登录
1. (宿迁中考改编)若等腰三角形的两边长分别是 3 cm 和 5 cm,则这个等腰三角形的周长是____.
答案
11cm或13cm
2. 已知等腰三角形的一边长为 4,周长为 10,则另两边长分别为____.
答案
4,2或3,3
3. (1)若等腰三角形的一个角为 $80^{\circ}$,则顶角为____.
(2)若等腰三角形的一个角为 $110^{\circ}$,则顶角为____.
(3)若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为____.
(4)已知等腰三角形中,有一个角比另一个角的 2 倍少 $20^{\circ}$,则顶角度数为____.
(2)若等腰三角形的一个角为 $110^{\circ}$,则顶角为____.
(3)若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为____.
(4)已知等腰三角形中,有一个角比另一个角的 2 倍少 $20^{\circ}$,则顶角度数为____.
答案
(1)20°或80° (2)110° (3)45°或72°
(4)44°或80°或140° 解析:设另一个角是x,表示出一个角是(2x−20°)。①x是顶角,(2x−20°)是底角时,x+2(2x−20°)=180°,解得x=44°,顶角是44°;②x是底角,(2x−20°)是顶角时,2x+(2x−20°)=180°,解得x=50°,顶角是2×50°−20°=80°;③x与2x−20°都是底角时,x=2x−20°,解得x=20°,顶角是180°−20°×2=140°。综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°。
(4)44°或80°或140° 解析:设另一个角是x,表示出一个角是(2x−20°)。①x是顶角,(2x−20°)是底角时,x+2(2x−20°)=180°,解得x=44°,顶角是44°;②x是底角,(2x−20°)是顶角时,2x+(2x−20°)=180°,解得x=50°,顶角是2×50°−20°=80°;③x与2x−20°都是底角时,x=2x−20°,解得x=20°,顶角是180°−20°×2=140°。综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°。
4. (2025·东莞期中)在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BD$ 是 $AC$ 边上的高,$\angle ABD = 50^{\circ}$,则 $\angle C$ 的度数为____.
答案
70°或20° 解析:①当顶角为锐角时,∠BAC=90°−50°=40°,∴∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°;②当顶角为钝角时,∠BAC=90°+50°=140°,∴∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−140°)=20°。综上所述,∠C的度数为70°或20°。
5. 如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是 $50^{\circ}$,那么这个等腰三角形的顶角的度数为____.
答案
100°或40°或140° 解析:①如图①,∵AB=AC,∠ABD=50°,BD⊥AC,∴∠A=40°。②如图②,∵AB=AC,∠ABD=50°,BD⊥AC,∴∠BAC=50°+90°=140°。③如图③,∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=50°,∴∠BAC=2∠BAD=100°。故答案为100°或40°或140°。
6. 已知等腰三角形的底边长为 6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另外一部分长 2,则三角形的腰长是____.
答案
8或4 解析:如图①②,∵BD是△ABC腰AC的中线，∴AD=DC,∴AB+AD−(BC+DC)=2或BC+DC−(AB+AD)=2。∵BC=6,∴AB=8或AB=4。
7. 已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为 12 cm 和 15 cm 两部分,求它的三边长.
答案
设腰长为xcm，则有x + $\frac{1}{2}$x = 12或x + $\frac{1}{2}$x = 15，所以x = 8或x = 10。①当腰长为8cm时,可得底边长为11cm;②当腰长为10cm时,可得底边长为7cm。所以等腰三角形的三边长为8cm,8cm,11cm或10cm,10cm,7cm。
8. 已知线段 $AB$ 的垂直平分线上有两点 $C$,$D$,若 $\angle ADB = 80^{\circ}$,$\angle CAD = 10^{\circ}$,则 $\angle ACB = $____.
答案
60°或100° 解析:如图,∵DE垂直平分AB,垂足为E,∴DA=DB,∴∠DAB=∠DBA=$\frac{1}{2}$(180°−∠ADB)=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°。①当C点在线段DE上,∠CAD=10°时,则∠CAB=50°−10°=40°。∵CA=CB,∴∠CAB=∠CBA=40°,∴∠ACB=180°−40°−40°=100°。②当C’点在ED的延长线上,∠C'AD=10°时,则∠C'AB=50°+10°=60°。∵C'A=C'B,∴∠AC'B=60°。综上所述,∠ACB的度数为60°或100°。
9. (2025·无锡期中)在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AB$ 的垂直平分线与 $AC$ 所在直线相交所得的锐角为 $50^{\circ}$,则 $\triangle ABC$ 的底角 $\angle B = $____.
答案
70°或20° 解析:符合题意的图形有两种:①如图①,当△ABC为锐角三角形时,交点D在腰AC上。由题意可得∠ADE=50°,故∠A=40°,∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°。
②如图②,当△ABC为钝角三角形时,交点D在腰CA的延长线上。由题意可得∠ADE=50°,故∠BAC=∠ADE+∠AED=140°,∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−140°)=20°。综上所述,∠B=70°或20°。
10. (绍兴中考)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 40^{\circ}$,$\angle BAC = 80^{\circ}$,以点 $A$ 为圆心,$AC$ 长为半径作弧,交射线 $BA$ 于点 $D$,连接 $CD$,则 $\angle BCD$ 的度数是____.
答案
10°或100° 解析:如图,有点D与点D'两种情况。①在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,∴∠ACB=180°−40°−80°=60°,由作图可知AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=$\frac{1}{2}$(180°−80°)=50°,∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=60°−50°=10°;②由作图可知AC=AD',∴∠ACD'=∠AD'C。∵∠ACD'+∠AD'C=∠BAC=80°,∴∠AD'C=40°,∴∠BCD'=180°−∠ABC−∠AD'C=180°−40°−40°=100°。综上所述,∠BCD的度数是10°或100°。
11. 有一张三角形纸片 $ABC$,$\angle A = 80^{\circ}$,点 $D$ 是 $AC$ 边上一点,沿 $BD$ 方向剪开三角形纸片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则 $\angle C$ 的度数可以是____.
答案
25°或40°或10° 解析:由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD可能有①AB=BD,此时∠ADB=∠A=80°,∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−80°=100°,∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−100°)=40°;②AB=AD,此时∠ADB=$\frac{1}{2}$×(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°,∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−50°=130°,∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°;③AD=BD,此时∠ADB=180°−2×80°=20°,∴∠BDC=180°−∠ADB=180°−20°=160°,∠C=$\frac{1}{2}$×(180°−160°)=10°。综上所述,∠C的度数可以是25°或40°或10°。
12. 有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为 3 m,4 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长两条直角边中的一条,画出扩充后的等腰三角形绿地的示意图.
答案
①BC=CD,如图①;②AC=CD,如图②;③AD=BD,如图③;④AB=BD,如图④;⑤AB=AD,如图⑤;⑥AC=CD,如图⑥。
CD,
