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9. 新考向 传统文化 中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局图，建立适当的平面直角坐标系，使棋子“帅”和“炮”分别位于点$(-2,-1)$和点$(-1,1)$的位置，则在同一平面直角坐标系中，经过棋子“帅”和“马”所在的点的直线对应的函数表达式为（
A.$y=x+1$
B.$y=x-1$
C.$y=2x+1$
D.$y=2x-1$
A
）A.$y=x+1$
B.$y=x-1$
C.$y=2x+1$
D.$y=2x-1$
答案
9.A
解析
【分析】
首先根据已知“帅”和“炮”的坐标，明确平面直角坐标系的正方向和单位长度（每个网格代表1个单位长度），由此定位出“马”的坐标；再设过“帅”和“马”的一次函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$，将两个点的坐标代入表达式，用待定系数法求解$k$和$b$的值，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
1. 确定“马”的坐标：
已知“帅”位于$(-2,-1)$，“炮”位于$(-1,1)$，可知坐标系向右为$x$轴正方向，向上为$y$轴正方向，每个网格边长为1个单位长度。观察棋盘可得“马”的横坐标为$-2+3=1$，纵坐标为$-1+3=2$，即“马”的坐标为$(1,2)$。
2. 用待定系数法求函数表达式：
设经过点$(-2,-1)$和$(1,2)$的直线解析式为$y=kx+b(k\ne0)$，将两点坐标分别代入得：
$\begin{cases} -2k + b = -1 \\ k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$k+b=2$，得$1+b=2$，解得$b=1$。
因此直线对应的函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系应用，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合中国象棋传统文化考查坐标定位和一次函数的相关知识，解题核心是先根据已知点坐标准确推出未知点的坐标，再熟练运用待定系数法求解即可，兼顾了文化性和知识性。
【难度系数】
0.7
首先根据已知“帅”和“炮”的坐标，明确平面直角坐标系的正方向和单位长度（每个网格代表1个单位长度），由此定位出“马”的坐标；再设过“帅”和“马”的一次函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$，将两个点的坐标代入表达式，用待定系数法求解$k$和$b$的值，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
1. 确定“马”的坐标：
已知“帅”位于$(-2,-1)$，“炮”位于$(-1,1)$，可知坐标系向右为$x$轴正方向，向上为$y$轴正方向，每个网格边长为1个单位长度。观察棋盘可得“马”的横坐标为$-2+3=1$，纵坐标为$-1+3=2$，即“马”的坐标为$(1,2)$。
2. 用待定系数法求函数表达式：
设经过点$(-2,-1)$和$(1,2)$的直线解析式为$y=kx+b(k\ne0)$，将两点坐标分别代入得：
$\begin{cases} -2k + b = -1 \\ k + b = 2 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=3$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$k+b=2$，得$1+b=2$，解得$b=1$。
因此直线对应的函数表达式为$y=x+1$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系应用，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合中国象棋传统文化考查坐标定位和一次函数的相关知识，解题核心是先根据已知点坐标准确推出未知点的坐标，再熟练运用待定系数法求解即可，兼顾了文化性和知识性。
【难度系数】
0.7
10.在平面直角坐标系中,将线段AB沿一定方向平移得到线段$A'B'$,已知点$A,A'$的坐标分别为$(0,3),(2,5)$.若直线$B'B$经过点$(1,0)$,则直线$B'B$的表达式为
$y=x-1$
.答案
10.$y=x-1$
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质：平移前后对应点的连线互相平行，可知直线B'B与直线A'A的一次项系数k相同。首先根据点A、A'的坐标求出直线A'A的k值，再设直线B'B的表达式，将已知点(1,0)代入，用待定系数法即可求出表达式。
【解析】
1. 先求直线AA'的一次项系数：设直线AA'的表达式为$y=kx+b$，将$A(0,3)$、$A'(2,5)$分别代入表达式：
把$x=0,y=3$代入，得$b=3$；
把$x=2,y=5,b=3$代入，得$5=2k+3$，解得$k=1$。
2. 根据平移的性质，对应点连线互相平行，因此直线B'B的一次项系数与直线AA'相同，即$k=1$，可设直线B'B的表达式为$y=x+m$。
3. 已知直线B'B经过点$(1,0)$，将$x=1,y=0$代入$y=x+m$，得$0=1+m$，解得$m=-1$。
因此直线B'B的表达式为$y=x-1$。
【答案】
$y=x-1$
【知识点】
平移的性质；待定系数法；一次函数表达式
【点评】
本题结合平移性质和一次函数解析式的求解考查，解题的核心是抓住平移时对应点连线平行的特征得到一次项系数，再结合已知点求解，是基础的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平移的性质：平移前后对应点的连线互相平行，可知直线B'B与直线A'A的一次项系数k相同。首先根据点A、A'的坐标求出直线A'A的k值，再设直线B'B的表达式，将已知点(1,0)代入，用待定系数法即可求出表达式。
【解析】
1. 先求直线AA'的一次项系数：设直线AA'的表达式为$y=kx+b$，将$A(0,3)$、$A'(2,5)$分别代入表达式：
把$x=0,y=3$代入，得$b=3$；
把$x=2,y=5,b=3$代入，得$5=2k+3$，解得$k=1$。
2. 根据平移的性质，对应点连线互相平行，因此直线B'B的一次项系数与直线AA'相同，即$k=1$，可设直线B'B的表达式为$y=x+m$。
3. 已知直线B'B经过点$(1,0)$，将$x=1,y=0$代入$y=x+m$，得$0=1+m$，解得$m=-1$。
因此直线B'B的表达式为$y=x-1$。
【答案】
$y=x-1$
【知识点】
平移的性质；待定系数法；一次函数表达式
【点评】
本题结合平移性质和一次函数解析式的求解考查，解题的核心是抓住平移时对应点连线平行的特征得到一次项系数，再结合已知点求解，是基础的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,经过点$A(-2,0)$的直线$l_1:y=kx+b$与直线$l_2:y=-x+1$交于点$P(-1,a)$,直线$l_2$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$B$.
(1)求直线$l_1$的表达式;
(2)求四边形$PAOC$的面积.
(1)求直线$l_1$的表达式;
(2)求四边形$PAOC$的面积.
答案
11.解:(1)把$P(-1,a)$代入$y=-x+1$,得$a=2$,
则点$P$的坐标为$(-1,2)$.
把$A(-2,0),P(-1,2)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}-2k+b=0,\\-k+b=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4.\end{cases}$
所以直线$l_1$的表达式为$y=2x+4$.
(2)因为直线$y=-x+1$交$x$轴于点$B$,交$y$轴于点$C$,
所以易得$B(1,0),C(0,1)$,所以$OB=1,OC=1$.
因为$A(-2,0)$,所以$AB=3$.
因为$P(-1,2)$,所以$|y_P|=2$.
所以$S_{\mathrm{四边形}PAOC}=S_{\mathrm{三角形}ABP}-S_{\mathrm{三角形}BOC}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|-\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{5}{2}$.
则点$P$的坐标为$(-1,2)$.
把$A(-2,0),P(-1,2)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}-2k+b=0,\\-k+b=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4.\end{cases}$
所以直线$l_1$的表达式为$y=2x+4$.
(2)因为直线$y=-x+1$交$x$轴于点$B$,交$y$轴于点$C$,
所以易得$B(1,0),C(0,1)$,所以$OB=1,OC=1$.
因为$A(-2,0)$,所以$AB=3$.
因为$P(-1,2)$,所以$|y_P|=2$.
所以$S_{\mathrm{四边形}PAOC}=S_{\mathrm{三角形}ABP}-S_{\mathrm{三角形}BOC}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|-\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要求直线$l_1$的表达式，已知它过点$A(-2,0)$和两直线交点$P$，首先利用点$P$在$l_2$上的性质，将$P(-1,a)$代入$l_2$的解析式求出$a$，得到$P$点的完整坐标；再用待定系数法，把$A$、$P$两点坐标代入$y=kx+b$，解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，即可得到$l_1$的表达式。
(2) 四边形$PAOC$是不规则图形，采用割补法求解：先求出$l_2$与$x$轴、$y$轴的交点$B$、$C$的坐标，分别计算$△ ABP$和$△ BOC$的面积，用$△ ABP$的面积减去$△ BOC$的面积，即可得到四边形$PAOC$的面积。
【解析】
(1) 把$P(-1,a)$代入$y=-x+1$，得$a=-(-1)+1=2$，则点$P$的坐标为$(-1,2)$。
把$A(-2,0)$、$P(-1,2)$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 0 \\ -k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$-2k + b = 0$，解得$b=4$。
所以直线$l_1$的表达式为$y=2x+4$。
(2) 对于直线$y=-x+1$，令$y=0$，得$-x+1=0$，解得$x=1$，即$B(1,0)$；令$x=0$，得$y=1$，即$C(0,1)$。
因此$OB=1$，$OC=1$，又$A(-2,0)$，所以$AB=1 - (-2)=3$，点$P$到$x$轴的距离为$|y_P|=2$。
$S_{\mathrm{四边形}PAOC}=S_{△ ABP}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × AB × |y_P| - \frac{1}{2} × OB × OC=\frac{1}{2} × 3 × 2 - \frac{1}{2} × 1 × 1=3 - \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $y=2x+4$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴的交点；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问考查待定系数法的常规应用，需要掌握“点在函数图象上则坐标满足函数解析式”的核心性质；第二问通过割补法将不规则图形面积转化为规则三角形的面积差，是坐标系中求不规则图形面积的常用思路，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 要求直线$l_1$的表达式，已知它过点$A(-2,0)$和两直线交点$P$，首先利用点$P$在$l_2$上的性质，将$P(-1,a)$代入$l_2$的解析式求出$a$，得到$P$点的完整坐标；再用待定系数法，把$A$、$P$两点坐标代入$y=kx+b$，解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，即可得到$l_1$的表达式。
(2) 四边形$PAOC$是不规则图形，采用割补法求解：先求出$l_2$与$x$轴、$y$轴的交点$B$、$C$的坐标，分别计算$△ ABP$和$△ BOC$的面积，用$△ ABP$的面积减去$△ BOC$的面积，即可得到四边形$PAOC$的面积。
【解析】
(1) 把$P(-1,a)$代入$y=-x+1$，得$a=-(-1)+1=2$，则点$P$的坐标为$(-1,2)$。
把$A(-2,0)$、$P(-1,2)$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k + b = 0 \\ -k + b = 2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$-2k + b = 0$，解得$b=4$。
所以直线$l_1$的表达式为$y=2x+4$。
(2) 对于直线$y=-x+1$，令$y=0$，得$-x+1=0$，解得$x=1$，即$B(1,0)$；令$x=0$，得$y=1$，即$C(0,1)$。
因此$OB=1$，$OC=1$，又$A(-2,0)$，所以$AB=1 - (-2)=3$，点$P$到$x$轴的距离为$|y_P|=2$。
$S_{\mathrm{四边形}PAOC}=S_{△ ABP}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × AB × |y_P| - \frac{1}{2} × OB × OC=\frac{1}{2} × 3 × 2 - \frac{1}{2} × 1 × 1=3 - \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $y=2x+4$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴的交点；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问考查待定系数法的常规应用，需要掌握“点在函数图象上则坐标满足函数解析式”的核心性质；第二问通过割补法将不规则图形面积转化为规则三角形的面积差，是坐标系中求不规则图形面积的常用思路，解题难度较低。
【难度系数】
0.7
12.已知一次函数 $ y = kx - k + 2 $（$ k $ 为常数，且 $ k ≠ 0 $）.
(1)若点$(-1,3)$在一次函数 $ y = kx - k + 2 $ 的图象上.
①求 $ k $ 的值；
②设 $ P = x + y $，则当$-2 ≤ x ≤ 5$时，求 $ P $ 的最大值.
(2)若当 $ m - 3 ≤ x ≤ m $ 时，函数有最大值 $ M $，最小值 $ N $，且 $ M - N = 6 $，求此时一次函数的表达式.
(1)若点$(-1,3)$在一次函数 $ y = kx - k + 2 $ 的图象上.
①求 $ k $ 的值；
②设 $ P = x + y $，则当$-2 ≤ x ≤ 5$时，求 $ P $ 的最大值.
(2)若当 $ m - 3 ≤ x ≤ m $ 时，函数有最大值 $ M $，最小值 $ N $，且 $ M - N = 6 $，求此时一次函数的表达式.
答案
12.解:(1)①把$(-1,3)$代入$y=kx-k+2$,得$-k-k+2=3$,
解得$k=-\dfrac{1}{2}$.
②当$k=-\dfrac{1}{2}$时,$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$,
所以$P=x+y=x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
因为$\dfrac{1}{2}＞0$,所以$P$随$x$的增大而增大.
因为$-2≤ x≤5$,所以当$x=5$时,$P$的值最大,
此时$P=\dfrac{1}{2}×5+\dfrac{5}{2}=5$,即$P$的最大值为$5$.
(2)当$k＞0$时,$M=km-k+2,N=k(m-3)-k+2$.
因为$M-N=6$,所以$km-k+2-[k(m-3)-k+2]=6$,
解得$k=2$,符合题意.
此时一次函数的表达式为$y=2x$.
当$k＜0$时,$M=k(m-3)-k+2,N=km-k+2$.
因为$M-N=6$,所以$k(m-3)-k+2-(km-k+2)=6$,
解得$k=-2$,符合题意,
此时一次函数的表达式为$y=-2x+4$.
综上所述,此时一次函数的表达式为$y=2x$或$y=-2x+4$.
解得$k=-\dfrac{1}{2}$.
②当$k=-\dfrac{1}{2}$时,$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$,
所以$P=x+y=x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
因为$\dfrac{1}{2}＞0$,所以$P$随$x$的增大而增大.
因为$-2≤ x≤5$,所以当$x=5$时,$P$的值最大,
此时$P=\dfrac{1}{2}×5+\dfrac{5}{2}=5$,即$P$的最大值为$5$.
(2)当$k＞0$时,$M=km-k+2,N=k(m-3)-k+2$.
因为$M-N=6$,所以$km-k+2-[k(m-3)-k+2]=6$,
解得$k=2$,符合题意.
此时一次函数的表达式为$y=2x$.
当$k＜0$时,$M=k(m-3)-k+2,N=km-k+2$.
因为$M-N=6$,所以$k(m-3)-k+2-(km-k+2)=6$,
解得$k=-2$,符合题意,
此时一次函数的表达式为$y=-2x+4$.
综上所述,此时一次函数的表达式为$y=2x$或$y=-2x+4$.
解析
【分析】
（1）①若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点$(-1,3)$代入$y = kx - k + 2$，即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值；②将①中求得的$k$代入原函数解析式，得到$y$关于$x$的表达式，代入$P=x+y$整理为关于$x$的一次函数，根据一次项系数的正负判断$P$的增减性，再结合$x$的取值范围$-2 ≤ x ≤ 5$，即可求出$P$的最大值。
（2）一次函数的增减性由$k$的符号决定，因此需分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x$取最大值$m$时函数有最大值$M$，$x$取最小值$m-3$时函数有最小值$N$；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x$取最小值$m-3$时函数有最大值$M$，$x$取最大值$m$时函数有最小值$N$。分别将对应的$M$、$N$代入$M-N=6$，解方程求出$k$的值，即可得到一次函数的表达式。
【解析】
(1)①把$(-1,3)$代入$y=kx-k+2$，得$-k-k+2=3$，
解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
②当$k=-\dfrac{1}{2}$时，$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$，
所以$P=x+y=x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$。
因为$\dfrac{1}{2}＞0$，所以$P$随$x$的增大而增大。
因为$-2≤ x≤5$，所以当$x=5$时，$P$的值最大，
此时$P=\dfrac{1}{2}×5+\dfrac{5}{2}=5$，即$P$的最大值为$5$。
(2)当$k＞0$时，$M=km-k+2$，$N=k(m-3)-k+2$。
因为$M-N=6$，所以$km-k+2-[k(m-3)-k+2]=6$，
解得$k=2$，符合题意。
此时一次函数的表达式为$y=2x$。
当$k＜0$时，$M=k(m-3)-k+2$，$N=km-k+2$。
因为$M-N=6$，所以$k(m-3)-k+2-(km-k+2)=6$，
解得$k=-2$，符合题意，
此时一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
综上所述，此时一次函数的表达式为$y=2x$或$y=-2x+4$。
【答案】
(1)①$k=-\dfrac{1}{2}$；②$P$的最大值为$5$；
(2)$y=2x$或$y=-2x+4$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.一次函数的增减性
3.待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查一次函数的性质应用，解题时需注意对$k$的正负分类讨论，结合自变量的取值范围确定函数的最值，侧重考查分类讨论思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
（1）①若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点$(-1,3)$代入$y = kx - k + 2$，即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值；②将①中求得的$k$代入原函数解析式，得到$y$关于$x$的表达式，代入$P=x+y$整理为关于$x$的一次函数，根据一次项系数的正负判断$P$的增减性，再结合$x$的取值范围$-2 ≤ x ≤ 5$，即可求出$P$的最大值。
（2）一次函数的增减性由$k$的符号决定，因此需分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x$取最大值$m$时函数有最大值$M$，$x$取最小值$m-3$时函数有最小值$N$；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此$x$取最小值$m-3$时函数有最大值$M$，$x$取最大值$m$时函数有最小值$N$。分别将对应的$M$、$N$代入$M-N=6$，解方程求出$k$的值，即可得到一次函数的表达式。
【解析】
(1)①把$(-1,3)$代入$y=kx-k+2$，得$-k-k+2=3$，
解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
②当$k=-\dfrac{1}{2}$时，$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$，
所以$P=x+y=x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$。
因为$\dfrac{1}{2}＞0$，所以$P$随$x$的增大而增大。
因为$-2≤ x≤5$，所以当$x=5$时，$P$的值最大，
此时$P=\dfrac{1}{2}×5+\dfrac{5}{2}=5$，即$P$的最大值为$5$。
(2)当$k＞0$时，$M=km-k+2$，$N=k(m-3)-k+2$。
因为$M-N=6$，所以$km-k+2-[k(m-3)-k+2]=6$，
解得$k=2$，符合题意。
此时一次函数的表达式为$y=2x$。
当$k＜0$时，$M=k(m-3)-k+2$，$N=km-k+2$。
因为$M-N=6$，所以$k(m-3)-k+2-(km-k+2)=6$，
解得$k=-2$，符合题意，
此时一次函数的表达式为$y=-2x+4$。
综上所述，此时一次函数的表达式为$y=2x$或$y=-2x+4$。
【答案】
(1)①$k=-\dfrac{1}{2}$；②$P$的最大值为$5$；
(2)$y=2x$或$y=-2x+4$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.一次函数的增减性
3.待定系数法求解析式
【点评】
本题综合考查一次函数的性质应用，解题时需注意对$k$的正负分类讨论，结合自变量的取值范围确定函数的最值，侧重考查分类讨论思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
