三、反比例函数中 $ k $ 的几何意义
1. 如图，在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象上任取一点 $ P(x,y) $，过这一点分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线 $ PM,PN $，则矩形 $ PMON $ 的面积 $ S = |xy| = $⑧.

2. 常见图形与结论

注
利用反比例函数中 $ k $ 的几何意义求解 $ k $ 值时，$ k $ 的正负由函数图象所在象限决定.

⑧ $|k|$
⑨$|k|$
⑩$|k|$

1.在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上任取一点 $ P(x, y) $，过这一点分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线 $ PM $ 和 $ PN $，则矩形 $ PMON $ 的面积 $ S $ 为 $ |x \ × y| $。
根据反比例函数的定义， $ y = \frac{k}{x} $，所以 $ x \ × y = k $。
因此，矩形 $ PMON $ 的面积 $ S = |x \ × y| = |k| $。
根据图示和其他题目的常见图形与结论，可以得出：
2. $ \triangle AOP $ 的面积为 $ \frac{|k|}{2} $，
$ \triangle ABC $ 的面积为 $ |k| $，
在双反比例函数中的 $ \triangle ABC $ 面积为 $ |k_1| + |k_2| $ 的一半或 $ |k| $ 的一半，
$ \triangle APP' $ 的面积为 $ |k| $，
矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ |k_1| - |k_2| $，
在双反比例函数中的 $ \triangle AOB $ 的面积为 $ \frac{|k_1| + |k_2|}{2} $。

3.(北师九上 P157 改编)如图，$ A,B $ 是反比例函数 $ y = \frac{9}{x} $ 图象上的两点，过点 $ A,B $ 分别作 $ y $ 轴的垂线，垂足分别为 $ C,D $；作 $ x $ 轴的垂线，垂足分别为 $ E,F $，连接 $ OA $.

(1) $ \triangle OAE $ 的面积为；
(2) 矩形 $ OCAE $ 的面积为，矩形 $ OFBD $ 的面积为.

(1) 设点 $ A $ 的坐标为 $ (a,b) $，因为点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{9}{x} $ 的图象上，所以 $ b = \frac{9}{a} $，即 $ ab = 9 $。
$ \triangle OAE $ 中，$ OE = a $，$ AE = b $，且 $ AE ⊥ x $ 轴，所以 $ \triangle OAE $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × OE × AE = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 9 = 4.5 $。
(2) 矩形 $ OCAE $ 中，$ OC = AE = b $，$ OE = a $，所以面积为 $ OC × OE = ab = 9 $。
设点 $ B $ 的坐标为 $ (c,d) $，同理可得 $ cd = 9 $，矩形 $ OFBD $ 的面积为 $ OF × OD = cd = 9 $。
(1) $ 4.5 $；
(2) $ 9 $，$ 9 $。

4. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $. 填空：
(1) 若点 $ (2,4) $ 在该反比例函数的图象上，则该函数解析式为；

(2) 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 是该反比例函数图象上的一点，过点 $ A $ 作 $ AB ⊥ y $ 轴，垂足为 $ B $，连接 $ AO $. 若 $ \triangle OAB $ 的面积为 $ 2 $，则 $ k $ 的值为.

(1)$y = \frac{8}{x}$；(2)$-4$

(1) 因为点$(2,4)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以将$x=2$，$y=4$代入函数可得$4 = \frac{k}{2}$，解得$k=8$，则该函数解析式为$y = \frac{8}{x}$。
(2) 设点$A$的坐标为$(x,y)$，因为$AB ⊥ y$轴，垂足为$B$，所以$B$点坐标为$(0,y)$，则$AB$的长度为$|x|$，$OB$的长度为$|y|$。$\triangle OAB$的面积为$\frac{1}{2} × |x| × |y| = 2$，即$\frac{1}{2}|xy| = 2$，所以$|xy| = 4$。又因为点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$xy = k$，则$|k| = 4$。由图可知，反比例函数的图象在第二象限，所以$k ＜ 0$，故$k = -4$。