4. (2025 郑州模拟)如图,线段$DG,EM,FN$两两相交于$B,C,A$三点,则$\angle D+\angle E+\angle F+\angle G+\angle M+\angle N$的度数是(
A.$180°$
B.$360°$
C.$540°$
D.$720°$
B
)A.$180°$
B.$360°$
C.$540°$
D.$720°$
答案
B
解析
设线段DG、EM、FN两两相交于B、C、A，形成△ABC。在△DBE中，∠D+∠E+∠DBE=180°，则∠DBE=180°-∠D-∠E；在△ABM中，∠M+∠MAB+∠ABM=180°，则∠ABM=180°-∠M-∠MAB。因B在直线EM上，∠DBE+∠ABM=180°，故(180°-∠D-∠E)+(180°-∠M-∠MAB)=180°，化简得∠D+∠E+∠M+∠MAB=180°①。同理，在△CGF和△ANC中，可得∠F+∠G+∠N+∠NAC=180°②。①+②得∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N+(∠MAB+∠NAC)=360°。又∠MAB+∠NAC=∠BAC（△ABC内角），而△ABC内角和180°不影响，最终∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N=360°。
5. (新人教八上 P13 改编)如图,从$A$处观测$C$处的仰角$\angle CAD=30°$,从$B$处观测$C$处的仰角$\angle CBD=45°$,则从$C$处观测$A,B$两处的视角$\angle ACB$的度数为
15°
.答案
15°
解析
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则∠ACD=60°；在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则∠BCD=45°；∠ACB=∠ACD - ∠BCD=60° - 45°=15°
6. (2025 北京模拟)将一副三角尺按如图所示的方式放置,使含$30°$角的三角尺的短直角边和含$45°$角的三角尺的一条直角边重合,则$\angle \alpha$的度数是(
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$
C
)A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
C
解析
设重合的直角边为公共边，含45°角的三角尺的一个锐角为45°，含30°角的三角尺的另一个锐角为60°（90°-30°）。根据三角形外角性质，∠α等于45°与30°的和，即∠α=45°+30°=75°。
7. (2025 武汉)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$是边$AB$上的点,将$\triangle BCD$沿直线$CD$折叠,点$B$的对应点$E$恰好落在边$AC$上.若$\angle A=34°$,则$\angle ADE$的大小是(
A.$35°$
B.$37°$
C.$39°$
D.$41°$
C
)A.$35°$
B.$37°$
C.$39°$
D.$41°$
答案
C
解析
在△ABC中，AB=AC，∠A=34°，则∠B=∠ACB=(180°-34°)/2=73°。折叠后△BCD≌△ECD，故∠CED=∠B=73°。因E在AC上，∠AED+∠CED=180°，则∠AED=180°-73°=107°。在△ADE中，∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-34°-107°=39°。
8. (2025 平顶山联考)如图,在$\triangle ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,点$E$是边$BC$的中点,$AD=8$,$S_{\triangle ABC}=48$,则$BE$的长为
6
.答案
6
解析
已知 $AD ⊥ BC$，$AD = 8$，$\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = 48$。
根据三角形面积公式，面积等于底乘以高的一半，有：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD$，
代入已知条件，得：
$48 = \frac{1}{2} × BC × 8$，
$BC = 12$，
由于点 $E$ 是边 $BC$ 的中点，根据中点的定义，有：
$BE = \frac{1}{2} × BC$，
代入 $BC = 12$，得：
$BE = 6$。
根据三角形面积公式，面积等于底乘以高的一半，有：
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD$，
代入已知条件，得：
$48 = \frac{1}{2} × BC × 8$，
$BC = 12$，
由于点 $E$ 是边 $BC$ 的中点，根据中点的定义，有：
$BE = \frac{1}{2} × BC$，
代入 $BC = 12$，得：
$BE = 6$。
9. (新北师七下 P94 改编)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=62°$,$\angle B=74°$,$CD$是$\triangle ABC$的角平分线,点$E$在$AC$上,且$DE // BC$,则$\angle EDC$的度数为
22°
.答案
22°
解析
在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，则∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-62°-74°=44°。
∵CD是△ABC的角平分线，∴∠BCD=∠ACB/2=44°/2=22°。
∵DE//BC，∴∠EDC=∠BCD=22°（两直线平行，内错角相等）。
∵CD是△ABC的角平分线，∴∠BCD=∠ACB/2=44°/2=22°。
∵DE//BC，∴∠EDC=∠BCD=22°（两直线平行，内错角相等）。
10. (2025 平顶山模拟)如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB=90°$,$CD$和$AE$分别为$\triangle ABC$的高和角平分线,$CD$和$AE$相交于点$F$,已知$AB:AC=5:3$,则$CF:FD=$(
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$
A
)A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$
答案
A
解析
1. 首先，根据勾股定理：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，设$AB = 5x$，$AC = 3x$，由勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，则$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(5x)^{2}-(3x)^{2}} = 4x$。
因为$CD⊥ AB$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，即$3x·4x = 5x· CD$，解得$CD=\frac{12}{5}x$，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}-(\frac{12}{5}x)^{2}}=\frac{9}{5}x$，$BD = AB - AD=5x-\frac{9}{5}x=\frac{16}{5}x$。
2. 然后，利用角平分线的性质：
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，根据角平分线定理$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，设$BE = 5y$，$EC = 3y$，则$BC = BE + EC=8y = 4x$，所以$y=\frac{1}{2}x$，$EC=\frac{3}{2}x$。
再根据$\triangle CEF∼\triangle ADF$（$\angle CEF=\angle ADF = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle CFE=\angle AFD$）。
由$\triangle CEF∼\triangle ADF$，可得$\frac{CF}{FD}=\frac{EC}{AD}$。
把$EC=\frac{3}{2}x$，$AD = \frac{9}{5}x$代入$\frac{CF}{FD}=\frac{EC}{AD}$，$\frac{CF}{FD}=\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{9}{5}x}$。
或者利用另一种方法：
过$E$作$EH⊥ AB$于$H$，因为$AE$是角平分线，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$EH = EC$。
由$\triangle ADF∼\triangle ACE$（$\angle ADF=\angle ACE = 90^{\circ}$，$\angle DAF=\angle CAE$）。
设$AC = 3$，$AB = 5$，则$BC = 4$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}$，$AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{9}{5}$（根据$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$和$AD=\frac{AC^{2}}{AB}$（射影定理$AC^{2}=AD· AB$））。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$\frac{CE}{BE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$CE=\frac{3}{3 + 5}× BC=\frac{3}{2}$。
又因为$\triangle CEF∼\triangle ADF$（$\angle CFE=\angle AFD$，$\angle FCE=\angle FAD$（$\angle FCE = 90^{\circ}-\angle B$，$\angle FAD=\angle BAC/2$，$\angle B = 90^{\circ}-\angle BAC$，经过角度转化可得$\angle FCE=\angle FAD$））。
根据相似三角形的性质$\frac{CF}{FD}=\frac{CE}{AD}$，$AD=\frac{9}{5}$，$CE=\frac{3}{2}$，$\frac{CF}{FD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{5}}=\frac{5}{3}$。
所以$CF:FD = 5:3$，答案是A。
11. (2025 焦作二模)如图,在$\triangle ABC$中,点$D,E$分别为边$AB,AC$的中点.下列结论中,错误的是(
A.$DE // BC$
B.$\triangle ADE \sim \triangle ABC$
C.$BC=2DE$
D.$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$
D
)A.$DE // BC$
B.$\triangle ADE \sim \triangle ABC$
C.$BC=2DE$
D.$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$
答案
D
解析
点$D,E$分别为边$AB,AC$的中点，
根据中位线定理可知：
$DE // BC$，
$DE=\frac{1}{2} BC$，
即$BC=2DE$，
所以选项A和选项C正确，
根据相似三角形的判定定理：
如果两个三角形的两组对应角分别相等，
那么这两个三角形相似，
因为$DE // BC$，
所以$\angle ADE=\angle ABC$，$\angle AED=\angle ACB$，
所以$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，
所以选项B正确，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似比为$1:2$，
所以面积比为$1:4$，
即$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，
所以选项D错误，
根据中位线定理可知：
$DE // BC$，
$DE=\frac{1}{2} BC$，
即$BC=2DE$，
所以选项A和选项C正确，
根据相似三角形的判定定理：
如果两个三角形的两组对应角分别相等，
那么这两个三角形相似，
因为$DE // BC$，
所以$\angle ADE=\angle ABC$，$\angle AED=\angle ACB$，
所以$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，
所以选项B正确，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似比为$1:2$，
所以面积比为$1:4$，
即$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，
所以选项D错误，
12. (2025 广东)如图,点$D,E,F$分别是$\triangle ABC$各边上的中点,$\angle A=70°$,则$\angle EDF=$(
A.$20°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$110°$
C
)A.$20°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$110°$
答案
C
解析
∵点D、E、F分别是△ABC各边上的中点，∴DF、DE是△ABC的中位线，∴DF//AB，DE//AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∴∠EDF=∠A=70°。
13. (2025 济源一模)如图,在$\triangle ABC$中,$AC=6\ \mathrm{cm}$,点$D,E$分别是$AC,BC$的中点,连接$DE$,在$DE$上有一点$F$,且$EF=1\ \mathrm{cm}$,连接$AF$,$CF$,若$AF ⊥ CF$,则$AB$的长为
8
.答案
8
解析
∵D是AC中点，AC=6cm，∴AD=DC=3cm。
∵AF⊥CF，∴△AFC是直角三角形，D为斜边AC中点，∴DF=1/2AC=3cm（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵E是BC中点，∴DE是△ABC中位线，∴DE=1/2AB，且DE//AB。
∵F在DE上，EF=1cm，∴DE=DF+EF=3+1=4cm。
∴AB=2DE=8cm。
∵AF⊥CF，∴△AFC是直角三角形，D为斜边AC中点，∴DF=1/2AC=3cm（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵E是BC中点，∴DE是△ABC中位线，∴DE=1/2AB，且DE//AB。
∵F在DE上，EF=1cm，∴DE=DF+EF=3+1=4cm。
∴AB=2DE=8cm。
