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【问题背景】
对于一个图形，两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如：图1可以得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
【类比探究】
(1)图2两个图形中的小长方形完全一样，观察图2，可得$(m + n)^2, (m - n)^2, mn$之间的等量关系是
(2)观察图3，可得$(c + d + e)^2 =$
【结论应用】
(3)根据(1)中的结论，若$x + y = 4, xy = 1$，则$(x - y)^2$的值是
(4)根据(2)中的结论，若$s + t + z = 12, s^2 + t^2 + z^2 = 60$，求$st + tz + sz$的值。
【问题解决】
(5)如图4，将正方形ABCD，CGFE拼在一起，点B,C,G在同一条直线上，点E在CD上，连结AE，EG. 若$BC + CG = 15, BC · CG = 35$，求图中阴影部分的面积。
(6)如图5，点M在线段HK上，分别以HM,MK为边，向上作等腰直角三角形HMN,等腰直角三角形WMK，点W在MN上，连接HW. 若$HK = 11, NW = 3$，求图中阴影部分的面积。
(7)如图6，某学校有一块四边形空地OQRL, $OR ⊥ QL$于点P, $OP = LP, PQ = PR$. 该校计划在$△ OPL$和$△ QPR$区域内种花，在$△ RPL$和$△ OQP$区域内种草. 经测量，种花区域的面积之和为$109 \ \mathrm{m}^2$, $OR = 16 \ \mathrm{m}$,求种草区域的面积之和。
对于一个图形，两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如：图1可以得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
【类比探究】
(1)图2两个图形中的小长方形完全一样，观察图2，可得$(m + n)^2, (m - n)^2, mn$之间的等量关系是
$(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn$
。(2)观察图3，可得$(c + d + e)^2 =$
$c^2 + d^2 + e^2 + 2cd + 2ce + 2de$
。【结论应用】
(3)根据(1)中的结论，若$x + y = 4, xy = 1$，则$(x - y)^2$的值是
12
。(4)根据(2)中的结论，若$s + t + z = 12, s^2 + t^2 + z^2 = 60$，求$st + tz + sz$的值。
【问题解决】
(5)如图4，将正方形ABCD，CGFE拼在一起，点B,C,G在同一条直线上，点E在CD上，连结AE，EG. 若$BC + CG = 15, BC · CG = 35$，求图中阴影部分的面积。
(6)如图5，点M在线段HK上，分别以HM,MK为边，向上作等腰直角三角形HMN,等腰直角三角形WMK，点W在MN上，连接HW. 若$HK = 11, NW = 3$，求图中阴影部分的面积。
(7)如图6，某学校有一块四边形空地OQRL, $OR ⊥ QL$于点P, $OP = LP, PQ = PR$. 该校计划在$△ OPL$和$△ QPR$区域内种花，在$△ RPL$和$△ OQP$区域内种草. 经测量，种花区域的面积之和为$109 \ \mathrm{m}^2$, $OR = 16 \ \mathrm{m}$,求种草区域的面积之和。
答案
解:(1) $(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn$
(2) $c^2 + d^2 + e^2 + 2cd + 2ce + 2de$
(3)12
由(1)可得,$(x - y)^2 = (x + y)^2 -4xy =16 -4 =12.$
(4)由(2)可得,$st + tz + sz = \dfrac{1}{2}[ (s + t + z)^2 - (s^2 + t^2 + z^2) ].$
$\because s + t + z =12,s^2 + t^2 + z^2 =60,$
$\therefore st + tz + sz = \dfrac{1}{2} × (12^2 -60) =42.$
(5)根据题意,得 $S_{\mathrm{阴影部分}} = BC^2 + CG^2 - \dfrac{BC}{2}(BC - CG) - \dfrac{CG^2}{2} = BC^2 + CG^2 - \dfrac{BC^2}{2} + \dfrac{BC · CG}{2} - \dfrac{CG^2}{2} = \dfrac{BC^2 + CG^2 + BC · CG}{2} = \dfrac{(BC + CG)^2 - BC · CG}{2}.$
$\because BC + CG =15,BC · CG =35,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = \dfrac{15^2 -35}{2} =95.$
(6)在$△ HMN$ 和$△ KMW$ 中,$KM = MW,HM = MN$,
则 $HM + MW = HK =11,HM - MW = NW =3.$
由(1)可得,$4HM · MW = (HM + MW)^2 - (HM - MW)^2 =121 -9 =112$,
$\therefore S_{△ HMW} = \dfrac{1}{2}HM · MW =14.$
(7)设 $QP = PR = p,OP = LP = q$,
则 $p + q = OR =16,\dfrac{1}{2}p^2 + \dfrac{1}{2}q^2 =109.$
$\because (p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq =109 ×2 + 2pq =16^2,$
$\therefore pq =19,\therefore S_{△ OQP} + S_{△ RLP} =pq =19,$
$\therefore$ 种草区域的面积之和为 $19 \ \mathrm{m}^2$.
(2) $c^2 + d^2 + e^2 + 2cd + 2ce + 2de$
(3)12
由(1)可得,$(x - y)^2 = (x + y)^2 -4xy =16 -4 =12.$
(4)由(2)可得,$st + tz + sz = \dfrac{1}{2}[ (s + t + z)^2 - (s^2 + t^2 + z^2) ].$
$\because s + t + z =12,s^2 + t^2 + z^2 =60,$
$\therefore st + tz + sz = \dfrac{1}{2} × (12^2 -60) =42.$
(5)根据题意,得 $S_{\mathrm{阴影部分}} = BC^2 + CG^2 - \dfrac{BC}{2}(BC - CG) - \dfrac{CG^2}{2} = BC^2 + CG^2 - \dfrac{BC^2}{2} + \dfrac{BC · CG}{2} - \dfrac{CG^2}{2} = \dfrac{BC^2 + CG^2 + BC · CG}{2} = \dfrac{(BC + CG)^2 - BC · CG}{2}.$
$\because BC + CG =15,BC · CG =35,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = \dfrac{15^2 -35}{2} =95.$
(6)在$△ HMN$ 和$△ KMW$ 中,$KM = MW,HM = MN$,
则 $HM + MW = HK =11,HM - MW = NW =3.$
由(1)可得,$4HM · MW = (HM + MW)^2 - (HM - MW)^2 =121 -9 =112$,
$\therefore S_{△ HMW} = \dfrac{1}{2}HM · MW =14.$
(7)设 $QP = PR = p,OP = LP = q$,
则 $p + q = OR =16,\dfrac{1}{2}p^2 + \dfrac{1}{2}q^2 =109.$
$\because (p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq =109 ×2 + 2pq =16^2,$
$\therefore pq =19,\therefore S_{△ OQP} + S_{△ RLP} =pq =19,$
$\therefore$ 种草区域的面积之和为 $19 \ \mathrm{m}^2$.
