
【答案】
（1）$m=3$，$n=-4$；
（2）满足条件的整数$x$的值为0或2。
【知识点】
分离常数法，分式的化简，整除的性质
【点评】
本题围绕新定义“分离常数法”设题，核心考查分式变形的技巧，解题的关键是掌握将分子构造为分母的倍数与常数的和的拆分方法，第二问结合整数整除的性质求解，侧重考查对新方法的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 化简$\dfrac{x^2 -2}{x-1} - \dfrac{1}{1-x}$的结果是（
A.$x+1$
B.$x$
C.$x-1$
D.$x-2$
A
）。A.$x+1$
B.$x$
C.$x-1$
D.$x-2$
答案
12. A
解析
【分析】
首先观察两个分式的分母，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，第一步先对第二个分式做符号变形，将两个分式的分母统一为$x-1$，转化为同分母分式的加法运算；再按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加；接下来对计算后的分子进行因式分解，最后约分即可得到化简结果。
【解析】
解：先对第二个分式变形：$\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$，因此原式可改写为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 2 + 1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\\&=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1} \quad (x≠1)\\&=x+1\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的关键是正确处理互为相反数的分母的符号变化，再按照运算法则逐步计算即可，易错点为第二个分式变形时符号出错。
【难度系数】
0.8
首先观察两个分式的分母，发现$x-1$和$1-x$互为相反数，第一步先对第二个分式做符号变形，将两个分式的分母统一为$x-1$，转化为同分母分式的加法运算；再按照同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加；接下来对计算后的分子进行因式分解，最后约分即可得到化简结果。
【解析】
解：先对第二个分式变形：$\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$，因此原式可改写为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{x^2 - 2}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 2 + 1}{x - 1}\\&=\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\\&=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1} \quad (x≠1)\\&=x+1\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的关键是正确处理互为相反数的分母的符号变化，再按照运算法则逐步计算即可，易错点为第二个分式变形时符号出错。
【难度系数】
0.8
13. 计算$\frac{x^2 + 2x}{x} - x$的结果是
2
。答案
13. 2
解析
【分析】
这是一道分式与整式的减法运算题，解题时可以先对可约分的分式进行化简，再计算整式的加减即可得到结果。首先观察第一个分式$\frac{x^2 + 2x}{x}$，分子可以提取公因式$x$，再利用分式的基本性质约去分母的$x$（原式有意义的前提下默认$x≠0$），将分式转化为整式后再做减法运算，过程更简便。
【解析】
解：在$x≠0$的前提下，对原式中的分式约分：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 2x}{x} - x&=\frac{x(x+2)}{x} - x\\&=x+2 -x\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
分式的约分、分式的减法运算、整式的加减
【点评】
本题属于基础运算题，解题时优先对能约分的分式先化简再计算，能大幅简化运算步骤，降低出错概率，核心是掌握分式约分的规则和整式加减的计算方法。
【难度系数】
0.9
这是一道分式与整式的减法运算题，解题时可以先对可约分的分式进行化简，再计算整式的加减即可得到结果。首先观察第一个分式$\frac{x^2 + 2x}{x}$，分子可以提取公因式$x$，再利用分式的基本性质约去分母的$x$（原式有意义的前提下默认$x≠0$），将分式转化为整式后再做减法运算，过程更简便。
【解析】
解：在$x≠0$的前提下，对原式中的分式约分：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 2x}{x} - x&=\frac{x(x+2)}{x} - x\\&=x+2 -x\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
分式的约分、分式的减法运算、整式的加减
【点评】
本题属于基础运算题，解题时优先对能约分的分式先化简再计算，能大幅简化运算步骤，降低出错概率，核心是掌握分式约分的规则和整式加减的计算方法。
【难度系数】
0.9
