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例1 下列方程中是一元二次方程的是()
A.$x^2 -4x -2=0$
B.$\frac{3}{x^2 -x}=1$
C.$2x^2 -xy -5=0$
D.$2x^2=(x-3)(2x-1)$
【思路导析】一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①方程中只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③原方程是关于未知数的整式方程.
B项的左边是关于$x$的分式,不是整式方程;C项中含有两个未知数,不是一元方程;D项经过化简整理后为$-7x+3=0$,它是一元一次方程.
【请你解答】.
A.$x^2 -4x -2=0$
B.$\frac{3}{x^2 -x}=1$
C.$2x^2 -xy -5=0$
D.$2x^2=(x-3)(2x-1)$
【思路导析】一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①方程中只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③原方程是关于未知数的整式方程.
B项的左边是关于$x$的分式,不是整式方程;C项中含有两个未知数,不是一元方程;D项经过化简整理后为$-7x+3=0$,它是一元一次方程.
【请你解答】.
答案
A
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2。解题时逐个核对选项是否符合三个条件，不符合任一条件即可排除，最终选出同时满足三个条件的选项即可。
【解析】
我们根据一元二次方程的三个判定条件逐一分析选项：
1. 分析选项A：方程$x^2 -4x -2=0$是整式方程，仅含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，满足一元二次方程的全部条件。
2. 分析选项B：方程$\frac{3}{x^2 -x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，排除。
3. 分析选项C：方程$2x^2 -xy -5=0$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，排除。
4. 分析选项D：先将等号右侧展开化简：$(x-3)(2x-1)=2x^2 -x -6x +3=2x^2-7x+3$，代入原方程得$2x^2=2x^2-7x+3$，移项合并同类项后得$7x-3=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除。
综上，只有选项A是一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、整式的化简
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础考查题，解题的关键是牢记三个判定条件，尤其要注意需要先将方程化简为最简形式后再判断未知数的最高次数，同时要注意区分整式方程和分式方程，避免被方程的表面形式误导。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2。解题时逐个核对选项是否符合三个条件，不符合任一条件即可排除，最终选出同时满足三个条件的选项即可。
【解析】
我们根据一元二次方程的三个判定条件逐一分析选项：
1. 分析选项A：方程$x^2 -4x -2=0$是整式方程，仅含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，满足一元二次方程的全部条件。
2. 分析选项B：方程$\frac{3}{x^2 -x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不满足整式方程的要求，排除。
3. 分析选项C：方程$2x^2 -xy -5=0$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，排除。
4. 分析选项D：先将等号右侧展开化简：$(x-3)(2x-1)=2x^2 -x -6x +3=2x^2-7x+3$，代入原方程得$2x^2=2x^2-7x+3$，移项合并同类项后得$7x-3=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除。
综上，只有选项A是一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、整式的化简
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础考查题，解题的关键是牢记三个判定条件，尤其要注意需要先将方程化简为最简形式后再判断未知数的最高次数，同时要注意区分整式方程和分式方程，避免被方程的表面形式误导。
【难度系数】
0.8
例2 关于$x$的方程$(m+2)x^{|m|}-2x-1=0$是一元二次方程，则$m$的值为。
【思路导析】$|m|=2$，且$m+2≠0$。
【请你解答】。
【思路导析】$|m|=2$，且$m+2≠0$。
【请你解答】。
答案
解：
∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^{|m|}-2x-1=0$是一元二次方程，
∴ 未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
即 $\begin{cases}|m|=2 \\m+2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，
由$m+2≠0$得$m≠-2$，
∴ $m=2$。
∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^{|m|}-2x-1=0$是一元二次方程，
∴ 未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
即 $\begin{cases}|m|=2 \\m+2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，
由$m+2≠0$得$m≠-2$，
∴ $m=2$。
解析
【分析】
要判定一个整式方程是一元二次方程，需满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，二次项就不存在，方程就不是二次方程了）。本题中方程要为一元二次方程，首先x的指数|m|需等于2，同时二次项系数m+2不能为0，我们只需要分别求解这两个条件，再取公共解即可得到m的值。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^{|m|}-2x-1=0$是一元二次方程，
∴ 未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
即列得方程组：$\begin{cases}|m|=2 \\m+2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|=2$解得：$m=2$或$m=-2$，
由$m+2≠0$解得：$m≠-2$，
综上，同时满足两个条件的$m$的值为$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的典型基础题，核心考查对一元二次方程定义的掌握，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致得出$m=\pm2$的错误结论，解题时需注意两个判定条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
要判定一个整式方程是一元二次方程，需满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，二次项就不存在，方程就不是二次方程了）。本题中方程要为一元二次方程，首先x的指数|m|需等于2，同时二次项系数m+2不能为0，我们只需要分别求解这两个条件，再取公共解即可得到m的值。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^{|m|}-2x-1=0$是一元二次方程，
∴ 未知数$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，
即列得方程组：$\begin{cases}|m|=2 \\m+2 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|=2$解得：$m=2$或$m=-2$，
由$m+2≠0$解得：$m≠-2$，
综上，同时满足两个条件的$m$的值为$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值的性质、一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的典型基础题，核心考查对一元二次方程定义的掌握，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致得出$m=\pm2$的错误结论，解题时需注意两个判定条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
例3 下列关于$x$的各组值中,是方程$(x-1)(x-8)=-12$的根的是()
A.$x=-2$或$x=12$
B.$x=-3$或$x=11$
C.$x=4$或$x=5$
D.$x=-5$或$x=10$
【思路导析】将$x=-2,12,-3,11,4,5,-5,10$分别代入方程,看其左右两边的值是否相等,相等的$x$的值就是原方程的根.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.$x=-2$或$x=12$
B.$x=-3$或$x=11$
C.$x=4$或$x=5$
D.$x=-5$或$x=10$
【思路导析】将$x=-2,12,-3,11,4,5,-5,10$分别代入方程,看其左右两边的值是否相等,相等的$x$的值就是原方程的根.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】
要判断给定的x值是否是方程的根，有两种常用思路：①根据方程根的定义，将选项中的x值分别代入原方程左右两边，若两边值相等，则该x是方程的根；②先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，通过解方程求出根，再匹配对应选项。选择题可优先选用代入验证法提高解题效率。
【解析】
方法一（解方程法）：
对原方程$(x-1)(x-8)=-12$整理：
1. 展开左边得：$x^2 - 9x + 8 = -12$
2. 移项合并同类项得：$x^2 - 9x + 20 = 0$
3. 因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
4. 解得：$x=4$或$x=5$，对应选项C。
方法二（代入验证法）：
逐一验证选项：
A选项：$x=-2$时，左边$=(-2-1)×(-2-8)=30≠-12$，排除；
B选项：$x=-3$时，左边$=(-3-1)×(-3-8)=44≠-12$，排除；
C选项：$x=4$时左边$=3×(-4)=-12=$右边，$x=5$时左边$=4×(-3)=-12=$右边，均符合；
D选项：$x=-5$时左边$=(-6)×(-13)=78≠-12$，排除。
【答案】
C
【知识点】
方程根的判定；一元二次方程求解；因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的判断，两种解题方法都需要掌握，做选择题时灵活选用代入验证法可以有效提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要判断给定的x值是否是方程的根，有两种常用思路：①根据方程根的定义，将选项中的x值分别代入原方程左右两边，若两边值相等，则该x是方程的根；②先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，通过解方程求出根，再匹配对应选项。选择题可优先选用代入验证法提高解题效率。
【解析】
方法一（解方程法）：
对原方程$(x-1)(x-8)=-12$整理：
1. 展开左边得：$x^2 - 9x + 8 = -12$
2. 移项合并同类项得：$x^2 - 9x + 20 = 0$
3. 因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$
4. 解得：$x=4$或$x=5$，对应选项C。
方法二（代入验证法）：
逐一验证选项：
A选项：$x=-2$时，左边$=(-2-1)×(-2-8)=30≠-12$，排除；
B选项：$x=-3$时，左边$=(-3-1)×(-3-8)=44≠-12$，排除；
C选项：$x=4$时左边$=3×(-4)=-12=$右边，$x=5$时左边$=4×(-3)=-12=$右边，均符合；
D选项：$x=-5$时左边$=(-6)×(-13)=78≠-12$，排除。
【答案】
C
【知识点】
方程根的判定；一元二次方程求解；因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的判断，两种解题方法都需要掌握，做选择题时灵活选用代入验证法可以有效提升解题速度。
【难度系数】
0.9
例4 已知$a$是关于$x$的方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，求下列各代数式的值.
(1)$a - \frac{1}{a}$； (2)$2026 - a^3 + 2a^2$.
【探究点拨】因为$a$是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，所以$a^2 -a -1=0$，然后对所求代数式进行适当变形，再代入求值.
【规范解答】(1)∵ $a$是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，
∴ $a^2 -a -1=0, a^2 -1 =a$.
∵ $a≠0, ∴ \frac{a^2 -1}{a}=1$，即$a - \frac{1}{a}=1$.
(2)∵ $a^2 -a -1=0$，
∴ $a^2 =a +1, a^2 -a=1$，
∴ $2026 -a^3 +2a^2$
$=2026 -a^2 · a +2a^2$
$=2026 -a(a+1)+2(a+1)$
$=2026 -a^2 -a +2a +2$
$=2028 -a^2 +a$
$=2028 -(a^2 -a)$
$=2027$.
(1)$a - \frac{1}{a}$； (2)$2026 - a^3 + 2a^2$.
【探究点拨】因为$a$是方程$x^2 - x -1=0$的一个根，所以$a^2 -a -1=0$，然后对所求代数式进行适当变形，再代入求值.
【规范解答】(1)∵ $a$是方程$x^2 -x -1=0$的一个根，
∴ $a^2 -a -1=0, a^2 -1 =a$.
∵ $a≠0, ∴ \frac{a^2 -1}{a}=1$，即$a - \frac{1}{a}=1$.
(2)∵ $a^2 -a -1=0$，
∴ $a^2 =a +1, a^2 -a=1$，
∴ $2026 -a^3 +2a^2$
$=2026 -a^2 · a +2a^2$
$=2026 -a(a+1)+2(a+1)$
$=2026 -a^2 -a +2a +2$
$=2028 -a^2 +a$
$=2028 -(a^2 -a)$
$=2027$.
答案
解：
(1) ∵ $a$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴ $a^2 - a - 1 = 0$，即$a^2 - 1 = a$。
∵ 当$a=0$时，代入方程左边得$-1≠0$，
∴ $a≠0$，
将$a^2 - 1 = a$两边同时除以$a$，得$\frac{a^2 - 1}{a}=1$，
化简得$a - \frac{1}{a}=1$。
(2) ∵ $a^2 - a - 1 = 0$，
∴ $a^2 = a + 1$，$a^2 - a = 1$，
∴ $2026 - a^3 + 2a^2$
$=2026 - a· a^2 + 2a^2$
$=2026 - a(a+1) + 2(a+1)$
$=2026 - a^2 - a + 2a + 2$
$=2028 - a^2 + a$
$=2028 - (a^2 - a)$
$=2028 - 1$
$=2027$
(1) ∵ $a$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴ $a^2 - a - 1 = 0$，即$a^2 - 1 = a$。
∵ 当$a=0$时，代入方程左边得$-1≠0$，
∴ $a≠0$，
将$a^2 - 1 = a$两边同时除以$a$，得$\frac{a^2 - 1}{a}=1$，
化简得$a - \frac{1}{a}=1$。
(2) ∵ $a^2 - a - 1 = 0$，
∴ $a^2 = a + 1$，$a^2 - a = 1$，
∴ $2026 - a^3 + 2a^2$
$=2026 - a· a^2 + 2a^2$
$=2026 - a(a+1) + 2(a+1)$
$=2026 - a^2 - a + 2a + 2$
$=2028 - a^2 + a$
$=2028 - (a^2 - a)$
$=2028 - 1$
$=2027$
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程根的定义求代数式值的典型题型，解题核心是无需直接计算根a的具体数值，先根据方程根的定义得到核心等式$a^2 - a - 1 = 0$，再对目标代数式针对性变形后整体代入计算即可。对于(1)，先对核心等式移项得到$a^2 -1 =a$，验证$a≠0$后两边同时除以a，可直接得到目标式；对于(2)，目标式含三次项，可利用$a^2=a+1$将三次项降为二次，再逐步化简凑出$a^2 -a$的整体结构代入求值。
【解析】
(1)
∵ $a$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴ $a^2 - a - 1 = 0$，即$a^2 - 1 = a$。
∵ 当$a=0$时，代入方程左边得$-1≠0$，
∴ $a≠0$，
将$a^2 - 1 = a$两边同时除以$a$，得$\frac{a^2 - 1}{a}=1$，
化简得$a - \frac{1}{a}=1$。
(2)
∵ $a^2 - a - 1 = 0$，
∴ $a^2 = a + 1$，$a^2 - a = 1$，
∴ $2026 - a^3 + 2a^2$
$=2026 - a· a^2 + 2a^2$
$=2026 - a(a+1) + 2(a+1)$
$=2026 - a^2 - a + 2a + 2$
$=2028 - a^2 + a$
$=2028 - (a^2 - a)$
$=2028 - 1$
$=2027$
【答案】
(1)$1$；(2)$2027$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题避开了直接求解方程根的复杂运算，通过利用方程根的性质降次、整体代入简化计算，能有效考查学生的代数式变形能力和整体思想的应用能力，是该类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
本题是利用一元二次方程根的定义求代数式值的典型题型，解题核心是无需直接计算根a的具体数值，先根据方程根的定义得到核心等式$a^2 - a - 1 = 0$，再对目标代数式针对性变形后整体代入计算即可。对于(1)，先对核心等式移项得到$a^2 -1 =a$，验证$a≠0$后两边同时除以a，可直接得到目标式；对于(2)，目标式含三次项，可利用$a^2=a+1$将三次项降为二次，再逐步化简凑出$a^2 -a$的整体结构代入求值。
【解析】
(1)
∵ $a$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴ $a^2 - a - 1 = 0$，即$a^2 - 1 = a$。
∵ 当$a=0$时，代入方程左边得$-1≠0$，
∴ $a≠0$，
将$a^2 - 1 = a$两边同时除以$a$，得$\frac{a^2 - 1}{a}=1$，
化简得$a - \frac{1}{a}=1$。
(2)
∵ $a^2 - a - 1 = 0$，
∴ $a^2 = a + 1$，$a^2 - a = 1$，
∴ $2026 - a^3 + 2a^2$
$=2026 - a· a^2 + 2a^2$
$=2026 - a(a+1) + 2(a+1)$
$=2026 - a^2 - a + 2a + 2$
$=2028 - a^2 + a$
$=2028 - (a^2 - a)$
$=2028 - 1$
$=2027$
【答案】
(1)$1$；(2)$2027$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题避开了直接求解方程根的复杂运算，通过利用方程根的性质降次、整体代入简化计算，能有效考查学生的代数式变形能力和整体思想的应用能力，是该类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
