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1.用代入消元法解二元一次方程组$\begin{cases}y=-x+2,① \\ 2x-3y=8②\end{cases}$时，将方程①代入②中，所得等式正确的是( )
A.$2x+3x-2=8$
B.$2x-3x-6=8$
C.$2x-3x+6=8$
D.$2x+3x-6=8$
A.$2x+3x-2=8$
B.$2x-3x-6=8$
C.$2x-3x+6=8$
D.$2x+3x-6=8$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入步骤，解题思路如下：首先明确代入消元的核心是将一个方程中用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的式子，替换另一个方程中对应的未知数，从而消去一个未知数。本题已经给出用含x的式子表示y的方程①，只需将①代入方程②，再按照去括号法则展开即可得到对应的等式，展开时要注意负号乘括号内各项的符号变化，同时不要漏乘括号内的常数项。
【解析】
将方程①$y=-x+2$代入方程②$2x-3y=8$中，把②中的$y$替换为$-x+2$，可得：
$2x - 3(-x + 2) = 8$
根据去括号法则展开括号：$-3$乘$-x$得$+3x$，$-3$乘$+2$得$-6$，因此等式变为：
$2x + 3x - 6 = 8$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；去括号法则
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，易错点为去括号时容易搞错符号或漏乘括号内的常数项，熟练掌握代入消元的操作步骤和去括号法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入步骤，解题思路如下：首先明确代入消元的核心是将一个方程中用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的式子，替换另一个方程中对应的未知数，从而消去一个未知数。本题已经给出用含x的式子表示y的方程①，只需将①代入方程②，再按照去括号法则展开即可得到对应的等式，展开时要注意负号乘括号内各项的符号变化，同时不要漏乘括号内的常数项。
【解析】
将方程①$y=-x+2$代入方程②$2x-3y=8$中，把②中的$y$替换为$-x+2$，可得：
$2x - 3(-x + 2) = 8$
根据去括号法则展开括号：$-3$乘$-x$得$+3x$，$-3$乘$+2$得$-6$，因此等式变为：
$2x + 3x - 6 = 8$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；去括号法则
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，易错点为去括号时容易搞错符号或漏乘括号内的常数项，熟练掌握代入消元的操作步骤和去括号法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2.由方程组$\begin{cases}x+n=6, \\ y-3=n\end{cases}$可得出$x$与$y$的关系式是( )
A.$x+y=9$
B.$x+y=3$
C.$x+y=-3$
D.$x+y=-9$
A.$x+y=9$
B.$x+y=3$
C.$x+y=-3$
D.$x+y=-9$
答案
2.A
解析
【分析】
要推导x与y的关系式，核心是消去方程组中的参数n。我们可以利用代入消元的思路，将其中一个方程里n的表达式代入另一个方程，或者用加减消元的思路，把两个方程左右两边分别相加消去n，整理后就能得到x和y的关系。
【解析】
方法一（代入消元法）：
由方程$y-3=n$，可得$n=y-3$，将其代入方程$x+n=6$中，得：
$x + (y - 3) = 6$
去括号得$x + y - 3 = 6$
移项合并得$x + y = 9$
方法二（加减消元法）：
将两个方程左右两边分别相加，得：
$(x + n) + (y - 3) = 6 + n$
化简左边为$x + y + n - 3$，等式两边同时减去$n$，得：
$x + y - 3 = 6$
整理得$x + y = 9$
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法，等式的基本性质，代数式化简
【点评】
本题考查消元思想的应用，消去中间参数n是解题的核心，两种消元方法都可快速求解，属于基础常规题，熟练掌握消元方法就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
要推导x与y的关系式，核心是消去方程组中的参数n。我们可以利用代入消元的思路，将其中一个方程里n的表达式代入另一个方程，或者用加减消元的思路，把两个方程左右两边分别相加消去n，整理后就能得到x和y的关系。
【解析】
方法一（代入消元法）：
由方程$y-3=n$，可得$n=y-3$，将其代入方程$x+n=6$中，得：
$x + (y - 3) = 6$
去括号得$x + y - 3 = 6$
移项合并得$x + y = 9$
方法二（加减消元法）：
将两个方程左右两边分别相加，得：
$(x + n) + (y - 3) = 6 + n$
化简左边为$x + y + n - 3$，等式两边同时减去$n$，得：
$x + y - 3 = 6$
整理得$x + y = 9$
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法，等式的基本性质，代数式化简
【点评】
本题考查消元思想的应用，消去中间参数n是解题的核心，两种消元方法都可快速求解，属于基础常规题，熟练掌握消元方法就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
3.若 $25^m × 2 × 10^n = 5^7 × 2^4$，则 $mn=$
6
。答案
3.6
解析
【分析】
解题时首先利用幂的乘方、积的乘方运算法则，将等式左侧的底数统一转化为2和5，再通过同底数幂的乘法法则整理左侧为$5^a×2^b$的形式；再根据“等式两边同底数幂的指数相等”，可得到关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后即可计算mn的结果。
【解析】
先对等式左侧变形：
∵$25^m=(5^2)^m=5^{2m}$，$10^n=(2×5)^n=2^n×5^n$
∴左边=$5^{2m}×2×2^n×5^n = 5^{2m+n}×2^{n+1}$
已知左边=$5^7×2^4$，根据同底数幂相等时指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + n = 7\\n + 1 = 4\end{cases}$
解第二个方程得：$n=4-1=3$
把$n=3$代入第一个方程：$2m +3=7$，解得$m=2$
∴$mn=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
幂的运算性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是幂的运算与二元一次方程组的综合基础题，解题核心是将等式两边转化为同底数幂相乘的形式，利用指数对应相等建立方程求解，是代数部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用幂的乘方、积的乘方运算法则，将等式左侧的底数统一转化为2和5，再通过同底数幂的乘法法则整理左侧为$5^a×2^b$的形式；再根据“等式两边同底数幂的指数相等”，可得到关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后即可计算mn的结果。
【解析】
先对等式左侧变形：
∵$25^m=(5^2)^m=5^{2m}$，$10^n=(2×5)^n=2^n×5^n$
∴左边=$5^{2m}×2×2^n×5^n = 5^{2m+n}×2^{n+1}$
已知左边=$5^7×2^4$，根据同底数幂相等时指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2m + n = 7\\n + 1 = 4\end{cases}$
解第二个方程得：$n=4-1=3$
把$n=3$代入第一个方程：$2m +3=7$，解得$m=2$
∴$mn=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
幂的运算性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是幂的运算与二元一次方程组的综合基础题，解题核心是将等式两边转化为同底数幂相乘的形式，利用指数对应相等建立方程求解，是代数部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
4.已知关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}3x + 2y = k + 1, \\x - 2y = 9\end{cases}$的解互为相反数，则k的值是 ______ 。
答案
4.2
解析
【分析】
首先明确题目隐含条件：二元一次方程组的解互为相反数，即x=-y（或x+y=0）。解题思路如下：第一步，利用隐含条件和不含参数k的方程x-2y=9，通过代入消元求出x、y的具体值；第二步，将求出的x、y代入含参数k的方程3x+2y=k+1，解一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
∵ 方程组的解x，y互为相反数
∴ x + y = 0，即y = -x
将y = -x代入方程x - 2y = 9，得：
$x - 2×(-x) = 9$
化简得：$3x = 9$，解得$x = 3$
则$y = -x = -3$
把$x=3$，$y=-3$代入$3x + 2y = k + 1$，得：
$3×3 + 2×(-3) = k + 1$
计算得：$9 - 6 = k + 1$
即$3 = k + 1$，解得$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；相反数的性质；代入消元法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二元一次方程组解的定义的理解，解题的关键是挖掘“解互为相反数”的隐含条件，优先求解不含参数的方程得到未知数的值，再代入求参数即可。
【难度系数】
0.7
首先明确题目隐含条件：二元一次方程组的解互为相反数，即x=-y（或x+y=0）。解题思路如下：第一步，利用隐含条件和不含参数k的方程x-2y=9，通过代入消元求出x、y的具体值；第二步，将求出的x、y代入含参数k的方程3x+2y=k+1，解一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
∵ 方程组的解x，y互为相反数
∴ x + y = 0，即y = -x
将y = -x代入方程x - 2y = 9，得：
$x - 2×(-x) = 9$
化简得：$3x = 9$，解得$x = 3$
则$y = -x = -3$
把$x=3$，$y=-3$代入$3x + 2y = k + 1$，得：
$3×3 + 2×(-3) = k + 1$
计算得：$9 - 6 = k + 1$
即$3 = k + 1$，解得$k = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；相反数的性质；代入消元法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二元一次方程组解的定义的理解，解题的关键是挖掘“解互为相反数”的隐含条件，优先求解不含参数的方程得到未知数的值，再代入求参数即可。
【难度系数】
0.7
5.定义一种新运算“※”:对于任意有理数x,y,都有x※y=ax−by(a,b为常数),等式右边是常规的乘法和减法运算。已知2※1=7,1※(−3)=7,则5※3=
17
。答案
5.17
解析
【分析】
本题是新定义运算类题型，解题思路清晰可分为三步：第一步，结合新运算“※”的定义规则，将已知的两个运算结果转化为关于参数a、b的等式，得到二元一次方程组；第二步，用代入消元或加减消元法求解二元一次方程组，得到a、b的具体数值，确定新运算的具体表达式；第三步，把x=5、y=3代入确定后的新运算表达式，计算得出最终结果。
【解析】
根据新运算的定义$x※y=ax-by$，将已知条件代入得：
1. 代入$2※1=7$，可得$2a - b = 7$ ①
2. 代入$1※(-3)=7$，可得$a + 3b = 7$ ②
联立①②得到二元一次方程组$\begin{cases}2a - b =7 \\a + 3b =7\end{cases}$，使用代入消元法求解：
由①式变形得$b=2a-7$，将其代入②式：
$a + 3×(2a-7)=7$
展开计算得$a+6a-21=7$，即$7a=28$，解得$a=4$
将$a=4$代入$b=2a-7$，得$b=2×4 -7=1$
因此新运算的具体表达式为$x※y=4x - y$
代入$x=5,y=3$计算：$5※3=4×5 -3=20-3=17$
【答案】
17
【知识点】
新定义运算；二元一次方程组的求解
【点评】
本题将新定义运算与二元一次方程组结合考查，解题核心是准确理解新运算的规则，将已知条件转化为常规方程组求解参数，属于基础常考题型，解题时注意符号运算不要出错即可。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题型，解题思路清晰可分为三步：第一步，结合新运算“※”的定义规则，将已知的两个运算结果转化为关于参数a、b的等式，得到二元一次方程组；第二步，用代入消元或加减消元法求解二元一次方程组，得到a、b的具体数值，确定新运算的具体表达式；第三步，把x=5、y=3代入确定后的新运算表达式，计算得出最终结果。
【解析】
根据新运算的定义$x※y=ax-by$，将已知条件代入得：
1. 代入$2※1=7$，可得$2a - b = 7$ ①
2. 代入$1※(-3)=7$，可得$a + 3b = 7$ ②
联立①②得到二元一次方程组$\begin{cases}2a - b =7 \\a + 3b =7\end{cases}$，使用代入消元法求解：
由①式变形得$b=2a-7$，将其代入②式：
$a + 3×(2a-7)=7$
展开计算得$a+6a-21=7$，即$7a=28$，解得$a=4$
将$a=4$代入$b=2a-7$，得$b=2×4 -7=1$
因此新运算的具体表达式为$x※y=4x - y$
代入$x=5,y=3$计算：$5※3=4×5 -3=20-3=17$
【答案】
17
【知识点】
新定义运算；二元一次方程组的求解
【点评】
本题将新定义运算与二元一次方程组结合考查，解题核心是准确理解新运算的规则，将已知条件转化为常规方程组求解参数，属于基础常考题型，解题时注意符号运算不要出错即可。
【难度系数】
0.8
6.用代入消元法解下列方程组。
(1)$\begin{cases}2x + 3y = 32, \\ x = y + 1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x + 2y = 6, \\ 3x - 2y = -6。\end{cases}$
(1)$\begin{cases}2x + 3y = 32, \\ x = y + 1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x + 2y = 6, \\ 3x - 2y = -6。\end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}x=7,\\y=6。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0,\\y=3。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0,\\y=3。\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查用代入消元法解二元一次方程组，解题思路遵循代入消元的通用步骤：1. 从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；2. 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代回变形后的式子，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。第(1)题已直接给出x用y表示的式子，直接代入第一个方程消元即可；第(2)题先对第一个方程变形，用y表示x，再代入第二个方程消元求解。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}2x + 3y = 32&① \\ x = y + 1&②\end{cases}$
将②代入①，得：$2(y + 1) + 3y = 32$
去括号，得：$2y + 2 + 3y = 32$
合并同类项，得：$5y + 2 = 32$
移项、系数化为1，得：$y = 6$
将$y = 6$代入②，得：$x = 6 + 1 = 7$
(2) 记$\begin{cases}x + 2y = 6&① \\ 3x - 2y = -6&②\end{cases}$
由①移项，得：$x = 6 - 2y$ ③
将③代入②，得：$3(6 - 2y) - 2y = -6$
去括号，得：$18 - 6y - 2y = -6$
合并同类项，得：$18 - 8y = -6$
移项，得：$-8y = -24$
系数化为1，得：$y = 3$
将$y = 3$代入③，得：$x = 6 - 2×3 = 0$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=7\\y=6\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
本题是代入消元法解二元一次方程组的基础训练题，核心是掌握“消元”的转化思想，将二元问题转化为熟悉的一元一次方程求解，计算过程中要注意去括号、移项时的符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查用代入消元法解二元一次方程组，解题思路遵循代入消元的通用步骤：1. 从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；2. 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代回变形后的式子，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。第(1)题已直接给出x用y表示的式子，直接代入第一个方程消元即可；第(2)题先对第一个方程变形，用y表示x，再代入第二个方程消元求解。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}2x + 3y = 32&① \\ x = y + 1&②\end{cases}$
将②代入①，得：$2(y + 1) + 3y = 32$
去括号，得：$2y + 2 + 3y = 32$
合并同类项，得：$5y + 2 = 32$
移项、系数化为1，得：$y = 6$
将$y = 6$代入②，得：$x = 6 + 1 = 7$
(2) 记$\begin{cases}x + 2y = 6&① \\ 3x - 2y = -6&②\end{cases}$
由①移项，得：$x = 6 - 2y$ ③
将③代入②，得：$3(6 - 2y) - 2y = -6$
去括号，得：$18 - 6y - 2y = -6$
合并同类项，得：$18 - 8y = -6$
移项，得：$-8y = -24$
系数化为1，得：$y = 3$
将$y = 3$代入③，得：$x = 6 - 2×3 = 0$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=7\\y=6\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程解法
【点评】
本题是代入消元法解二元一次方程组的基础训练题，核心是掌握“消元”的转化思想，将二元问题转化为熟悉的一元一次方程求解，计算过程中要注意去括号、移项时的符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
7. 提升题 阅读下面的材料，并解答下列各题。
解方程组 $\begin{cases} x+y=4, ① \\ 3(x+y)+y=14。② \end{cases}$
将①整体代入②，得 $3×4 + y =14$。
解得 $y=2$。
把 $y=2$ 代入①，得 $x=2$。
所以 $\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$
这种解法称为“整体代入法”。
(1) 方程组 $\begin{cases} x - y -1 =0, ① \\ 4(x - y) - y =5 ② \end{cases}$ 的解为 ______。
(2) 请你用“整体代入法”解方程组 $\begin{cases} 2x -3y -2=0, ① \\ \frac{2x -3y +5}{7} +2y =9。② \end{cases}$
解方程组 $\begin{cases} x+y=4, ① \\ 3(x+y)+y=14。② \end{cases}$
将①整体代入②，得 $3×4 + y =14$。
解得 $y=2$。
把 $y=2$ 代入①，得 $x=2$。
所以 $\begin{cases} x=2, \\ y=2。 \end{cases}$
这种解法称为“整体代入法”。
(1) 方程组 $\begin{cases} x - y -1 =0, ① \\ 4(x - y) - y =5 ② \end{cases}$ 的解为 ______。
(2) 请你用“整体代入法”解方程组 $\begin{cases} 2x -3y -2=0, ① \\ \frac{2x -3y +5}{7} +2y =9。② \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}x=0,\\y=-1\end{cases}$
(2) 解：由①，得$2x-3y=2$，③
将③代入②，得$\frac{2+5}{7}+2y=9$，解得$y=4$。
将$y=4$代入③，得$2x-12=2$，解得$x=7$。
故原方程组的解为$\begin{cases}x=7,\\y=4。\end{cases}$
(2) 解：由①，得$2x-3y=2$，③
将③代入②，得$\frac{2+5}{7}+2y=9$，解得$y=4$。
将$y=4$代入③，得$2x-12=2$，解得$x=7$。
故原方程组的解为$\begin{cases}x=7,\\y=4。\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查整体代入法解二元一次方程组，解题核心是将方程组中重复出现的代数式看作一个整体，替换到另一个方程中，简化计算步骤：
(1) 观察两个方程，都含有代数式$x-y$，先从方程①整理得到$x-y$的取值，再整体代入方程②，先求出$y$的值，再回代求$x$即可；
(2) 两个方程都含有代数式$2x-3y$，先从方程①整理得到$2x-3y$的取值，整体代入方程②先求出$y$的值，再回代求$x$即可。
【解析】
(1) 由①得：$x-y=1$ ③，
将③整体代入②，得：$4×1 - y =5$，
解得：$y=-1$，
将$y=-1$代入③，得：$x - (-1)=1$，解得$x=0$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}$；
(2) 由①得：$2x-3y=2$ ③，
将③整体代入②，得：$\frac{2+5}{7} +2y =9$，
化简得：$1 + 2y =9$，解得$y=4$，
将$y=4$代入③，得：$2x - 3×4 =2$，即$2x=14$，解得$x=7$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$
【知识点】
1. 整体代入法
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题通过引入整体代入法简化二元一次方程组的求解过程，重点考查学生对式子结构的观察能力，掌握该方法可以有效减少解方程组的计算量，提高解题效率，是解特殊结构二元一次方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题考查整体代入法解二元一次方程组，解题核心是将方程组中重复出现的代数式看作一个整体，替换到另一个方程中，简化计算步骤：
(1) 观察两个方程，都含有代数式$x-y$，先从方程①整理得到$x-y$的取值，再整体代入方程②，先求出$y$的值，再回代求$x$即可；
(2) 两个方程都含有代数式$2x-3y$，先从方程①整理得到$2x-3y$的取值，整体代入方程②先求出$y$的值，再回代求$x$即可。
【解析】
(1) 由①得：$x-y=1$ ③，
将③整体代入②，得：$4×1 - y =5$，
解得：$y=-1$，
将$y=-1$代入③，得：$x - (-1)=1$，解得$x=0$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}$；
(2) 由①得：$2x-3y=2$ ③，
将③整体代入②，得：$\frac{2+5}{7} +2y =9$，
化简得：$1 + 2y =9$，解得$y=4$，
将$y=4$代入③，得：$2x - 3×4 =2$，即$2x=14$，解得$x=7$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$
【知识点】
1. 整体代入法
2. 解二元一次方程组
【点评】
本题通过引入整体代入法简化二元一次方程组的求解过程，重点考查学生对式子结构的观察能力，掌握该方法可以有效减少解方程组的计算量，提高解题效率，是解特殊结构二元一次方程组的常用技巧。
【难度系数】
0.7
