4. 如图，$∠ C=90°$，$AC=20$，$BC=10$，过点$A$作射线$AM⊥ AC$，$P$，$Q$两点分别在线段$AC$和射线$AM$上运动，$PQ=AB$，且点$P$不与点$A$，$C$重合。当点$P$运动到什么位置时，$△ ABC$与$△ APQ$全等？

4. 解：当点 $P$ 运动到使 $AP=BC$ 时，
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ QPA$ 中，
$\because \begin{cases} BC=PA, \\ AB=QP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ QPA(\mathrm{HL})$.
此时，$AP=BC=10$，即 $P$ 为 $AC$ 的中点.
当 $\mathrm{Rt}△ BCA≌\mathrm{Rt}△ QAP$ 时，有 $AP=AC$，此时点 $P$，$C$ 重合，不符合题意.
综上所述，当点 $P$ 运动到线段 $AC$ 中点处时，$△ ABC$ 与$△ QPA$ 全等.

【分析】
本题要判定两个直角三角形全等，已知斜边$AB=PQ$，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再找到一组直角边对应相等即可。由于两个三角形的直角边对应关系不明确，因此需要分两种情况讨论：①$AP$与$BC$对应相等；②$AP$与$AC$对应相等。再结合题目中“点$P$不与点$A、C$重合”的限制条件，排除不符合题意的情况，即可得到正确的$P$点位置。
【解析】
解：$\because ∠ C=90°$，$AM⊥ AC$，$\therefore ∠ PAQ=∠ C=90°$，$△ ABC$和$△ APQ$均为直角三角形。
已知$PQ=AB$，分两种情况讨论：
1. 当$AP=BC$时：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ QPA$中，
$\because \begin{cases} BC=PA \\ AB=QP \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ QPA(\mathrm{HL})$
此时$AP=BC=10$，$\because AC=20$，$\therefore AP=\frac{1}{2}AC$，即$P$为$AC$的中点，符合点$P$不与$A、C$重合的要求。
2. 当$AP=AC$时：
此时$AP=AC=20$，点$P$与点$C$重合，不符合题意，舍去。
【答案】
当点$P$运动到线段$AC$的中点（即$AP=10$）处时，$△ ABC$与$△ APQ$全等。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题时需注意对应边的不确定性，要分类讨论所有可能的全等情况，同时要结合题干给出的限制条件排除不符合的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6

5. 如图①，E，F 是线段 AC 上的两个动点，且 DE⊥AC 于点 E，BF⊥AC 于点 F. 已知 AB＝CD，AF＝CE，BD 交 AC 于点 M.
(1) 求证：MB＝MD，ME＝MF.
(2) 当 E，F 两点移动到图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

5. (1)证明：$\because DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$,
$\therefore ∠ DEC=∠ BFA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BFA$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中，
$\because \begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFA≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$.
$\therefore BF=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ BFM$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEM$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ BFM=∠ DEM, \\ ∠ BMF=∠ DME, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFM≌\mathrm{Rt}△ DEM(\mathrm{AAS})$.
$\therefore MB=MD$, $ME=MF$.
(2)结论仍然成立.
证明过程同(1)中证明.

【分析】
(1) 要证$MB=MD$、$ME=MF$，可通过证明两组边所在的$△ BFM$和$△ DEM$全等来实现。首先根据$DE⊥ AC$、$BF⊥ AC$得到直角，结合已知$AB=CD$、$AF=CE$，先用HL证明$\mathrm{Rt}△ BFA≌\mathrm{Rt}△ DEC$，得到关键边$BF=DE$；再结合对顶角相等、直角相等的条件，用AAS证明$△ BFM≌△ DEM$，即可得到对应边相等。
(2) 当E、F移动到图②的位置时，$AB=CD$、$AF=CE$、$DE⊥ AC$、$BF⊥ AC$这些核心条件没有变化，因此可以沿用和(1)完全相同的证明逻辑，两次证全等即可得到相同结论。
【解析】
(1)证明：$\because DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$,
$\therefore ∠ DEC=∠ BFA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BFA$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中，
$\because \begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFA≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$.
$\therefore BF=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ BFM$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEM$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ BFM=∠ DEM, \\ ∠ BMF=∠ DME, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BFM≌\mathrm{Rt}△ DEM(\mathrm{AAS})$.
$\therefore MB=MD$, $ME=MF$.
(2)结论仍然成立，证明过程同(1)：同样先证$\mathrm{Rt}△ BFA≌\mathrm{Rt}△ DEC$得$BF=DE$，再证$\mathrm{Rt}△ BFM≌\mathrm{Rt}△ DEM$，即可得$MB=MD$，$ME=MF$。
【答案】
(1) 已证得$MB=MD$，$ME=MF$；
(2) 上述结论仍然成立。
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题属于动态几何中的基础全等证明题，解题关键是抓住图形变化过程中不变的边角条件，不要被图形的位置变化干扰，按照全等判定的逻辑逐步推导即可。
【难度系数】
0.7