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[典例2]解下列方程：
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项、合并同类项，得
$-2x = -2$
系数化为1，得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3} - \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{3(2x-1)}$，
方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$(2x-1) - 2×3 = 1$
去括号，得
$2x -1 -6 = 1$
移项、合并同类项，得
$2x = 8$
系数化为1，得
$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项、合并同类项，得
$-2x = -2$
系数化为1，得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3} - \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{3(2x-1)}$，
方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$(2x-1) - 2×3 = 1$
去括号，得
$2x -1 -6 = 1$
移项、合并同类项，得
$2x = 8$
系数化为1，得
$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的有效性。对于这两道题：①第(1)题观察分母可得$1-x=-(x-1)$，因此最简公分母为$(x-1)$，方程两边同乘$(x-1)$即可消去分母转化为一元一次方程，解完后代入公分母检验，若公分母为0则该根为增根，原方程无解；②第(2)题先整理分母可得$6x-3=3(2x-1)$，因此最简公分母为$3(2x-1)$，两边同乘公分母消去分母得到整式方程，求解后检验公分母是否不为0，若不为0则该根是原方程的解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项、合并同类项，得
$-2x = -2$
系数化为1，得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3} - \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{3(2x-1)}$，
方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$(2x-1) - 2×3 = 1$
去括号，得
$2x -1 -6 = 1$
移项、合并同类项，得
$2x = 8$
系数化为1，得
$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=4$
【知识点】
1.分式方程解法 2.增根检验 3.一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，核心考查去分母转化为整式方程的解题思路，解题时要注意准确识别最简公分母，尤其不能遗漏解后的检验步骤，这是分式方程求解的高频易错点。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的有效性。对于这两道题：①第(1)题观察分母可得$1-x=-(x-1)$，因此最简公分母为$(x-1)$，方程两边同乘$(x-1)$即可消去分母转化为一元一次方程，解完后代入公分母检验，若公分母为0则该根为增根，原方程无解；②第(2)题先整理分母可得$6x-3=3(2x-1)$，因此最简公分母为$3(2x-1)$，两边同乘公分母消去分母得到整式方程，求解后检验公分母是否不为0，若不为0则该根是原方程的解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项、合并同类项，得
$-2x = -2$
系数化为1，得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3} - \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{3(2x-1)}$，
方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$(2x-1) - 2×3 = 1$
去括号，得
$2x -1 -6 = 1$
移项、合并同类项，得
$2x = 8$
系数化为1，得
$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=4$
【知识点】
1.分式方程解法 2.增根检验 3.一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，核心考查去分母转化为整式方程的解题思路，解题时要注意准确识别最简公分母，尤其不能遗漏解后的检验步骤，这是分式方程求解的高频易错点。
【难度系数】
0.7
列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本一致，但验根这一步骤是必不可少的.
[典例3]科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务.下面是记者与该集团工程师的一段对话.
记者：“你们是用10天完成4 500米长的高架桥铺设任务的？”
工程师：“是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍.”
(1)通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
(2)该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
[典例3]科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务.下面是记者与该集团工程师的一段对话.
记者：“你们是用10天完成4 500米长的高架桥铺设任务的？”
工程师：“是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍.”
(1)通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
(2)该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
答案
解：(1)设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为$x$米，则采用新的铺设技术后每天铺设的长度为$2x$米。
根据题意，得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
方程两边同乘$2x$，得：
$1000 + 4000 = 20x$
解得：$x = 250$
检验：当$x=250$时，$2x ≠ 0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2)若按原来的速度铺设完全部任务，所需天数为$\frac{4500}{250} = 18$（天）
提前完成的天数为$18 - 10 = 8$（天）
答：(1)该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为250米；(2)该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。
根据题意，得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
方程两边同乘$2x$，得：
$1000 + 4000 = 20x$
解得：$x = 250$
检验：当$x=250$时，$2x ≠ 0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2)若按原来的速度铺设完全部任务，所需天数为$\frac{4500}{250} = 18$（天）
提前完成的天数为$18 - 10 = 8$（天）
答：(1)该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为250米；(2)该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。
解析
【分析】
解决本题首先明确核心等量关系：总施工时长等于前后两段施工的时长之和。对于第(1)问，设原来每天铺设长度为x米，可表示出新的铺设技术下每天铺设2x米，分别计算铺设前500米的时长、铺设剩余4000米的时长，两者相加等于总时长10天，即可列出分式方程，解分式方程后必须检验根是否符合原方程及实际意义。第(2)问先计算按原速度完成全部任务所需的总天数，减去实际施工的10天，即可得到提前的天数。
【解析】
(1)设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为$x$米，则采用新的铺设技术后每天铺设的长度为$2x$米。
根据题意，得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
方程两边同乘$2x$去分母，得：
$1000 + 4000 = 20x$
解得：$x = 250$
检验：当$x=250$时，$2x = 500 ≠ 0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合实际施工的意义。
(2)若按原来的速度铺设完全部任务，所需天数为$\frac{4500}{250} = 18$（天）
提前完成的天数为$18 - 10 = 8$（天）
【答案】
(1)该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为250米；(2)该建筑集团提前8天完成铺设任务。
【知识点】
列分式方程解应用题；分式方程的解法；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程在工程类实际问题中的典型基础题型，解题关键是准确梳理不同施工阶段的时长，找到总时长的等量关系列方程，要特别注意分式方程验根是必不可少的步骤，既要排除增根，也要验证解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确核心等量关系：总施工时长等于前后两段施工的时长之和。对于第(1)问，设原来每天铺设长度为x米，可表示出新的铺设技术下每天铺设2x米，分别计算铺设前500米的时长、铺设剩余4000米的时长，两者相加等于总时长10天，即可列出分式方程，解分式方程后必须检验根是否符合原方程及实际意义。第(2)问先计算按原速度完成全部任务所需的总天数，减去实际施工的10天，即可得到提前的天数。
【解析】
(1)设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为$x$米，则采用新的铺设技术后每天铺设的长度为$2x$米。
根据题意，得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
方程两边同乘$2x$去分母，得：
$1000 + 4000 = 20x$
解得：$x = 250$
检验：当$x=250$时，$2x = 500 ≠ 0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合实际施工的意义。
(2)若按原来的速度铺设完全部任务，所需天数为$\frac{4500}{250} = 18$（天）
提前完成的天数为$18 - 10 = 8$（天）
【答案】
(1)该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为250米；(2)该建筑集团提前8天完成铺设任务。
【知识点】
列分式方程解应用题；分式方程的解法；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程在工程类实际问题中的典型基础题型，解题关键是准确梳理不同施工阶段的时长，找到总时长的等量关系列方程，要特别注意分式方程验根是必不可少的步骤，既要排除增根，也要验证解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
