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12.计算：
(1)$b · (-b^2) + (-b) · (-b)^2 + 3b^3$；
(2)$(-x)^2 · x^{2n+1} + x^{2n-2} · (-x)^5$。
(1)$b · (-b^2) + (-b) · (-b)^2 + 3b^3$；
(2)$(-x)^2 · x^{2n+1} + x^{2n-2} · (-x)^5$。
答案
12.解:(1)原式=$-b^3+(-b)^3+3b^3$
$=-b^3-b^3+3b^3=b^3$.
(2)原式=$x^2 · x^{2n+1}-x^{2n-2} · x^5$
$=x^{2n+3}-x^{2n+3}=0$.
$=-b^3-b^3+3b^3=b^3$.
(2)原式=$x^2 · x^{2n+1}-x^{2n-2} · x^5$
$=x^{2n+3}-x^{2n+3}=0$.
解析
【分析】
这两道题属于整式混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘法，最后合并同类项”的顺序：
1. 先处理带负号的乘方运算：依据负数的偶次幂为正、奇次幂为负的规律，先确定每一项的符号，统一幂的底数；
2. 再运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算每一项的化简结果；
3. 最后合并同类项得到最终答案。
【解析】
(1) 先分别计算各乘法项：
$b·(-b^2) = -b^{1+2} = -b^3$；
$(-b)·(-b)^2$是底数为$(-b)$的同底数幂乘法，指数相加得$(-b)^{1+2}=(-b)^3=-b^3$；
代入原式合并同类项：
原式$=-b^3 + (-b^3) + 3b^3 = -b^3 -b^3 +3b^3 = b^3$。
(2) 先处理乘方的符号：
$(-x)^2 = x^2$，$(-x)^5=-x^5$，代入原式：
原式$=x^2·x^{2n+1} + x^{2n-2}·(-x^5)$
再计算同底数幂的乘法：
$x^2·x^{2n+1}=x^{2+2n+1}=x^{2n+3}$，$x^{2n-2}·(-x^5)=-x^{(2n-2)+5}=-x^{2n+3}$
合并同类项得：
原式$=x^{2n+3} - x^{2n+3}=0$。
【答案】
(1) $b^3$；(2) $0$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、乘方符号法则
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，易错点是带负号的幂的符号判断，计算时先确定符号再计算指数，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘法，最后合并同类项”的顺序：
1. 先处理带负号的乘方运算：依据负数的偶次幂为正、奇次幂为负的规律，先确定每一项的符号，统一幂的底数；
2. 再运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算每一项的化简结果；
3. 最后合并同类项得到最终答案。
【解析】
(1) 先分别计算各乘法项：
$b·(-b^2) = -b^{1+2} = -b^3$；
$(-b)·(-b)^2$是底数为$(-b)$的同底数幂乘法，指数相加得$(-b)^{1+2}=(-b)^3=-b^3$；
代入原式合并同类项：
原式$=-b^3 + (-b^3) + 3b^3 = -b^3 -b^3 +3b^3 = b^3$。
(2) 先处理乘方的符号：
$(-x)^2 = x^2$，$(-x)^5=-x^5$，代入原式：
原式$=x^2·x^{2n+1} + x^{2n-2}·(-x^5)$
再计算同底数幂的乘法：
$x^2·x^{2n+1}=x^{2+2n+1}=x^{2n+3}$，$x^{2n-2}·(-x^5)=-x^{(2n-2)+5}=-x^{2n+3}$
合并同类项得：
原式$=x^{2n+3} - x^{2n+3}=0$。
【答案】
(1) $b^3$；(2) $0$
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、乘方符号法则
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，易错点是带负号的幂的符号判断，计算时先确定符号再计算指数，可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
1.若$2^x=a,2^y=b$,则$2^{x+y+3}$的结果是(
A.$a+b+6$
B.$a+b+8$
C.$3ab$
D.$8ab$
D
).A.$a+b+6$
B.$a+b+8$
C.$3ab$
D.$8ab$
答案
1.D
解析
【分析】
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可以逆用，即当指数是几个数相加的形式时，可将幂拆成几个同底数幂相乘的形式。本题中目标式的指数是x+y+3，可拆为x、y、3三个部分，对应拆成$2^x$、$2^y$、$2^3$三个幂相乘，再将已知的$2^x=a$、$2^y=b$代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$2^{x+y+3}=2^x × 2^y × 2^3$
已知$2^x=a$，$2^y=b$，且$2^3=8$，代入上式得：
$2^{x+y+3}=a × b × 8=8ab$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则并能灵活变形应用。
【难度系数】
0.9
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可以逆用，即当指数是几个数相加的形式时，可将幂拆成几个同底数幂相乘的形式。本题中目标式的指数是x+y+3，可拆为x、y、3三个部分，对应拆成$2^x$、$2^y$、$2^3$三个幂相乘，再将已知的$2^x=a$、$2^y=b$代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$2^{x+y+3}=2^x × 2^y × 2^3$
已知$2^x=a$，$2^y=b$，且$2^3=8$，代入上式得：
$2^{x+y+3}=a × b × 8=8ab$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则并能灵活变形应用。
【难度系数】
0.9
2.(2023,镇江,18)如图,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个,先从甲袋中取出$2^x$个球放入乙袋,再从乙袋中取出$(2^x + 2^y)$个球放入丙袋,最后从丙袋中取出$2^y$个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数相同,则$2^{x+y}$的值等于(
A.128
B.64
C.32
D.16
A
).A.128
B.64
C.32
D.16
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先抓住三只袋中球的总个数不变的特点，先计算总球数，求出最终每袋相同的球数；再分别对乙袋、丙袋的球数变化列等式，化简后求出$2^x$和$2^y$的值；最后利用同底数幂的乘法法则计算$2^{x+y}$即可。
【解析】
1. 计算总球数和最终每袋球数：
三只袋总球数为：$29+29+5=63$，最终三只袋球数相同，因此每袋最终球数为$63÷3=21$。
2. 求$2^y$的值：
乙袋原有29个球，放入$2^x$个，取出$(2^x+2^y)$个，最终为21个，列等式：
$29 + 2^x - (2^x + 2^y) = 21$
化简得：$29 - 2^y = 21$，解得$2^y=8$。
3. 求$2^x$的值：
丙袋原有5个球，放入$(2^x+2^y)$个，取出$2^y$个，最终为21个，列等式：
$5 + (2^x + 2^y) - 2^y =21$
化简得：$5 + 2^x =21$，解得$2^x=16$。
4. 计算$2^{x+y}$：
根据同底数幂乘法法则：$2^{x+y}=2^x · 2^y =16×8=128$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法，列方程解应用题，整式化简
【点评】
本题结合实际操作场景考查幂的运算与方程的应用，解题核心是先利用总量不变得到最终每袋的球数，再梳理各袋数量变化关系列等式，难度适中，能有效考查学生的分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住三只袋中球的总个数不变的特点，先计算总球数，求出最终每袋相同的球数；再分别对乙袋、丙袋的球数变化列等式，化简后求出$2^x$和$2^y$的值；最后利用同底数幂的乘法法则计算$2^{x+y}$即可。
【解析】
1. 计算总球数和最终每袋球数：
三只袋总球数为：$29+29+5=63$，最终三只袋球数相同，因此每袋最终球数为$63÷3=21$。
2. 求$2^y$的值：
乙袋原有29个球，放入$2^x$个，取出$(2^x+2^y)$个，最终为21个，列等式：
$29 + 2^x - (2^x + 2^y) = 21$
化简得：$29 - 2^y = 21$，解得$2^y=8$。
3. 求$2^x$的值：
丙袋原有5个球，放入$(2^x+2^y)$个，取出$2^y$个，最终为21个，列等式：
$5 + (2^x + 2^y) - 2^y =21$
化简得：$5 + 2^x =21$，解得$2^x=16$。
4. 计算$2^{x+y}$：
根据同底数幂乘法法则：$2^{x+y}=2^x · 2^y =16×8=128$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法，列方程解应用题，整式化简
【点评】
本题结合实际操作场景考查幂的运算与方程的应用，解题核心是先利用总量不变得到最终每袋的球数，再梳理各袋数量变化关系列等式，难度适中，能有效考查学生的分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
3.已知$x· x^a· x^b=x^{12}$，且a比b大3，则ab的值等于
28
。（第2题）答案
3.28
解析
【分析】
解题时首先利用同底数幂的乘法法则处理等式左边的运算，注意单独的$x$的指数为1，不要遗漏，进而得到关于$a$、$b$的第一个关系式；再结合题干中“$a$比$b$大3”的条件得到第二个关系式，联立两个关系式解出$a$、$b$的值，最后计算$ab$即可。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
左边$x·x^a·x^b = x^{1+a+b}$
已知$x· x^a· x^b=x^{12}$，等式两边底数相同，因此指数相等，即：
$1+a+b=12$，整理得$a+b=11$ ①
由“$a$比$b$大3”可得：$a - b=3$ ②
联立①②，将两式相加消去$b$：$(a+b)+(a-b)=11+3$
即$2a=14$，解得$a=7$
把$a=7$代入②式，得$7 - b=3$，解得$b=4$
所以$ab=7×4=28$
【答案】
28
【知识点】
同底数幂的乘法、解二元一次方程组
【点评】
本题是幂运算与方程知识的综合基础题，核心是熟练掌握同底数幂的运算规则，能根据等式性质列出对应的方程求解，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用同底数幂的乘法法则处理等式左边的运算，注意单独的$x$的指数为1，不要遗漏，进而得到关于$a$、$b$的第一个关系式；再结合题干中“$a$比$b$大3”的条件得到第二个关系式，联立两个关系式解出$a$、$b$的值，最后计算$ab$即可。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
左边$x·x^a·x^b = x^{1+a+b}$
已知$x· x^a· x^b=x^{12}$，等式两边底数相同，因此指数相等，即：
$1+a+b=12$，整理得$a+b=11$ ①
由“$a$比$b$大3”可得：$a - b=3$ ②
联立①②，将两式相加消去$b$：$(a+b)+(a-b)=11+3$
即$2a=14$，解得$a=7$
把$a=7$代入②式，得$7 - b=3$，解得$b=4$
所以$ab=7×4=28$
【答案】
28
【知识点】
同底数幂的乘法、解二元一次方程组
【点评】
本题是幂运算与方程知识的综合基础题，核心是熟练掌握同底数幂的运算规则，能根据等式性质列出对应的方程求解，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.若$3^7 × (-3)^4 - 81 × (-3)^6 = 2 × 3^{m-2}$，则$m$的值等于
12
。答案
4.12
解析
【分析】
解题时首先统一等式左侧幂的底数为3：根据负数偶次幂为正，可将(-3)的幂转化为3的幂，再将81改写为3⁴，随后运用同底数幂的乘法法则计算左侧两项，提取公因式合并化简后，对比右侧式子，利用“同底数幂相等则指数相等”的规律列方程即可求出m的值。
【解析】
先化简等式左侧：
1. 处理负底数幂和常数：
$(-3)^4=3^4$，$(-3)^6=3^6$，$81=3^4$，代入原式左侧得：
$3^7 × 3^4 - 3^4 × 3^6$
2. 运用同底数幂乘法法则（$a^m · a^n=a^{m+n}$）计算：
$=3^{7+4} - 3^{4+6} = 3^{11} - 3^{10}$
3. 提取公因式$3^{10}$合并：
$=3^{10} × (3 - 1) = 2 × 3^{10}$
4. 结合等式右侧列等式：
已知左侧$=2 × 3^{m-2}$，因此$2 × 3^{10}=2 × 3^{m-2}$，两边同时除以2得：$3^{10}=3^{m-2}$
5. 同底数幂相等则指数相等，因此$10 = m - 2$，解得$m=12$。
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的符号规律；幂的运算性质
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的相关运算性质的灵活运用，解题关键是先统一底数，再按运算法则化简，最后根据同底数幂的性质建立方程求解，掌握幂的基本运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先统一等式左侧幂的底数为3：根据负数偶次幂为正，可将(-3)的幂转化为3的幂，再将81改写为3⁴，随后运用同底数幂的乘法法则计算左侧两项，提取公因式合并化简后，对比右侧式子，利用“同底数幂相等则指数相等”的规律列方程即可求出m的值。
【解析】
先化简等式左侧：
1. 处理负底数幂和常数：
$(-3)^4=3^4$，$(-3)^6=3^6$，$81=3^4$，代入原式左侧得：
$3^7 × 3^4 - 3^4 × 3^6$
2. 运用同底数幂乘法法则（$a^m · a^n=a^{m+n}$）计算：
$=3^{7+4} - 3^{4+6} = 3^{11} - 3^{10}$
3. 提取公因式$3^{10}$合并：
$=3^{10} × (3 - 1) = 2 × 3^{10}$
4. 结合等式右侧列等式：
已知左侧$=2 × 3^{m-2}$，因此$2 × 3^{10}=2 × 3^{m-2}$，两边同时除以2得：$3^{10}=3^{m-2}$
5. 同底数幂相等则指数相等，因此$10 = m - 2$，解得$m=12$。
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的符号规律；幂的运算性质
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的相关运算性质的灵活运用，解题关键是先统一底数，再按运算法则化简，最后根据同底数幂的性质建立方程求解，掌握幂的基本运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
5.已知$3^a=6$,$3^{a+b}=48$,$3^c=12$,$3^d=96$,则$b,c,d$之间有何等量关系？
答案
5.解:$\because 3^{a+b}=3^a · 3^b=48,3^a=6$,
$\therefore 6×3^b=48. \therefore 3^b=8.$
$\therefore 3^b · 3^c=8×12=96=3^d.$
$\because 3^d=96,\therefore 3^{b+c}=3^d.$
$\therefore b+c=d.$
$\therefore 6×3^b=48. \therefore 3^b=8.$
$\therefore 3^b · 3^c=8×12=96=3^d.$
$\because 3^d=96,\therefore 3^{b+c}=3^d.$
$\therefore b+c=d.$
解析
【分析】
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则也可以逆用。解题时，先利用$3^a$和$3^{a+b}$的已知条件，结合同底数幂乘法的逆运算求出$3^b$的值；再计算$3^b$与$3^c$的乘积，发现乘积结果与$3^d$的值相等；最后根据底数相同（且不为0、不为1）的两个幂如果相等，则指数也相等，即可推出$b、c、d$之间的等量关系。
【解析】
解：$\because 3^{a+b}=3^a · 3^b=48$，且$3^a=6$，
$\therefore 6×3^b=48$，解得$3^b=8$。
$\therefore 3^b · 3^c = 8×12 = 96$，
又$\because 3^d=96$，
$\therefore 3^{b+c}=3^d$，
根据同底数幂的性质，底数为3（不为0且不等于1），若幂相等则指数相等，可得$b+c=d$。
【答案】
$b+c=d$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的性质
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的正用和逆用，解题的关键是先求出$3^b$的值，再通过乘积对比得到幂的相等关系，进而推出指数的等量关系，熟练掌握幂的运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则也可以逆用。解题时，先利用$3^a$和$3^{a+b}$的已知条件，结合同底数幂乘法的逆运算求出$3^b$的值；再计算$3^b$与$3^c$的乘积，发现乘积结果与$3^d$的值相等；最后根据底数相同（且不为0、不为1）的两个幂如果相等，则指数也相等，即可推出$b、c、d$之间的等量关系。
【解析】
解：$\because 3^{a+b}=3^a · 3^b=48$，且$3^a=6$，
$\therefore 6×3^b=48$，解得$3^b=8$。
$\therefore 3^b · 3^c = 8×12 = 96$，
又$\because 3^d=96$，
$\therefore 3^{b+c}=3^d$，
根据同底数幂的性质，底数为3（不为0且不等于1），若幂相等则指数相等，可得$b+c=d$。
【答案】
$b+c=d$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的性质
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的正用和逆用，解题的关键是先求出$3^b$的值，再通过乘积对比得到幂的相等关系，进而推出指数的等量关系，熟练掌握幂的运算规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
