1. 已知线段$AB=8\ \mathrm{cm}$,点$C$在线段$AB$上,$M$是线段$AC$的中点,$N$是线段$BC$的中点,则线段$MN$的长为 ()

A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.无法确定

1. B

2. 若$x,y,z$是三个连续的正整数，若$x^2=44\ 944$，$z^2=45\ 796$，则$y^2=$（）

A.45 369
B.45 371
C.45 465
D.46 489

2. A

3. (2025陕西西工大附中阶段练)某年的10月里有5个星期六,4个星期日,则这年的10月1日是星期.

3. 四

4. 已知∠1与线段a. 用直尺和圆规作△AMN,使得∠A=∠1,AN=a、AM=2a(保留作图痕迹、不写作法).

4. 解:作△AMN如解图.

5. (教材习题改编)若三位数$\overline{4a6}$能被6整除，则这个三位数最大是多少？

5. 解:因为6=2×3,若一个数能被6整除,则这个数既要能被2整除,又要能被3整除.
①分析能被2整除的条件:
能被2整除的数的特征是个位数字是偶数,三位数$\overline{4a6}$的个位数字是6,满足能被2整除的条件,所以a可以取0~9这10个数字中的任一个;
②分析能被3整除的条件:
能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上的数字之和能被3整除,$\overline{4a6}$各个数位上的数字之和为4+a+6=10+a;
③确定a的取值:
当a=2时,10+a=10+2=12,能被3整除;
当a=5时,10+a=10+5=15,能被3整除;
当a=8时,10+a=10+8=18,能被3整除.
因为2＜5＜8,所以当a=8时这个三位数最大,所以这个三位数最大是486.

6. (2025山东德州中考)我们探究发现,关于x,y的方程$x+2y=3$的正整数解有1组,$x+2y=5$的正整数解有2组,$x+2y=7$的正整数解有3组,…,那么关于x,y,z的方程$x+2y+2z=15$的正整数解有 ()

A.7组
B.21组
C.28组
D.42组

6. B

7. (2025 河南郑州桐柏一中阶段练改编) 现需在一张长为40 cm、宽为26 cm 的长方形纸板ABCD上剪下一个腰长为25 cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余两个顶点在长方形的边上).请设计出不同类型的、符合条件的等腰三角形(在图中画出示意图),并分别计算该等腰三角形的面积(位置不同,形状相同的视为一种结果).

第7题图 备用图① 备用图②

7. 解:如解图①,$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}×25×25=312.5(\mathrm{cm}^2)$;

如解图②,$BE=EF=25\ \mathrm{cm},AE=AB-BE=26-25=1(\mathrm{cm}).$
所以$AF=\sqrt{EF^2-AE^2}=\sqrt{25^2-1^2}=4\sqrt{39}(\mathrm{cm}),$
所以等腰三角形$BEF$的面积$=\frac{1}{2}BE· AF=\frac{1}{2}×25×4\sqrt{39}=50\sqrt{39}(\mathrm{cm}^2);$

如解图③,$CE=BC-BE=40-25=15(\mathrm{cm}),BE=EF=25\ \mathrm{cm}.$
所以$CF=\sqrt{EF^2-CE^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20(\mathrm{cm}),$
所以等腰三角形$BEF$的面积$=\frac{1}{2}BE· CF=\frac{1}{2}×25×20=250(\mathrm{cm}^2).$