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1.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 4x - 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k ≥ -2$
B.$k ＞ -2$且$k ≠ 0$
C.$k ≥ -2$且$k ≠ 0$
D.$k ≤ -2$
C
）A.$k ≥ -2$
B.$k ＞ -2$且$k ≠ 0$
C.$k ≥ -2$且$k ≠ 0$
D.$k ≤ -2$
答案
1. C
解析
【分析】
首先，题目明确该方程是一元二次方程，因此要先满足一元二次方程的核心定义：二次项系数不能为0，即$k≠0$。其次，方程有实数根，说明根的判别式$\Delta ≥ 0$，我们可以代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解出不等式后结合$k≠0$的限制，就能得到$k$的完整取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
解：$\because$ 方程$kx^2 + 4x - 2 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$k≠0$
又$\because$ 方程有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=4$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × k × (-2) = 16 + 8k ≥ 0$
解不等式：$8k ≥ -16$，得$k ≥ -2$
综合可得，$k$的取值范围是$k ≥ -2$且$k≠0$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式应用
【点评】
本题属于基础易错题，解题时要注意题干中“一元二次方程”的前提条件，避免遗漏二次项系数不为0的限制，仅通过判别式求解导致错选。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确该方程是一元二次方程，因此要先满足一元二次方程的核心定义：二次项系数不能为0，即$k≠0$。其次，方程有实数根，说明根的判别式$\Delta ≥ 0$，我们可以代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解出不等式后结合$k≠0$的限制，就能得到$k$的完整取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
解：$\because$ 方程$kx^2 + 4x - 2 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$k≠0$
又$\because$ 方程有实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=4$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × k × (-2) = 16 + 8k ≥ 0$
解不等式：$8k ≥ -16$，得$k ≥ -2$
综合可得，$k$的取值范围是$k ≥ -2$且$k≠0$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式应用
【点评】
本题属于基础易错题，解题时要注意题干中“一元二次方程”的前提条件，避免遗漏二次项系数不为0的限制，仅通过判别式求解导致错选。
【难度系数】
0.7
2. 关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的根的情况是 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断
答案
2. C
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。解题思路如下：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的表达式，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，根据符号对应的根的三种情况即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
代入根的判别式公式计算：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) \\&= 1 - 4k^2 - 8 \\&= -4k^2 -7\end{aligned}$
根据偶次方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$\Delta=-4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$。
当$\Delta＜0$时，一元二次方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式；偶次方的非负性
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是准确识别各项系数，结合平方的非负性快速判断判别式的符号。
【难度系数】
0.75
判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$。解题思路如下：首先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的表达式，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，根据符号对应的根的三种情况即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=k^2+2$。
代入根的判别式公式计算：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-1)^2 - 4×1×(k^2+2) \\&= 1 - 4k^2 - 8 \\&= -4k^2 -7\end{aligned}$
根据偶次方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，可得$\Delta=-4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$。
当$\Delta＜0$时，一元二次方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式；偶次方的非负性
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是准确识别各项系数，结合平方的非负性快速判断判别式的符号。
【难度系数】
0.75
3. 已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足条件的$k$的值:________.
答案
-1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，符合根的判别式Δ＞0的情况。我们先根据这两个条件分别列不等式，求出k的取值范围，再在范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即$\boldsymbol{k≠ 0}$；
2. 一元二次方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式$\Delta＞0$；
对于方程$kx^2-2x+1=0$，$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=(-2)^2-4× k×1=4-4k$
3. 解不等式$4-4k＞0$，得$k＜1$；
4. 综合两个条件，$k$的取值范围为$\boldsymbol{k＜1且k≠0}$，在该范围内任选一个数值即可，如取$k=-1$。
【答案】
-1(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，需要格外注意。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心条件：一是题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，符合根的判别式Δ＞0的情况。我们先根据这两个条件分别列不等式，求出k的取值范围，再在范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即$\boldsymbol{k≠ 0}$；
2. 一元二次方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式$\Delta＞0$；
对于方程$kx^2-2x+1=0$，$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=(-2)^2-4× k×1=4-4k$
3. 解不等式$4-4k＞0$，得$k＜1$；
4. 综合两个条件，$k$的取值范围为$\boldsymbol{k＜1且k≠0}$，在该范围内任选一个数值即可，如取$k=-1$。
【答案】
-1(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，需要格外注意。
【难度系数】
0.7
4.若关于$x$的方程$(x-2)(x-k)=0$有两个相等的实数根，则点$M(k,k-1)$的坐标为
(2,1)
.答案
4. (2,1)
解析
【分析】
解题时先利用因式分解法得到一元二次方程的两个根，再根据“方程有两个相等的实数根”这一条件，得出两个根相等，即可求出k的值，最后将k代入点M的坐标表达式计算即可。
【解析】
1. 求解方程$(x-2)(x-k)=0$：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-2=0$或$x-k=0$，即方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=k$。
2. 结合根的条件求$k$：
已知方程有两个相等的实数根，因此两个根相等，即$k=2$。
3. 计算点$M$的坐标：
将$k=2$代入点$M(k,k-1)$，横坐标为$k=2$，纵坐标为$k-1=2-1=1$，因此点$M$的坐标为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的概念；点的坐标计算
【点评】
本题是基础题型，结合了一元二次方程根的性质与点坐标的计算两个考点，只要掌握因式分解法求一元二次方程根的方法，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先利用因式分解法得到一元二次方程的两个根，再根据“方程有两个相等的实数根”这一条件，得出两个根相等，即可求出k的值，最后将k代入点M的坐标表达式计算即可。
【解析】
1. 求解方程$(x-2)(x-k)=0$：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-2=0$或$x-k=0$，即方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=k$。
2. 结合根的条件求$k$：
已知方程有两个相等的实数根，因此两个根相等，即$k=2$。
3. 计算点$M$的坐标：
将$k=2$代入点$M(k,k-1)$，横坐标为$k=2$，纵坐标为$k-1=2-1=1$，因此点$M$的坐标为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的概念；点的坐标计算
【点评】
本题是基础题型，结合了一元二次方程根的性质与点坐标的计算两个考点，只要掌握因式分解法求一元二次方程根的方法，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 判断下列方程根的情况.
(1)$3x^2 - 2x - 1 = 0$. (2)$6y(y - 1) + 3 = 0$.
(1)$3x^2 - 2x - 1 = 0$. (2)$6y(y - 1) + 3 = 0$.
答案
5. 【解】(1) $\because a=3,b=-2,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-1)=16＞0$.
故原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化简、整理,得$2y^2-2y+1=0$.
$\because a=2,b=-2,c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-2)^2-4×2×1=-4＜0$.
故原方程无实数根.
$\therefore b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-1)=16＞0$.
故原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化简、整理,得$2y^2-2y+1=0$.
$\because a=2,b=-2,c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-2)^2-4×2×1=-4＜0$.
故原方程无实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②确定对应系数$a、b、c$的取值，注意要保留符号；③计算判别式$\Delta$的值；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先展开、整理为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
代入判别式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 3 × (-1) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$。
(2) 先将原方程化简整理：
$6y(y - 1) + 3 = 0$展开得$6y^2 - 6y + 3 = 0$，两边同时除以3得$2y^2 - 2y + 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-2$，$c=1$，
代入判别式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 2 × 1 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根；(2) 原方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的化简
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题关键是先将方程化为一般形式，确定系数时注意不要遗漏符号，避免计算判别式时出现错误。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，解题思路如下：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②确定对应系数$a、b、c$的取值，注意要保留符号；③计算判别式$\Delta$的值；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先展开、整理为一般形式后再计算。
【解析】
(1) 方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
代入判别式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 3 × (-1) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$。
(2) 先将原方程化简整理：
$6y(y - 1) + 3 = 0$展开得$6y^2 - 6y + 3 = 0$，两边同时除以3得$2y^2 - 2y + 1 = 0$，
其中$a=2$，$b=-2$，$c=1$，
代入判别式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 2 × 1 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$。
【答案】
(1) 原方程有两个不相等的实数根；(2) 原方程无实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的化简
【点评】
本题是判断一元二次方程根的情况的基础题型，解题关键是先将方程化为一般形式，确定系数时注意不要遗漏符号，避免计算判别式时出现错误。
【难度系数】
0.8
6. 求证:无论 m 取何值,关于 x 的一元二次方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$总有两个实数根.
答案
6. 【证明】$\because \Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m^2-2m+1=(m-1)^2≥0$,
$\therefore$ 无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
$\therefore$ 无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是证明方程的根的判别式$\Delta≥0$。首先对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定本题中$a、b、c$的取值，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$化简，最后利用平方的非负性判断化简结果的符号即可完成证明。
【解析】
证明：对于一元二次方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$，可知$a=1$，$b=-m$，$c=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$。
代入根的判别式公式可得：
$\Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})$
$=m^2-2m+1$
$=(m-1)^2$
∵任意实数的平方都是非负数，即无论$m$取何值，都有$(m-1)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴无论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
【答案】
$\because \Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m^2-2m+1=(m-1)^2≥0$,
$\therefore$ 无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，完全平方式的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题关键是掌握判别式和方程根的个数的对应关系，能够正确代入参数计算判别式，并结合代数式的性质判断其符号。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是证明方程的根的判别式$\Delta≥0$。首先对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定本题中$a、b、c$的取值，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$化简，最后利用平方的非负性判断化简结果的符号即可完成证明。
【解析】
证明：对于一元二次方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$，可知$a=1$，$b=-m$，$c=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$。
代入根的判别式公式可得：
$\Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})$
$=m^2-2m+1$
$=(m-1)^2$
∵任意实数的平方都是非负数，即无论$m$取何值，都有$(m-1)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴无论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
【答案】
$\because \Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m^2-2m+1=(m-1)^2≥0$,
$\therefore$ 无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，完全平方式的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题关键是掌握判别式和方程根的个数的对应关系，能够正确代入参数计算判别式，并结合代数式的性质判断其符号。
【难度系数】
0.8
7.某等腰三角形的一边长为3,另外两边的长是关于x的方程$x^2 -12x +k=0$的两根,则三角形的周长为
15
.答案
7. 15
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形性质、一元二次方程相关知识及三角形三边关系求解，解题思路如下：1. 分类讨论：分为边长为3的边是腰、边长为3的边是底边两种情况；2. 结合方程根的定义或根的判别式求出方程的两个根，得到对应三角形的三边长度；3. 用三角形三边关系验证三边能否构成三角形，舍去不符合的情况，最终计算符合要求的周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若3为等腰三角形的腰长，则$x=3$是方程$x^2 -12x +k=0$的一个根，代入方程得：
$3^2 -12×3 +k=0$，解得$k=27$
此时方程为$x^2 -12x +27=0$，因式分解得$(x-3)(x-9)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=9$
对应三边长为3、3、9，$\because 3+3=6＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况；
2. 若3为等腰三角形的底边长，则方程的两根为两条腰长，即两根相等，因此判别式$\Delta=(-12)^2 -4k=0$，解得$k=36$
此时方程为$x^2 -12x +36=0$，解得$x_1=x_2=6$
对应三边长为3、6、6，$\because 3+6＞6$，满足三角形三边关系，因此周长为$3+6+6=15$。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意求出三边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免忽略构成三角形的前提条件出现错误。
【难度系数】
0.7
本题需结合等腰三角形性质、一元二次方程相关知识及三角形三边关系求解，解题思路如下：1. 分类讨论：分为边长为3的边是腰、边长为3的边是底边两种情况；2. 结合方程根的定义或根的判别式求出方程的两个根，得到对应三角形的三边长度；3. 用三角形三边关系验证三边能否构成三角形，舍去不符合的情况，最终计算符合要求的周长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若3为等腰三角形的腰长，则$x=3$是方程$x^2 -12x +k=0$的一个根，代入方程得：
$3^2 -12×3 +k=0$，解得$k=27$
此时方程为$x^2 -12x +27=0$，因式分解得$(x-3)(x-9)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=9$
对应三边长为3、3、9，$\because 3+3=6＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况；
2. 若3为等腰三角形的底边长，则方程的两根为两条腰长，即两根相等，因此判别式$\Delta=(-12)^2 -4k=0$，解得$k=36$
此时方程为$x^2 -12x +36=0$，解得$x_1=x_2=6$
对应三边长为3、6、6，$\because 3+6＞6$，满足三角形三边关系，因此周长为$3+6+6=15$。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需注意求出三边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免忽略构成三角形的前提条件出现错误。
【难度系数】
0.7
8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2kx + k^2 -k +1=0$的两个不相等的实数根分别为$x_1,x_2$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.
答案
8. 【解】(1)根据题意,得 $\Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)=4k-4＞0$.
解得 $k＞1$.
(2) $\because k＜5$,
$\therefore 1＜k＜5$.
$\because k$ 是整数,
$\therefore k$ 的值为 2 或 3 或 4.
当 $k=2$ 时,原方程为 $x^2-4x+3=0$.
解得 $x_1=1,x_2=3$.
此时 $x_1,x_2$ 都是整数,符合题意.
当 $k=3$ 时,原方程为 $x^2-6x+7=0$.
解得 $x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$.
此时 $x_1,x_2$ 都不是整数,不合题意,舍去.
当 $k=4$ 时,原方程为 $x^2-8x+13=0$.
解得 $x_1=4+\sqrt{3},x_2=4-\sqrt{3}$.
此时 $x_1,x_2$ 都不是整数,不合题意,舍去.
综上所述,$k$ 的值为 2.
解得 $k＞1$.
(2) $\because k＜5$,
$\therefore 1＜k＜5$.
$\because k$ 是整数,
$\therefore k$ 的值为 2 或 3 或 4.
当 $k=2$ 时,原方程为 $x^2-4x+3=0$.
解得 $x_1=1,x_2=3$.
此时 $x_1,x_2$ 都是整数,符合题意.
当 $k=3$ 时,原方程为 $x^2-6x+7=0$.
解得 $x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$.
此时 $x_1,x_2$ 都不是整数,不合题意,舍去.
当 $k=4$ 时,原方程为 $x^2-8x+13=0$.
解得 $x_1=4+\sqrt{3},x_2=4-\sqrt{3}$.
此时 $x_1,x_2$ 都不是整数,不合题意,舍去.
综上所述,$k$ 的值为 2.
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta＞0$，本题二次项系数为1≠0，满足一元二次方程的前提，因此只需先计算判别式，再令判别式大于0，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 结合第一问得到的$k＞1$，以及题目给出的$k＜5$、$k$为整数的条件，先确定$k$的所有可能取值，再将每个$k$代入原方程求解，判断根是否为整数，舍去不符合条件的取值，最终得到符合要求的$k$。
【解析】
(1) 由题意得，方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
对于方程$x^2 - 2kx + k^2 -k +1=0$，$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2 -k +1$，
$\Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2 -k +1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4$，
令$\Delta＞0$，即$4k-4＞0$，解得$k＞1$。
(2) $\because k＜5$，结合(1)的结论$k＞1$，可得$1＜k＜5$，
又$\because k$是整数，$\therefore k$的可能取值为2、3、4。
①当$k=2$时，原方程为$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两根均为整数，符合题意；
②当$k=3$时，原方程为$x^2-6x+7=0$，由求根公式得$x=\frac{6\pm\sqrt{36-28}}{2}=3\pm\sqrt{2}$，两根均为无理数，不符合题意，舍去；
③当$k=4$时，原方程为$x^2-8x+13=0$，由求根公式得$x=\frac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}=4\pm\sqrt{3}$，两根均为无理数，不符合题意，舍去。
综上，符合条件的$k$的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
3. 不等式的整数解
【点评】
本题既考查了一元二次方程根的判别式的基础应用，又要求学生结合整数条件对参数取值逐一验证，解题时需注意不能仅验证参数为整数，还要验证方程的根也满足整数要求，有助于培养学生解题的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta＞0$，本题二次项系数为1≠0，满足一元二次方程的前提，因此只需先计算判别式，再令判别式大于0，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 结合第一问得到的$k＞1$，以及题目给出的$k＜5$、$k$为整数的条件，先确定$k$的所有可能取值，再将每个$k$代入原方程求解，判断根是否为整数，舍去不符合条件的取值，最终得到符合要求的$k$。
【解析】
(1) 由题意得，方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
对于方程$x^2 - 2kx + k^2 -k +1=0$，$a=1$，$b=-2k$，$c=k^2 -k +1$，
$\Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2 -k +1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4$，
令$\Delta＞0$，即$4k-4＞0$，解得$k＞1$。
(2) $\because k＜5$，结合(1)的结论$k＞1$，可得$1＜k＜5$，
又$\because k$是整数，$\therefore k$的可能取值为2、3、4。
①当$k=2$时，原方程为$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两根均为整数，符合题意；
②当$k=3$时，原方程为$x^2-6x+7=0$，由求根公式得$x=\frac{6\pm\sqrt{36-28}}{2}=3\pm\sqrt{2}$，两根均为无理数，不符合题意，舍去；
③当$k=4$时，原方程为$x^2-8x+13=0$，由求根公式得$x=\frac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}=4\pm\sqrt{3}$，两根均为无理数，不符合题意，舍去。
综上，符合条件的$k$的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$；(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
3. 不等式的整数解
【点评】
本题既考查了一元二次方程根的判别式的基础应用，又要求学生结合整数条件对参数取值逐一验证，解题时需注意不能仅验证参数为整数，还要验证方程的根也满足整数要求，有助于培养学生解题的严谨性。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$，其中$2a$，$2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$的长，$c$为边$AB$的长.如果该方程有两个相等的实数根，那么四边形$ABCD$是菱形吗？请说明理由.
答案
9. 【解】四边形$ABCD$是菱形. 理由如下:
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$ 有两个相等的实数根,
$\therefore (2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$.
整理,得 $a^2+b^2=c^2$.
又 $2a,2b$ 分别为$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 的长,$c$ 为边 $AB$ 的长,
$\therefore □ ABCD$ 的对角线互相垂直.
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形.
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$ 有两个相等的实数根,
$\therefore (2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$.
整理,得 $a^2+b^2=c^2$.
又 $2a,2b$ 分别为$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 的长,$c$ 为边 $AB$ 的长,
$\therefore □ ABCD$ 的对角线互相垂直.
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形.
解析
【分析】
要判断平行四边形ABCD是否为菱形，可结合菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需证明该平行四边形的对角线互相垂直即可。首先根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式Δ=0，代入方程各项系数计算并整理得到a、b、c的数量关系，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，利用勾股定理逆定理判断对角线的夹角为直角，即可得到对角线垂直的结论，进而判定四边形形状。
【解析】
四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$，
展开整理得：$4b^2-4(c^2-a^2)=0$，
两边同时除以4得：$a^2+b^2=c^2$。
∵ $2a,2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC,BD$的长，$c$为边$AB$的长，平行四边形对角线互相平分，因此对角线的一半长分别为$a、b$，结合$a^2+b^2=c^2$由勾股定理逆定理可得：$□ ABCD$的对角线互相垂直，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
四边形$ABCD$是菱形，理由如下：
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore (2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$。
整理，得 $a^2+b^2=c^2$。
又 $2a,2b$ 分别为$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 的长，$c$ 为边 $AB$ 的长，
$\therefore □ ABCD$ 的对角线互相垂直，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，将一元二次方程根的情况与特殊四边形的判定相结合，既考查了一元二次方程根的判别式的应用，也考查了平行四边形性质和菱形判定定理的掌握，要求学生能灵活建立代数结论与几何特征之间的联系。
【难度系数】
0.7
要判断平行四边形ABCD是否为菱形，可结合菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此只需证明该平行四边形的对角线互相垂直即可。首先根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式Δ=0，代入方程各项系数计算并整理得到a、b、c的数量关系，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，利用勾股定理逆定理判断对角线的夹角为直角，即可得到对角线垂直的结论，进而判定四边形形状。
【解析】
四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵ 关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$，
展开整理得：$4b^2-4(c^2-a^2)=0$，
两边同时除以4得：$a^2+b^2=c^2$。
∵ $2a,2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC,BD$的长，$c$为边$AB$的长，平行四边形对角线互相平分，因此对角线的一半长分别为$a、b$，结合$a^2+b^2=c^2$由勾股定理逆定理可得：$□ ABCD$的对角线互相垂直，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
四边形$ABCD$是菱形，理由如下：
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore (2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$。
整理，得 $a^2+b^2=c^2$。
又 $2a,2b$ 分别为$□ ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 的长，$c$ 为边 $AB$ 的长，
$\therefore □ ABCD$ 的对角线互相垂直，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，将一元二次方程根的情况与特殊四边形的判定相结合，既考查了一元二次方程根的判别式的应用，也考查了平行四边形性质和菱形判定定理的掌握，要求学生能灵活建立代数结论与几何特征之间的联系。
【难度系数】
0.7
