5.(2025·姑苏区月考)如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图②，已知其底部宽度AB为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为m.

5.40

6.(2025·武江区模拟)为促进经济发展，方便居民出行，某施工队 第5题图
要修建一个横断面为抛物线的公路隧道.抛物线的最高点P离路面OM的距离为6 m，宽度OM为12 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数解析式；
(2)一货运汽车装载某大型设备后高为4 m，宽为3.5 m，如果该隧道内设双向行车道(正中间是一条宽1 m的隔离带)，那么这辆货车能否安全通过？

6.解:(1)根据题意,得顶点P的坐标为(6,6),
设抛物线的函数解析式为$y=a(x-6)^2+6$,
把点O(0,0)代入,得
$\therefore 36a+6=0$,$\therefore a=-\frac{1}{6}$,
$\therefore$所求抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6(0≤ x≤12)$.
(2)当$x=6-0.5-3.5=2$时,
$y=-\frac{1}{6}(2-6)^2+6=\frac{10}{3}＜4$,
$\therefore$这辆货车不能安全通过.

7.(2025·鼓楼区期中)如图是抛物线形拱桥.某日,水文站观测到河水匀速上涨,记录两次数据如下：
| 时刻 | 水面宽 | 水位变化 |
| --- | --- | --- |
| 6:00 | AB=20 m | / |
| 18:00 | CD=10 m | 上涨3 m(相比6:00的水位) |

(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数解析式.
(2)当日时刻为多少时,水面将经过拱顶?
(3)设自当日6:00开始至水面经过拱顶,当水位上涨h m时,水面宽为d m.
①d h 的二次函数;(填“是”或“不是”)
②画出d随h变化而变化的大致图象,标出必要的数据.
易错知识点:二次函数的实际应用——桥拱问题
易错考法:由变化关系正确列二次函数的解析式;实际问题中求二次函数的最值

7.(1)解:以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,过原点且垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系,此时,A(-10,0),B(10,0).
18:00时,水位上涨3 m,CD=10 m,故CD的端点为C(-5,3),D(5,3).
设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+c$,把点A,C的坐标代入,得
$\begin{cases}100a+c=0,\\25a+c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{25},\\c=4,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2+4$.
(2)解:拱顶是抛物线的顶点,
在$y=-\frac{1}{25}x^2+4$中,当x=0时,y=4,从6:00到18:00,经过12 h,水位上涨3 m,
因此每小时水位上涨速度为$\frac{3}{12}=0.25(\mathrm{m/h})$,要使水面到达拱顶(水位需从0 m上涨到4 m),所需时间为$\frac{4}{0.25}=16(\mathrm{h})$,从6:00开始,经过16 h后是22:00,因此当日22:00时,水面将经过拱顶.
(3)①不是
②解:当h=0时(6:00时),d=20,对应点为(0,20),
当h=3时,d=10,对应点为(3,10),
当h=4时(水面过拱顶时),d=0,对应点为(4,0),
$\therefore$用平滑曲线连接点(0,20),(3,10),(4,0),所得图象如答图所示.