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7.「2026新疆阿克苏期末，★☆」小明在解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-1$去分母时，方程右边的-1没有乘3，因而求得的解为$x=2$，则原方程的解为（
A.$x=0$
B.$x=-1$
C.$x=2$
D.$x=-2$
A
）A.$x=0$
B.$x=-1$
C.$x=2$
D.$x=-2$
答案
根据题意,得$x=2$是方程$2x-1=x+a-1$的解,把$x=2$代入,得$3=2+a-1$,解得$a=2$.
把$a=2$代入$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-1$,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$,
去分母,得$2x-1=x+2-3$.
移项、合并同类项,得$x=0$.故选 A.
把$a=2$代入$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-1$,得$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{3}-1$,
去分母,得$2x-1=x+2-3$.
移项、合并同类项,得$x=0$.故选 A.
8.「2026辽宁抚顺期末，★☆」在有理数范围内定义运算“☆”：$a☆b=a+\frac{b-1}{2}$，如：$1☆(-3)=1+\frac{-3-1}{2}=-1$。若$2☆x=x☆(-1)$成立，则$x$的值是（
A.-1
B.5
C.0
D.2
B
）A.-1
B.5
C.0
D.2
答案
根据题意可列方程为$2+\frac{x-1}{2}=x-1$.
去分母,得$4+(x-1)=2(x-1)$.
去括号,得$4+x-1=2x-2$.
移项,得$x-2x=-2-4+1$.
合并同类项,得$-x=-5$.
解得$x=5$.故选 B.
去分母,得$4+(x-1)=2(x-1)$.
去括号,得$4+x-1=2x-2$.
移项,得$x-2x=-2-4+1$.
合并同类项,得$-x=-5$.
解得$x=5$.故选 B.
9.「2026重庆第二外国语学校月考，★☆」若关于x的方程$\frac{1}{2}(1-x)=1+k$的解与$\frac{3x+k}{4}-\frac{5x-1}{8}=1$的解互为相反数，则k的值为
$\frac{3}{2}$
。答案
答案 $\frac{3}{2}$
解析 对于$\frac{1}{2}(1-x)=1+k$,
去分母,得$1-x=2(1+k)$,
去括号,得$1-x=2+2k$,
移项、合并同类项,得$-x=1+2k$,
解得$x=-1-2k$.
对于$\frac{3x+k}{4}-\frac{5x-1}{8}=1$,
去分母,得$2(3x+k)-(5x-1)=8$,
去括号,得$6x+2k-5x+1=8$,
移项、合并同类项,得$x=7-2k$.
因为两个方程的解互为相反数,
所以$-1-2k=-(7-2k)$,
去括号,得$-1-2k=-7+2k$,
移项,得$-2k-2k=-7+1$,
合并同类项,得$-4k=-6$,
解得$k=\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.
解析 对于$\frac{1}{2}(1-x)=1+k$,
去分母,得$1-x=2(1+k)$,
去括号,得$1-x=2+2k$,
移项、合并同类项,得$-x=1+2k$,
解得$x=-1-2k$.
对于$\frac{3x+k}{4}-\frac{5x-1}{8}=1$,
去分母,得$2(3x+k)-(5x-1)=8$,
去括号,得$6x+2k-5x+1=8$,
移项、合并同类项,得$x=7-2k$.
因为两个方程的解互为相反数,
所以$-1-2k=-(7-2k)$,
去括号,得$-1-2k=-7+2k$,
移项,得$-2k-2k=-7+1$,
合并同类项,得$-4k=-6$,
解得$k=\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{3}{2}$.
10.「★??」已知$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，则方程$\frac{x}{1×2}+\frac{x}{2×3}+\frac{x}{3×4}+…+\frac{x}{2024×2025}=2024$的解是
$x=2025$
。答案
答案 $x=2025$
解析 $\frac{x}{1×2}+\frac{x}{2×3}+\frac{x}{3×4}+…+\frac{x}{2024×2025}$
$=x(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025})$
$=x(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$
$=x(1-\frac{1}{2025})=\frac{2024}{2025}x$,
所以$\frac{2024}{2025}x=2024$,所以$x=2025$.
故答案为$x=2025$.
解析 $\frac{x}{1×2}+\frac{x}{2×3}+\frac{x}{3×4}+…+\frac{x}{2024×2025}$
$=x(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025})$
$=x(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$
$=x(1-\frac{1}{2025})=\frac{2024}{2025}x$,
所以$\frac{2024}{2025}x=2024$,所以$x=2025$.
故答案为$x=2025$.
11.「★☆」解方程：
(1)「2026湖北荆门月考」$\frac{7x-1}{3}-\frac{5x+1}{2}=1-\frac{3x+2}{4}$
(2)「2026山东潍坊期末」$\frac{0.4x-1}{0.5}-\frac{0.1x+0.3}{0.2}=2.5$
(1)「2026湖北荆门月考」$\frac{7x-1}{3}-\frac{5x+1}{2}=1-\frac{3x+2}{4}$
(2)「2026山东潍坊期末」$\frac{0.4x-1}{0.5}-\frac{0.1x+0.3}{0.2}=2.5$
答案
(1)去分母,得$4(7x-1)-6(5x+1)=12-3(3x+2)$.
去括号,得$28x-4-30x-6=12-9x-6$.
移项、合并同类项,得$7x=16$.
解得$x=\frac{16}{7}$.
(2)整理,得$\frac{4x-10}{5}-\frac{x+3}{2}=2.5$.
去分母,得$2(4x-10)-5(x+3)=25$.
去括号,得$8x-20-5x-15=25$.
移项、合并同类项,得$3x=60$.
系数化为1,得$x=20$.
去括号,得$28x-4-30x-6=12-9x-6$.
移项、合并同类项,得$7x=16$.
解得$x=\frac{16}{7}$.
(2)整理,得$\frac{4x-10}{5}-\frac{x+3}{2}=2.5$.
去分母,得$2(4x-10)-5(x+3)=25$.
去括号,得$8x-20-5x-15=25$.
移项、合并同类项,得$3x=60$.
系数化为1,得$x=20$.
12. 学科特色 转化思想 「2026黑龙江哈尔滨期末，★☆」已知关于$x$的方程$\frac{3x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = \frac{5}{6}$。
(1)若$m=-1$，求该方程的解。
(2)某同学在解该方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看成了“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x=1$，求$m$的值。
(3)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。
(1)若$m=-1$，求该方程的解。
(2)某同学在解该方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看成了“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x=1$，求$m$的值。
(3)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。
答案
(1)当$m=-1$时,原方程为$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$.
去分母,得$3(3x+1)-2(x-1)=5$.
去括号,得$9x+3-2x+2=5$.
移项、合并同类项,得$7x=0$.
解得$x=0$.
(2)由题意可知,$x=1$是方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$的解,
所以$\frac{3×1-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$.
去分母,得$15(3-m)-10(1+m)=36$.
去括号,得$45-15m-10-10m=36$.
移项、合并同类项,得$-25m=1$.
解得$m=-\frac{1}{25}$.
(3)去分母,得$3(3x-m)-2(x+m)=5$.
去括号,得$9x-3m-2x-2m=5$.
移项、合并同类项,得$7x=5m+5$.解得$x=\frac{5(m+1)}{7}$.
因为$x$为正整数,所以$m+1$为7的正整数倍数.
又因为整数$m$取最小值,所以$m+1=7$,解得$m=6$.
去分母,得$3(3x+1)-2(x-1)=5$.
去括号,得$9x+3-2x+2=5$.
移项、合并同类项,得$7x=0$.
解得$x=0$.
(2)由题意可知,$x=1$是方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$的解,
所以$\frac{3×1-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$.
去分母,得$15(3-m)-10(1+m)=36$.
去括号,得$45-15m-10-10m=36$.
移项、合并同类项,得$-25m=1$.
解得$m=-\frac{1}{25}$.
(3)去分母,得$3(3x-m)-2(x+m)=5$.
去括号,得$9x-3m-2x-2m=5$.
移项、合并同类项,得$7x=5m+5$.解得$x=\frac{5(m+1)}{7}$.
因为$x$为正整数,所以$m+1$为7的正整数倍数.
又因为整数$m$取最小值,所以$m+1=7$,解得$m=6$.
13. 核心素养运算能力「2025江苏连云港期末」定义:如果两个一元一次方程的解相同,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$2x=6$和$x-3=0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$x-4m+1=0$和方程$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$是“美好方程”,求$m$的值.
(2)若无论$k$取何有理数,关于$x$的方程$\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$($a,b$为常数)和方程$2x+1=x-2$是“美好方程”,求$ab$的值.
(1)若关于$x$的方程$x-4m+1=0$和方程$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$是“美好方程”,求$m$的值.
(2)若无论$k$取何有理数,关于$x$的方程$\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$($a,b$为常数)和方程$2x+1=x-2$是“美好方程”,求$ab$的值.
答案
(1)解方程$x-4m+1=0$,得$x=4m-1$.
解方程$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$,得$x=2m+5$.
因为关于$x$的方程$x-4m+1=0$与方程$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$是“美好方程”,
所以$4m-1=2m+5$.解得$m=3$.
(2)解方程$2x+1=x-2$,得$x=-3$.
把$x=-3$代入$\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$,得$\frac{-6+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$.
整理,得$(2a-6)k=12+3b$.
因为无论$k$取何有理数都成立,
所以$2a-6=0$,$12+3b=0$.解得$a=3$,$b=-4$.
所以$ab=3×(-4)=-12$.
解方程$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$,得$x=2m+5$.
因为关于$x$的方程$x-4m+1=0$与方程$\frac{1}{2}(x-5)-m=0$是“美好方程”,
所以$4m-1=2m+5$.解得$m=3$.
(2)解方程$2x+1=x-2$,得$x=-3$.
把$x=-3$代入$\frac{2x+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$,得$\frac{-6+ka}{3}=\frac{b}{2}+k$.
整理,得$(2a-6)k=12+3b$.
因为无论$k$取何有理数都成立,
所以$2a-6=0$,$12+3b=0$.解得$a=3$,$b=-4$.
所以$ab=3×(-4)=-12$.
