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9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$，$AC$为边在$△ ABC$的外侧作等边三角形$ABE$和等边三角形$ACD$，且$∠ EDC = 40°$，则$∠ ABC$的度数为（
A.$75°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$85°$
B
）A.$75°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$85°$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质得到边相等、角为60°的结论，结合已知AB=AC可推出AE=AD，得到等腰△AED；再根据∠EDC的度数求出∠ADE的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠AED的度数，结合三角形内角和算出∠EAD的度数；接着通过角的和差关系求出△ABC的顶角∠BAC的度数，最后利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，且AB=AC
∴AE=AB=AC=AD，∠EAB=∠DAC=∠ADC=60°
∴AE=AD，△AED为等腰三角形
已知∠EDC=40°，则∠ADE=∠ADC - ∠EDC=60°-40°=20°
根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠AED=∠ADE=20°
在△AED中，由三角形内角和为180°，得：
∠EAD=180° - ∠ADE - ∠AED=180°-20°-20°=140°
观察角的组成可得∠EAD=∠EAB + ∠BAC + ∠DAC，因此：
∠BAC=∠EAD - ∠EAB - ∠DAC=140°-60°-60°=20°
在△ABC中，AB=AC，△ABC为等腰三角形，两底角相等：
∠ABC=(180° - ∠BAC)÷2=(180°-20°)÷2=80°
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何角度计算的综合题，解题核心是利用等边、等腰三角形的边相等、角相等的性质，理清各个角之间的和差关系，逐步推导得到所求角的度数，能较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等边三角形的性质得到边相等、角为60°的结论，结合已知AB=AC可推出AE=AD，得到等腰△AED；再根据∠EDC的度数求出∠ADE的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠AED的度数，结合三角形内角和算出∠EAD的度数；接着通过角的和差关系求出△ABC的顶角∠BAC的度数，最后利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，且AB=AC
∴AE=AB=AC=AD，∠EAB=∠DAC=∠ADC=60°
∴AE=AD，△AED为等腰三角形
已知∠EDC=40°，则∠ADE=∠ADC - ∠EDC=60°-40°=20°
根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠AED=∠ADE=20°
在△AED中，由三角形内角和为180°，得：
∠EAD=180° - ∠ADE - ∠AED=180°-20°-20°=140°
观察角的组成可得∠EAD=∠EAB + ∠BAC + ∠DAC，因此：
∠BAC=∠EAD - ∠EAB - ∠DAC=140°-60°-60°=20°
在△ABC中，AB=AC，△ABC为等腰三角形，两底角相等：
∠ABC=(180° - ∠BAC)÷2=(180°-20°)÷2=80°
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何角度计算的综合题，解题核心是利用等边、等腰三角形的边相等、角相等的性质，理清各个角之间的和差关系，逐步推导得到所求角的度数，能较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A(-3,0)，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，则点D的坐标为
(9,0)
。答案
10.(9,0)
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先结合等边三角形的性质与坐标轴垂直的特点，利用三线合一确定O是AC中点，得到OA=OC，同时得到等边三角形的边长AB=AC，以及内角∠BAC=60°；2. 由BD⊥AB得到直角三角形ABD，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB=30°；3. 利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AD的长度；4. 结合A点的坐标，计算出D点的横坐标，得到D点坐标。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC（y轴⊥x轴）
∴O为AC中点，∠BAC=60°，AB=AC
∵A(-3,0)，
∴OA=3，
∴OC=OA=3，AC=OA+OC=6，即AB=6
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠BAC=90°-60°=30°
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD=2AB=2×6=12
∵点A坐标为(-3,0)，点D在x轴正半轴上
∴点D的横坐标为-3+12=9，纵坐标为0
即D点坐标为(9,0)
【答案】
(9,0)
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，坐标与图形
【点评】
本题是等边三角形和直角三角形性质的综合应用题目，解题的突破口是利用等边三角形三线合一的性质得到边长与角度，再结合直角三角形的特殊角性质求解线段长度，解题时注意结合坐标轴的特点计算点坐标。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先结合等边三角形的性质与坐标轴垂直的特点，利用三线合一确定O是AC中点，得到OA=OC，同时得到等边三角形的边长AB=AC，以及内角∠BAC=60°；2. 由BD⊥AB得到直角三角形ABD，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB=30°；3. 利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AD的长度；4. 结合A点的坐标，计算出D点的横坐标，得到D点坐标。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC（y轴⊥x轴）
∴O为AC中点，∠BAC=60°，AB=AC
∵A(-3,0)，
∴OA=3，
∴OC=OA=3，AC=OA+OC=6，即AB=6
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠BAC=90°-60°=30°
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD=2AB=2×6=12
∵点A坐标为(-3,0)，点D在x轴正半轴上
∴点D的横坐标为-3+12=9，纵坐标为0
即D点坐标为(9,0)
【答案】
(9,0)
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，坐标与图形
【点评】
本题是等边三角形和直角三角形性质的综合应用题目，解题的突破口是利用等边三角形三线合一的性质得到边长与角度，再结合直角三角形的特殊角性质求解线段长度，解题时注意结合坐标轴的特点计算点坐标。
【难度系数】
0.7
11.如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE=2∠BCD，若CD的长度为30 cm，则此时B，D两点之间的距离为
30
cm.答案
11.30
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知CD和BC长度相等，先得到BC的长度；再利用邻补角和为180°，结合∠BCE=2∠BCD的条件，计算出∠BCD的度数；最后根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△BCD的形状，即可得到BD的长度。
【解析】
解：已知CD=BC，CD=30cm，
∴BC=CD=30cm。
∵点E在DC的延长线上，
∴∠BCE与∠BCD是邻补角，即∠BCE+∠BCD=180°，
又
∵∠BCE=2∠BCD，
∴2∠BCD + ∠BCD = 180°，
即3∠BCD=180°，解得∠BCD=60°。
在△BCD中，BC=CD，且∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=30cm。
【答案】
30
【知识点】
邻补角性质，等边三角形判定，等边三角形性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先通过角度关系求出等腰三角形的顶角度数，判定三角形为等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质求解边长，考查的都是基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据已知CD和BC长度相等，先得到BC的长度；再利用邻补角和为180°，结合∠BCE=2∠BCD的条件，计算出∠BCD的度数；最后根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”判定△BCD的形状，即可得到BD的长度。
【解析】
解：已知CD=BC，CD=30cm，
∴BC=CD=30cm。
∵点E在DC的延长线上，
∴∠BCE与∠BCD是邻补角，即∠BCE+∠BCD=180°，
又
∵∠BCE=2∠BCD，
∴2∠BCD + ∠BCD = 180°，
即3∠BCD=180°，解得∠BCD=60°。
在△BCD中，BC=CD，且∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=30cm。
【答案】
30
【知识点】
邻补角性质，等边三角形判定，等边三角形性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先通过角度关系求出等腰三角形的顶角度数，判定三角形为等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质求解边长，考查的都是基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠BAD=60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE//AB.
(1)判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)若AD=12，CE=8，求CF的长.
(1)判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)若AD=12，CE=8，求CF的长.
答案
12.解:(1)△DEF是等边三角形,理由如下：
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE//AB,
∴∠CED=∠BAD=60°,
∠DFE=∠ABD=60°.
∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°.
∴△DEF是等边三角形.
(2)连接AC,交BD于点O.
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC是BD的垂直平分线,即AC⊥BD.
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE//AB,
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°.
∴AE=CE=8.
∴DE=AD-AE=12-8=4.
∵△DEF是等边三角形,
∴EF=DE=4.
∴CF=CE-EF=8-4=4.
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE//AB,
∴∠CED=∠BAD=60°,
∠DFE=∠ABD=60°.
∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°.
∴△DEF是等边三角形.
(2)连接AC,交BD于点O.
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC是BD的垂直平分线,即AC⊥BD.
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE//AB,
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°.
∴AE=CE=8.
∴DE=AD-AE=12-8=4.
∵△DEF是等边三角形,
∴EF=DE=4.
∴CF=CE-EF=8-4=4.
解析
【分析】
(1)判断△DEF的形状时，先由AB=AD、∠BAD=60°判定△ABD为等边三角形，得到∠ABD、∠ADB的度数，再结合CE//AB的平行线性质，推导△DEF三个内角的度数，即可判定三角形形状。
(2)求CF的长时，已知CE的长度，只需算出EF的长度即可。先连接AC，由AB=AD、CB=CD得出AC垂直平分BD，结合等边三角形三线合一的性质得到AC平分∠BAD；再由CE//AB推导角相等，得到AE=CE，进而算出DE的长度，结合(1)的结论得到EF=DE，最后用CE减EF即可求出CF。
【解析】
(1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°。
∵CE//AB，
∴∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形。
(2)连接AC，交BD于点O。
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD。
∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，
∴AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC=30°。
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE=30°，
∴∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8。
∵AD=12，
∴DE=AD-AE=12-8=4。
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4。
【答案】
(1)△DEF是等边三角形；(2)CF的长为4。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于等边三角形的基础综合题，解题核心是通过已知条件转化角与边的关系，第二问需要合理构造辅助线，对学生的逻辑推导能力有一定的锻炼作用，适合巩固特殊三角形的相关知识点。
【难度系数】
0.7
(1)判断△DEF的形状时，先由AB=AD、∠BAD=60°判定△ABD为等边三角形，得到∠ABD、∠ADB的度数，再结合CE//AB的平行线性质，推导△DEF三个内角的度数，即可判定三角形形状。
(2)求CF的长时，已知CE的长度，只需算出EF的长度即可。先连接AC，由AB=AD、CB=CD得出AC垂直平分BD，结合等边三角形三线合一的性质得到AC平分∠BAD；再由CE//AB推导角相等，得到AE=CE，进而算出DE的长度，结合(1)的结论得到EF=DE，最后用CE减EF即可求出CF。
【解析】
(1)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°。
∵CE//AB，
∴∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形。
(2)连接AC，交BD于点O。
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD。
∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，
∴AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC=30°。
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE=30°，
∴∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8。
∵AD=12，
∴DE=AD-AE=12-8=4。
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4。
【答案】
(1)△DEF是等边三角形；(2)CF的长为4。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于等边三角形的基础综合题，解题核心是通过已知条件转化角与边的关系，第二问需要合理构造辅助线，对学生的逻辑推导能力有一定的锻炼作用，适合巩固特殊三角形的相关知识点。
【难度系数】
0.7
13. 已知$△ ABC$是等边三角形，将直角三角板$DEF$如图放置，其中$∠ F=30°$，让$△ ABC$在直角三角板的边$EF$上向右平移（点$C$与点$F$重合时停止）。
(1) 如图1，当点$B$与点$E$重合时，点$A$恰好落在直角三角板的斜边$DF$上，求证：$EF=2BC$；
(2) 如图2，在$△ ABC$平移过程中，$AB$，$AC$与三角板斜边的交点分别为$G$，$H$，线段$EB=AH$是否始终成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。
(1) 如图1，当点$B$与点$E$重合时，点$A$恰好落在直角三角板的斜边$DF$上，求证：$EF=2BC$；
(2) 如图2，在$△ ABC$平移过程中，$AB$，$AC$与三角板斜边的交点分别为$G$，$H$，线段$EB=AH$是否始终成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。
答案
13.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,
∴∠CAF=60°-30°=30°.
∴∠CAF=∠F.
∴CF=AC.
∴CF=AC=EC.
∴EF=2BC.
(2)解:成立.
证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,
∴∠CHF=60°-30°=30°.
∴∠CHF=∠F.
∴CH=CF.
∵EF=2BC,
∴BE+CF=BC.
又
∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH=BE.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,
∴∠CAF=60°-30°=30°.
∴∠CAF=∠F.
∴CF=AC.
∴CF=AC=EC.
∴EF=2BC.
(2)解:成立.
证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,
∴∠CHF=60°-30°=30°.
∴∠CHF=∠F.
∴CH=CF.
∵EF=2BC,
∴BE+CF=BC.
又
∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH=BE.
解析
【分析】
(1) 要证EF=2BC，先利用等边三角形性质得到AC=BC、∠ACB=60°，再结合三角板的∠F=30°，推导∠CAF=∠F，得到CF=AC；此时点B与E重合，故EC=BC，即可得到EF=EC+CF=2BC。
(2) 要判断EB=AH是否成立，先通过角度推导得∠CHF=∠F，推出CH=CF；再结合(1)的结论EF=2BC，将EF拆分为EB+BC+CF，化简得BE+CF=BC；最后结合AC=BC、AC=AH+CH，通过等量代换即可得到EB=AH。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC。
∵∠F=30°,
∴∠CAF=60°-30°=30°,
∴∠CAF=∠F,
∴CF=AC,
∴CF=AC=BC,
又
∵点B与E重合，即EC=BC,
∴EF=EC+CF=2BC。
(2) 解：成立，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC。
∵∠F=30°,
∴∠CHF=60°-30°=30°,
∴∠CHF=∠F,
∴CH=CF。
∵EF=2BC，且EF=EB+BC+CF,
∴BE+CF=BC。
又
∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH+CF=BC,
∴AH=BE。
【答案】
(1) EF=2BC，证明成立；
(2) 线段EB=AH始终成立。
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题以图形平移为背景，结合特殊三角形的特征考查线段等量关系的证明，解题核心是通过角度推导得到边的相等关系，再通过线段和差完成等量代换，能够有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证EF=2BC，先利用等边三角形性质得到AC=BC、∠ACB=60°，再结合三角板的∠F=30°，推导∠CAF=∠F，得到CF=AC；此时点B与E重合，故EC=BC，即可得到EF=EC+CF=2BC。
(2) 要判断EB=AH是否成立，先通过角度推导得∠CHF=∠F，推出CH=CF；再结合(1)的结论EF=2BC，将EF拆分为EB+BC+CF，化简得BE+CF=BC；最后结合AC=BC、AC=AH+CH，通过等量代换即可得到EB=AH。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC。
∵∠F=30°,
∴∠CAF=60°-30°=30°,
∴∠CAF=∠F,
∴CF=AC,
∴CF=AC=BC,
又
∵点B与E重合，即EC=BC,
∴EF=EC+CF=2BC。
(2) 解：成立，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,AC=BC。
∵∠F=30°,
∴∠CHF=60°-30°=30°,
∴∠CHF=∠F,
∴CH=CF。
∵EF=2BC，且EF=EB+BC+CF,
∴BE+CF=BC。
又
∵AH+CH=AC,AC=BC,
∴AH+CF=BC,
∴AH=BE。
【答案】
(1) EF=2BC，证明成立；
(2) 线段EB=AH始终成立。
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题以图形平移为背景，结合特殊三角形的特征考查线段等量关系的证明，解题核心是通过角度推导得到边的相等关系，再通过线段和差完成等量代换，能够有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
