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10. 若有理数$x,y$满足$|x-2|+(y+3)^2=0$,则$y^x=$
9
.答案
10. 9
解析
【分析】
解题前先观察已知等式的特征：等式是绝对值与平方数的和为0。我们已经学过绝对值和有理数的平方都属于非负数，即它们的取值都大于等于0。两个非负数相加结果为0，说明每个非负数的值都为0，由此可以分别列出关于x、y的一元一次方程，求出x、y的数值后，再代入$y^x$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|x-2|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x-2|+(y+3)^2=0$
∴ 可得：$x-2=0$，$y+3=0$
解得：$x=2$，$y=-3$
将$x=2$，$y=-3$代入$y^x$得：
$y^x=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的关键点在于牢记“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”，再结合乘方运算规则计算即可，是基础类常考题。
【难度系数】
0.8
解题前先观察已知等式的特征：等式是绝对值与平方数的和为0。我们已经学过绝对值和有理数的平方都属于非负数，即它们的取值都大于等于0。两个非负数相加结果为0，说明每个非负数的值都为0，由此可以分别列出关于x、y的一元一次方程，求出x、y的数值后，再代入$y^x$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|x-2|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x-2|+(y+3)^2=0$
∴ 可得：$x-2=0$，$y+3=0$
解得：$x=2$，$y=-3$
将$x=2$，$y=-3$代入$y^x$得：
$y^x=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题核心考查非负数的性质应用，解题的关键点在于牢记“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”，再结合乘方运算规则计算即可，是基础类常考题。
【难度系数】
0.8
11. 计算:$999\dfrac{998}{999}×999=$
998 999
答案
11. 998 999
解析
【分析】
观察算式可知，带分数的整数部分和分数的分母都与乘数999高度相关，若直接将带分数化为假分数计算，数值过大容易出错。我们可以先把带分数拆成“整千数减一个小分数”的形式，再利用乘法分配律展开计算，即可大幅简化运算过程。
【解析】
解：$999\dfrac{998}{999}×999$
$=(1000 - \dfrac{1}{999})×999$
$=1000×999 - \dfrac{1}{999}×999$
$=999000 - 1$
$=998999$
【答案】
998999
【知识点】
带分数的拆分；乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题侧重考察有理数乘法的简便运算技巧，解题核心是合理拆分带分数，借助乘法分配律避免繁琐的大数运算，有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，带分数的整数部分和分数的分母都与乘数999高度相关，若直接将带分数化为假分数计算，数值过大容易出错。我们可以先把带分数拆成“整千数减一个小分数”的形式，再利用乘法分配律展开计算，即可大幅简化运算过程。
【解析】
解：$999\dfrac{998}{999}×999$
$=(1000 - \dfrac{1}{999})×999$
$=1000×999 - \dfrac{1}{999}×999$
$=999000 - 1$
$=998999$
【答案】
998999
【知识点】
带分数的拆分；乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题侧重考察有理数乘法的简便运算技巧，解题核心是合理拆分带分数，借助乘法分配律避免繁琐的大数运算，有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
12. 现有四个有理数3,4,-6,10,将这4个数(每个数要用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算,请你写出一个结果为24的算式:
$10-4-3×(-6)$(答案不唯一)
.答案
12. $10-4-3×(-6)$(答案不唯一)
解析
【分析】
要凑出结果为24的算式，可先回忆24的常见组合方式（如乘法凑24、加减凑24等），结合给出的数包含负数，可利用“减去负数等于加正数”的规则凑值。我们可以先尝试乘法运算：$3×(-6)=-18$，若能凑出6，用6减去-18即可得到24，观察剩余的数10和4，$10-4=6$刚好满足需求，且四个数都只用了一次，即可得到符合要求的算式，也可尝试其他组合，答案不唯一。
【解析】
按运算优先级构造算式并验证：
1. 先算乘法部分：$3×(-6)=-18$
2. 再计算$10-4=6$
3. 最后计算$6-(-18)=6+18=24$
将三步合并得到完整算式，运算顺序符合先乘除后加减的规则，且3、4、-6、10四个数均只用了一次，满足题目要求。也可写出其他符合要求的算式，如$3×(10-4)-(-6)$等。
【答案】
$10-4-3×(-6)$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算、四则运算巧算
【点评】
本题属于开放性运算题，答案不唯一，核心考察对有理数四则运算规则的灵活运用能力，解题时可多尝试不同的运算组合逐步凑出目标值，多练习这类题目可有效提升运算的灵活度。
【难度系数】
0.7
要凑出结果为24的算式，可先回忆24的常见组合方式（如乘法凑24、加减凑24等），结合给出的数包含负数，可利用“减去负数等于加正数”的规则凑值。我们可以先尝试乘法运算：$3×(-6)=-18$，若能凑出6，用6减去-18即可得到24，观察剩余的数10和4，$10-4=6$刚好满足需求，且四个数都只用了一次，即可得到符合要求的算式，也可尝试其他组合，答案不唯一。
【解析】
按运算优先级构造算式并验证：
1. 先算乘法部分：$3×(-6)=-18$
2. 再计算$10-4=6$
3. 最后计算$6-(-18)=6+18=24$
将三步合并得到完整算式，运算顺序符合先乘除后加减的规则，且3、4、-6、10四个数均只用了一次，满足题目要求。也可写出其他符合要求的算式，如$3×(10-4)-(-6)$等。
【答案】
$10-4-3×(-6)$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算、四则运算巧算
【点评】
本题属于开放性运算题，答案不唯一，核心考察对有理数四则运算规则的灵活运用能力，解题时可多尝试不同的运算组合逐步凑出目标值，多练习这类题目可有效提升运算的灵活度。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共52分)
13. (10分)计算：
(1) $-24÷(-6)×(-\dfrac{1}{4})$；
(2) $-3^2 -18÷(-2)^3 + (-4)^2×(-\dfrac{1}{8})$。
13. (10分)计算：
(1) $-24÷(-6)×(-\dfrac{1}{4})$；
(2) $-3^2 -18÷(-2)^3 + (-4)^2×(-\dfrac{1}{8})$。
答案
13. (1) -1 (2) $-8\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
这两道题均为有理数的运算题，解题思路如下：
(1) 第一题只有乘除同级运算，需遵循从左到右的运算顺序，运算时先判断每一步的符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值即可。
(2) 第二题为有理数的混合运算，需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的差异，$-3^2$表示3的平方的相反数，结果为负，运算过程中每一步都要注意符号的正确性。
【解析】
(1) 按照从左到右的顺序计算同级运算：
$\begin{aligned}原式&=4×(-\dfrac{1}{4})\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-9 - 18÷(-8) + 16×(-\dfrac{1}{8})\\&=-9 + \dfrac{9}{4} - 2\\&=-11 + \dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{44}{4} + \dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{35}{4}\\&=-8\dfrac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-8\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
有理数乘除运算，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号判断能力，其中乘方的符号判断、同级运算的顺序是常见易错点，平时练习时要养成先定符号再算绝对值的习惯，提高运算准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题均为有理数的运算题，解题思路如下：
(1) 第一题只有乘除同级运算，需遵循从左到右的运算顺序，运算时先判断每一步的符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值即可。
(2) 第二题为有理数的混合运算，需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的差异，$-3^2$表示3的平方的相反数，结果为负，运算过程中每一步都要注意符号的正确性。
【解析】
(1) 按照从左到右的顺序计算同级运算：
$\begin{aligned}原式&=4×(-\dfrac{1}{4})\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-9 - 18÷(-8) + 16×(-\dfrac{1}{8})\\&=-9 + \dfrac{9}{4} - 2\\&=-11 + \dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{44}{4} + \dfrac{9}{4}\\&=-\dfrac{35}{4}\\&=-8\dfrac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-8\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
有理数乘除运算，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号判断能力，其中乘方的符号判断、同级运算的顺序是常见易错点，平时练习时要养成先定符号再算绝对值的习惯，提高运算准确率。
【难度系数】
0.8
14. (12分)已知一块大理石的长为$1.5×10^{2}\ \mathrm{cm}$，宽为$1.2×10^{2}\ \mathrm{cm}$，高为$0.8×10^{2}\ \mathrm{cm}$，求这块大理石的体积(结果用科学记数法表示)。
答案
14. 根据题意,得 $1.5×10^2×1.2×10^2×0.8×10^2 =(1.5×1.2×0.8)×(10^2×10^2×10^2)= 1.44×10^6(\mathrm{cm}^3).$
所以这块大理石的体积为 $1. 44×10^6 \mathrm{\ cm}^3$
所以这块大理石的体积为 $1. 44×10^6 \mathrm{\ cm}^3$
解析
【分析】
首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高，本题已知长、宽、高均为科学记数法表示的数，解题时先代入数值列出算式，再利用乘法交换律和结合律，将系数部分、同底数幂部分分别结合计算，最后将结果整理为符合规范的科学记数法形式即可。
【解析】
根据长方体体积公式，可得：
$\begin{aligned}V&=1.5×10^2×1.2×10^2×0.8×10^2\\&=(1.5×1.2×0.8)×(10^2×10^2×10^2)\\&=1.44×10^{2+2+2}\\&=1.44×10^6(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$1.44×10^6\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算，同底数幂的乘法，科学记数法
【点评】
本题是代数运算与几何公式结合的基础题，解题的核心是正确运用长方体体积公式和同底数幂的运算法则，计算过程中要注意区分系数运算和指数运算的规则，最终结果需满足科学记数法的要求（$1≤ a＜10$）。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高，本题已知长、宽、高均为科学记数法表示的数，解题时先代入数值列出算式，再利用乘法交换律和结合律，将系数部分、同底数幂部分分别结合计算，最后将结果整理为符合规范的科学记数法形式即可。
【解析】
根据长方体体积公式，可得：
$\begin{aligned}V&=1.5×10^2×1.2×10^2×0.8×10^2\\&=(1.5×1.2×0.8)×(10^2×10^2×10^2)\\&=1.44×10^{2+2+2}\\&=1.44×10^6(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$1.44×10^6\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算，同底数幂的乘法，科学记数法
【点评】
本题是代数运算与几何公式结合的基础题，解题的核心是正确运用长方体体积公式和同底数幂的运算法则，计算过程中要注意区分系数运算和指数运算的规则，最终结果需满足科学记数法的要求（$1≤ a＜10$）。
【难度系数】
0.8
15. (14分)已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值是3，求$x^2 - (a+b+cd)x + (a+b)^{2025} + (-cd)^{2026}$的值.
答案
15. 因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是3,所以a+b=0,cd=1,x=±3. 当a+b=0,cd=1,x=-3 时,$x^2-(a+b+cd)x+(a+b)^{2025}+(-cd)^{2026}=9+3+0+1=13$;当a+b=0,cd=1,x=3 时,$x^2-(a+b+cd)x+(a+b)^{2025}+(-cd)^{2026}=9-3+0+1=7.$ 综上所述,$x^2-(a+b+cd)x+(a+b)^{2025}+(-cd)^{2026}$的值为7或13
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，根据已知条件先求出a+b、cd以及x的取值；由于绝对值为3的数有两个，因此x存在两种取值，需要分x=3和x=-3两种情况，将对应的值代入代数式，结合幂的运算规则分别计算结果即可，注意不要漏掉任意一种x的取值情况。
【解析】
解：由题意得：
∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵x的绝对值是3，
∴x=3或x=-3。
①当x=3时，代入代数式得：
$x^2 - (a+b+cd)x + (a+b)^{2025} + (-cd)^{2026}$
$=3^2 - (0+1)×3 + 0^{2025} + (-1)^{2026}$
$=9 - 3 + 0 + 1$
$=7$
②当x=-3时，代入代数式得：
$x^2 - (a+b+cd)x + (a+b)^{2025} + (-cd)^{2026}$
$=(-3)^2 - (0+1)×(-3) + 0^{2025} + (-1)^{2026}$
$=9 + 3 + 0 + 1$
$=13$
综上，代数式的值为7或13。
【答案】
7或13
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查相反数、倒数、绝对值的基本概念，解题时需注意绝对值为正数的数有正负两个取值，要通过分类讨论完整求解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，根据已知条件先求出a+b、cd以及x的取值；由于绝对值为3的数有两个，因此x存在两种取值，需要分x=3和x=-3两种情况，将对应的值代入代数式，结合幂的运算规则分别计算结果即可，注意不要漏掉任意一种x的取值情况。
【解析】
解：由题意得：
∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵x的绝对值是3，
∴x=3或x=-3。
①当x=3时，代入代数式得：
$x^2 - (a+b+cd)x + (a+b)^{2025} + (-cd)^{2026}$
$=3^2 - (0+1)×3 + 0^{2025} + (-1)^{2026}$
$=9 - 3 + 0 + 1$
$=7$
②当x=-3时，代入代数式得：
$x^2 - (a+b+cd)x + (a+b)^{2025} + (-cd)^{2026}$
$=(-3)^2 - (0+1)×(-3) + 0^{2025} + (-1)^{2026}$
$=9 + 3 + 0 + 1$
$=13$
综上，代数式的值为7或13。
【答案】
7或13
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查相反数、倒数、绝对值的基本概念，解题时需注意绝对值为正数的数有正负两个取值，要通过分类讨论完整求解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
16. (16分)若$x^m = y$，则记为$(x,y)=m$，例如$3^2=9$，则$(3,9)=2$。
（1）根据上述规定，直接写出$(2,8)=$
（2）若$(4,a)=2$，$(b,8)=3$，求$(b,a)$的值。
（1）根据上述规定，直接写出$(2,8)=$
3
，$(3,81)=$4
；（2）若$(4,a)=2$，$(b,8)=3$，求$(b,a)$的值。
答案
16. （1）3 4 （2）因为(4,a)=2,(b,8)=3,所以$a=4^2=16$,$b^3=8.$ 所以易得b=2. 所以(b,a)=(2,16). 因为$2^4=16$,所以(b,a)=4
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题核心是先准确理解题目给出的运算规则：若$x^m=y$，则$(x,y)=m$，本质是已知底数和幂的值，求对应的指数。
（1）第一小问直接利用规则，分别求出2的多少次方等于8、3的多少次方等于81，即可得到对应结果；
（2）第二小问先根据新定义规则，分别计算出$a$和$b$的值，再代入$(b,a)$，再次利用规则求出结果即可。
【解析】
（1）因为$2^3=8$，根据题中定义可得$(2,8)=3$；
因为$3^4=81$，根据题中定义可得$(3,81)=4$。
（2）根据新定义的运算规则：
已知$(4,a)=2$，可得$a=4^2=16$；
已知$(b,8)=3$，可得$b^3=8$，解得$b=2$；
因此$(b,a)=(2,16)$，又因为$2^4=16$，所以$(2,16)=4$，即$(b,a)=4$。
【答案】
（1）$\boxed{3}$，$\boxed{4}$；（2）$\boxed{4}$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 有理数乘方运算
【点评】
本题主要考查对新定义运算规则的理解能力和有理数乘方的计算能力，只要准确理解新定义的含义，将其转化为熟悉的乘方运算即可顺利求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算题型，解题核心是先准确理解题目给出的运算规则：若$x^m=y$，则$(x,y)=m$，本质是已知底数和幂的值，求对应的指数。
（1）第一小问直接利用规则，分别求出2的多少次方等于8、3的多少次方等于81，即可得到对应结果；
（2）第二小问先根据新定义规则，分别计算出$a$和$b$的值，再代入$(b,a)$，再次利用规则求出结果即可。
【解析】
（1）因为$2^3=8$，根据题中定义可得$(2,8)=3$；
因为$3^4=81$，根据题中定义可得$(3,81)=4$。
（2）根据新定义的运算规则：
已知$(4,a)=2$，可得$a=4^2=16$；
已知$(b,8)=3$，可得$b^3=8$，解得$b=2$；
因此$(b,a)=(2,16)$，又因为$2^4=16$，所以$(2,16)=4$，即$(b,a)=4$。
【答案】
（1）$\boxed{3}$，$\boxed{4}$；（2）$\boxed{4}$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 有理数乘方运算
【点评】
本题主要考查对新定义运算规则的理解能力和有理数乘方的计算能力，只要准确理解新定义的含义，将其转化为熟悉的乘方运算即可顺利求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
