14. (2025·编写) 如图,直线 $ y = -\frac{2}{3}x + 2 $ 与坐标轴交于 $ A,B $ 两点,矩形 $ ABCD $ 的对称中心为 $ M $,双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 正好经过 $ C,M $ 两点,求直线 $ AC $ 的解析式。

【解】∵直线 $y = -\frac{2}{3}x + 2$ 与坐标轴交于 $A$，$B$ 两点，
∴当 $x = 0$ 时，$y = 2$；当 $y = 0$ 时，$x = 3$；
∴$A(3,0)$，$B(0,2)$，则 $OA = 3$，$OB = 2$。
如图，过点 $C$ 作 $CE \perp y$ 轴于点 $E$。

∵四边形 $ABCD$ 是矩形，∴$\angle ABC = 90^{\circ}$，
∴$\angle CBE + \angle ABO = 90^{\circ}$。
∵$\angle CEB = \angle BOA = 90^{\circ}$，∴$\angle ABO + \angle BAO = 90^{\circ}$，∴$\angle CBE = \angle BAO$，
∴$\triangle CEB \sim \triangle BOA$，∴$\frac{CE}{EB}=\frac{BO}{OA}=\frac{2}{3}$。
设 $CE = 2a$，则 $BE = 3a$，
即 $E(0,3a + 2)$，则 $C(2a,3a + 2)$。
∵矩形 $ABCD$ 的对称中心为 $M$，且 $A(3,0)$，
∴$M(\frac{2a + 3}{2},\frac{3a + 2}{2})$。
∵双曲线 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 正好经过 $C$，$M$ 两点，
∴$2a(3a + 2)=\frac{2a + 3}{2} \cdot \frac{3a + 2}{2}$，
解得 $a_{1}=\frac{1}{2}$，$a_{2}=-\frac{2}{3}$（不符合题意，舍去），
∴点 $C(1,\frac{7}{2})$。
设直线 $AC$ 的解析式为 $y = mx + n$，
$\begin{cases}3m + n = 0 \\ m + n = \frac{7}{2} \end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = -\frac{7}{4} \\ n = \frac{21}{4} \end{cases}$，
∴直线 $AC$ 的解析式为 $y = -\frac{7}{4}x + \frac{21}{4}$。

15. (2024·成都) 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ y = -x + m $ 与直线 $ y = 2x $ 相交于点 $ A(2,a) $,与 $ x $ 轴交于点 $ B(b,0) $,点 $ C $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＜ 0) $ 的图象上。
(1) 求 $ a,b,m $ 的值；
(2) 若以 $ O,A,B,C $ 为顶点的四边形为平行四边形,求点 $ C $ 的坐标和 $ k $ 的值；
(3) 过 $ A,C $ 两点的直线与 $ x $ 轴负半轴交于点 $ D $,点 $ E $ 与点 $ D $ 关于 $ y $ 轴对称,若有且只有一点 $ C $,使得 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle ABE $ 相似,求 $ k $ 的值。

【解】(1) 把 $A(2,a)$ 代入 $y = 2x$，得 $a = 2×2 = 4$，
∴$A(2,4)$。
把 $A(2,4)$ 代入 $y = -x + m$，得 $4 = -2 + m$，
解得 $m = 6$。
∴直线 $AB$ 的解析式为 $y = -x + 6$。
把 $B(b,0)$ 代入 $y = -x + 6$，得 $0 = -b + 6$，
解得 $b = 6$。
(2) 设 $C(t,\frac{k}{t})$。
由 (1) 知，$A(2,4)$，$B(6,0)$。
①当 $AC$，$BO$ 为对角线时，$AC$，$BO$ 的中点重合，
∴$\begin{cases}t + 2 = 6 + 0 \\ \frac{k}{t} + 4 = 0 + 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}t = 4 \\ k = -16 \end{cases}$。
经检验，$t = 4$，$k = -16$ 符合题意，
此时点 $C$ 的坐标为 $(4,-4)$；
②当 $CB$，$AO$ 为对角线时，$CB$，$AO$ 的中点重合，
∴$\begin{cases}t + 6 = 2 + 0 \\ \frac{k}{t} + 0 = 4 + 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}t = -4 \\ k = -16 \end{cases}$。
经检验，$t = -4$，$k = -16$ 符合题意，
此时点 $C$ 的坐标为 $(-4,4)$；
③当 $CO$，$AB$ 为对角线时，$CO$，$AB$ 的中点重合，
∴$\begin{cases}t + 0 = 2 + 6 \\ \frac{k}{t} + 0 = 4 + 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}t = 8 \\ k = 32 \end{cases}$。
∵$k = 32 ＞ 0$，∴这种情况不符合题意。
综上所述，点 $C$ 的坐标为 $(4,-4)$ 或 $(-4,4)$，$k$ 的值为 $-16$。
(3) 如图所示。

设直线 $AC$ 的解析式为 $y = px + q$。
把 $A(2,4)$ 代入，得 $4 = 2p + q$，
∴$q = 4 - 2p$，∴直线 $AC$ 的解析式为 $y = px + 4 - 2p$。
在 $y = px + 4 - 2p$ 中，令 $y = 0$ 得 $x = \frac{2p - 4}{p}$，
∴$D(\frac{2p - 4}{p},0)$。
∵点 $E$ 与点 $D$ 关于 $y$ 轴对称，∴$E(\frac{4 - 2p}{p},0)$。
∵$B(6,0)$，∴$BE = 6 - \frac{4 - 2p}{p} = \frac{8p - 4}{p}$，$BD = 6 - \frac{2p - 4}{p} = \frac{4p + 4}{p}$。
∵$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABE$ 相似，
∴点 $E$ 只能在点 $B$ 左侧，∴$\angle ABE = \angle DBA$，
∴$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABE$ 相似，只需 $\frac{BE}{AB}=\frac{AB}{BD}$ 即可，
即 $BE \cdot BD = AB^{2}$。
∵$A(2,4)$，$B(6,0)$，∴$AB^{2} = 32$，
∴$\frac{8p - 4}{p} \times \frac{4p + 4}{p} = 32$，解得 $p = 1$。
经检验，$p = 1$ 满足题意。
∴直线 $AC$ 的解析式为 $y = x + 2$。
∵有且只有一点 $C$，使得 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ABE$ 相似，
∴直线 $AC$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}(k ＜ 0)$ 图象只有一个交点，
∴$x + 2 = \frac{k}{x}$ 只有一个解，
即 $x^{2} + 2x - k = 0$ 有两个相等实数根，
∴$\Delta = 0$，即 $2^{2} + 4k = 0$，解得 $k = -1$，
∴$k$ 的值为 $-1$。