8. (2023·河北)如图,点$P_1$~$P_8$分别是$\odot O$的八等分点.若$△ P_1P_3P_7$、四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长分别为$a$、$b$,则下列关系正确的是 ( )
A. $a＜b$
B. $a=b$
C. $a＞b$
D. $a$、$b$的大小无法比较

(第8题)

(第9题)

(第10题)

(第11题)

A

9. (2023·内江)如图,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,点$P$在$\overset{\frown}{AB}$上,$Q$是$\overset{\frown}{DE}$的中点,则$∠ CPQ$的度数为 （ ）
A. $30°$
B. $45°$
C. $36°$
D. $60°$

B

10. 如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G. 若$∠ EGF = 30°$，则$n=\_\_\_\_\_\_$.

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11. (2023·杭州)如图, 六边形 $ ABCDEF $ 是$ \odot O $的内接正六边形,设正六边形 $ ABCDEF $ 的面积为 $ S_1 $, $ △ ACE $ 的面积为 $ S_2 $, 则$ \dfrac{S_1}{S_2} = $______.

2

12. 如图,在$\odot O$的内接正八边形$ABCDEFGH$中,$AB=2$,连接$DG$.
(1)求证:$DG// AB$.
(2)求$DG$的长.

证明: (1)$\because$八边形$ABCDEFGH$是$\odot O$的内接正八边形，$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HA}，$$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AG}，$$\therefore\angle BGD=\angle ABG，$$\therefore AB// DG.$ (2)如图，连接$OD$、$OE$、$OF，$过点$E$、$F$作$DG$的垂线，垂足分别为$M$、$N，$则$MN = EF = AB = 2.$$\because$八边形$ABCDEFGH$是$\odot O$的内接正八边形，$\therefore\angle DOE=\angle EOF=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}，$$\therefore\angle NGF=\frac{1}{2}\angle DOF = 45^{\circ}=\angle MDE，$在$Rt\triangle MDE$中，$\angle MDE = 45^{\circ}，$$DE = 2，$根据勾股定理可求得$MD = ME=\sqrt{2}，$同理可得$NG=\sqrt{2}，$$\therefore DG=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+2.$ ;

13. 中心为$ O $的正六边形$ ABCDEF $的半径为$ 6 \ \mathrm{cm} $，点$ P、Q $分别从$ A、D $两点同时出发，均以$ 1 \ \mathrm{cm/s} $的速度沿$ AF、DC $向终点$ F、C $运动，连接$ PB、PE、QB、QE $，设运动时间为$ t \ \mathrm{s} $。
(1)求证：四边形$ PBQE $为平行四边形。
(2)当四边形$ PBQE $是矩形时，求矩形$ PBQE $的面积与正六边形$ ABCDEF $的面积之比。

证明: (1)$\because$多边形$ABCDEF$是正六边形，$\therefore AB = BC = CD = DE = EF = FA，$$\angle A=\angle ABC=\angle C=\angle D=\angle DEF=\angle F.$由题意得，$AP = DQ = t\ cm，$$PF = QC=(6 - t)cm.$在$\triangle ABP$和$\triangle DEQ$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle A=\angle D\\AP = DQ\end{cases}，$$\therefore\triangle ABP\cong\triangle DEQ(SAS)，$$\therefore BP = EQ.$同理可证$PE = QB，$$\therefore$四边形$PBQE$为平行四边形. (2)如图1，连接$BE$、$OA$、$BD$、$AE，$则$\angle AOB = 360^{\circ}\div6 = 60^{\circ}.$又$\because OA = OB，$$\therefore\triangle AOB$是等边三角形，$\therefore AB = OA = 6\ cm，$$BE = 2OB = 12\ cm.$当$t = 0$时，四边形$PBQE$为四边形$ABDE，$则$\angle EAF=\angle AEF = 30^{\circ}，$$\therefore\angle BAE = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}，$$\therefore$当$t = 0$时，四边形$PBQE$是矩形.在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{BE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{12^{2}-6^{2}} = 6\sqrt{3}(cm)，$$\therefore S_{矩形PBQE}=S_{矩形ABDE}=AB\cdot AE = 6\times6\sqrt{3}=36\sqrt{3}(cm^{2}).$$\because S_{正六边形ABCDEF}=6S_{\triangle AOB}=6\times\frac{1}{4}S_{矩形ABDE}=6\times\frac{1}{4}\times36\sqrt{3}=54\sqrt{3}(cm^{2})，$$\therefore S_{矩形PBQE}:S_{正六边形ABCDEF}=36\sqrt{3}:54\sqrt{3}=2:3.$如图2，当$t = 6$时，四边形$PBQE$为四边形$FBCE，$同理可证四边形$FBCE$为矩形，且$S_{矩形PBQE}:S_{正六边形ABCDEF}=2:3.$ ;