基础知识·预习
问题1 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？等边三角形的边与角有哪些特征？
问题2 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？为什么？

解：
问题1解答
将等腰三角形的性质应用到等边三角形，可得结论：
等边三角形的三个内角都相等，且每一个内角都等于60°；等边三角形每条边上的中线、这条边上的高、这条边所对角的平分线都互相重合。
等边三角形的边与角特征：
1. 边的特征：等边三角形的三条边长度全部相等；
2. 角的特征：等边三角形的三个内角大小全部相等，每个内角的度数都是60°。
问题2解答
满足以下条件的三角形是等边三角形：
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形：这是等边三角形的定义，直接由等边三角形的概念可得。
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形：根据等腰三角形“等角对等边”的性质，若三角形三个角都相等，可推出任意两个角对应的边都相等，即三角形三条边都相等，因此该三角形是等边三角形。
3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形：
若等腰三角形的顶角为60°，由等腰三角形两底角相等，得两底角和为$180°-60°=120°$，每个底角为$60°$，此时三角形三个内角都为$60°$，可推出三边都相等，是等边三角形；
若等腰三角形的一个底角为$60°$，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个内角都为$60°$，可推出三边都相等，是等边三角形。

【典型例题 1】如图，等边三角形 ABC 的边长为 8，点 E 是 BC 边上一动点(不与点 B，C 重合)，以 BE 为边在 BC 的下方作等边三角形 BDE，连接 AE，CD。
(1)在点 E 的运动过程中，AE 与 CD 有何数量关系？请说明理由。
(2)当 BE=4 时，求∠BDC 的度数。
【解】(1)AE=CD.理由如下：
因为△ABC 和△BDE 是等边三角形，
所以 AB=BC，BE=BD，∠ABC=

∠EBD=60°。
在△ABE 与△CBD 中，
$\{\begin{array}{l}AB=CB,\\∠ABE=∠CBD,\\BE=BD,\end{array} $
所以△ABE≌△CBD(SAS)，
所以 AE=CD。
(2)因为 BE=4，BC=8，所以 E 为 BC 的中点。因为在等边三角形 ABC 中，AB=AC，
所以 AE⊥BC，所以∠AEB=90°。
由(1)知△ABE≌△CBD，
所以∠BDC=∠AEB=90°。
规律方法 1.等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，等边三角形任意一边上的高、中线及对角的平分线重合，即有三组“三线合一”。等边三角形也是轴对称图形，并且有3条对称轴。
2.等边三角形边与角的特殊性质为证明三角形全等提供了条件，也易于进行线段与角的等量转化，是证明问题的重要依据。

解：
(1) $AE=CD$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ BDE$是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$BE=BD$，$∠ ABC=∠ EBD=60°$。
在$△ ABE$与$△ CBD$中，
$\begin{cases}AB=CB, \\∠ ABE=∠ CBD, \\BE=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
(2) $\because$ 等边三角形$ABC$的边长为8，
$\therefore BC=8$，
$\because BE=4$，
$\therefore E$为$BC$的中点。
又$\because$ 在等边$△ ABC$中，$AB=AC$，
由等边三角形三线合一的性质可得$AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEB=90°$。
由(1)知$△ ABE≌△ CBD$，
$\therefore ∠ BDC=∠ AEB=90°$。