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11. (★)下列各式不是方程的是 【 】
A.$x^2 -2x -5=0$
B.$xy=1$
C.$2+4=6$
D.$1-3x=2$
A.$x^2 -2x -5=0$
B.$xy=1$
C.$2+4=6$
D.$1-3x=2$
答案
C
解析
【分析】
要判断各式是否为方程，首先需要明确方程的判定条件：一是必须为等式（含有等号），二是必须含有未知数，两个条件缺一不可。我们只需将每个选项对照这两个条件逐一验证，即可找出不符合方程定义的选项。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判定方程需同时满足“是等式”“含有未知数”两个条件。
选项A：$x^2 -2x -5=0$是等式，且含有未知数x，属于方程；
选项B：$xy=1$是等式，且含有未知数x、y，属于方程；
选项C：$2+4=6$是等式，但式子中没有未知数，不满足方程的条件，不属于方程；
选项D：$1-3x=2$是等式，且含有未知数x，属于方程。
综上，不是方程的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对概念的理解和应用，解题时注意不要遗漏方程需同时满足的两个判定条件即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断各式是否为方程，首先需要明确方程的判定条件：一是必须为等式（含有等号），二是必须含有未知数，两个条件缺一不可。我们只需将每个选项对照这两个条件逐一验证，即可找出不符合方程定义的选项。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判定方程需同时满足“是等式”“含有未知数”两个条件。
选项A：$x^2 -2x -5=0$是等式，且含有未知数x，属于方程；
选项B：$xy=1$是等式，且含有未知数x、y，属于方程；
选项C：$2+4=6$是等式，但式子中没有未知数，不满足方程的条件，不属于方程；
选项D：$1-3x=2$是等式，且含有未知数x，属于方程。
综上，不是方程的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对概念的理解和应用，解题时注意不要遗漏方程需同时满足的两个判定条件即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
12. (★)小明今年13岁，他的年龄比他爸爸年龄的$\frac{1}{3}$小1岁，设他爸爸今年y岁，则可列方程为.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}y - 1 = 13}$
解析
【分析】
列方程的核心是找准等量关系，首先提取题干关键信息：小明年龄是13岁，爸爸年龄设为y岁，题干明确表述“小明的年龄比爸爸年龄的$\frac{1}{3}$小1岁”。先翻译数量关系：“爸爸年龄的$\frac{1}{3}$”可表示为$\frac{1}{3}y$，“比这个数小1岁”就是用这个数减1，所得结果和小明的年龄13岁相等，按照这个逻辑就能列出方程。
【解析】
第一步：确定等量关系：爸爸年龄的$\frac{1}{3}$ - 1岁 = 小明的年龄
第二步：代入已知量和未知量：爸爸年龄为y岁，因此爸爸年龄的$\frac{1}{3}$为$\frac{1}{3}y$，小明年龄为13岁，代入等量关系可得：$\frac{1}{3}y - 1 = 13$
【答案】
$\frac{1}{3}y - 1 = 13$
【知识点】
列一元一次方程，等量关系识别
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查对题干数量关系的理解能力，只要准确抓住“比……小1”这类数量描述的含义，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.9
列方程的核心是找准等量关系，首先提取题干关键信息：小明年龄是13岁，爸爸年龄设为y岁，题干明确表述“小明的年龄比爸爸年龄的$\frac{1}{3}$小1岁”。先翻译数量关系：“爸爸年龄的$\frac{1}{3}$”可表示为$\frac{1}{3}y$，“比这个数小1岁”就是用这个数减1，所得结果和小明的年龄13岁相等，按照这个逻辑就能列出方程。
【解析】
第一步：确定等量关系：爸爸年龄的$\frac{1}{3}$ - 1岁 = 小明的年龄
第二步：代入已知量和未知量：爸爸年龄为y岁，因此爸爸年龄的$\frac{1}{3}$为$\frac{1}{3}y$，小明年龄为13岁，代入等量关系可得：$\frac{1}{3}y - 1 = 13$
【答案】
$\frac{1}{3}y - 1 = 13$
【知识点】
列一元一次方程，等量关系识别
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查对题干数量关系的理解能力，只要准确抓住“比……小1”这类数量描述的含义，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.9
13. (★★)某小区实行“阶梯水价”收费.
若每户用水不超过10 t,每吨收费a元;超过10 t,超过部分每吨加收1元.一用户12月份用水14 t,缴纳水费32元,根据题意,可列方程为 【 】
A.$10a + 4(a + 1) = 32$
B.$10a - 4(a + 1) = 32$
C.$10(a + 1) = 32$
D.$14(a + 1) - 4 = 32$
若每户用水不超过10 t,每吨收费a元;超过10 t,超过部分每吨加收1元.一用户12月份用水14 t,缴纳水费32元,根据题意,可列方程为 【 】
A.$10a + 4(a + 1) = 32$
B.$10a - 4(a + 1) = 32$
C.$10(a + 1) = 32$
D.$14(a + 1) - 4 = 32$
答案
A
解析
【分析】
遇到阶梯收费类的列方程问题，首先要明确收费分段标准，本题以10t为分段界限：先判断实际用水量属于哪个收费段，本题14t超过了10t，因此水费需要分两部分计算，分别求出10t以内的费用、超出10t部分的费用，再根据两部分费用之和等于总缴纳水费的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
用户12月用水14t，超过10t的基础用水量，需分段计算水费：
1. 10t以内的费用：每吨收费a元，因此10t的费用为$10a$元；
2. 超出10t的水量：$14-10=4\mathrm{t}$，超出部分每吨加收1元，即单价为$(a+1)$元/吨，因此超出部分的费用为$4(a+1)$元；
3. 已知总水费为32元，即两部分费用之和为32元，可列方程：$10a + 4(a+1) = 32$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 阶梯计费问题
【点评】
本题是阶梯计费类的典型基础题，解题关键是理清不同收费段的计价规则和对应水量，分别计算各段费用后结合总费用的等量关系列方程即可，掌握分段逻辑后不易出错。
【难度系数】
0.8
遇到阶梯收费类的列方程问题，首先要明确收费分段标准，本题以10t为分段界限：先判断实际用水量属于哪个收费段，本题14t超过了10t，因此水费需要分两部分计算，分别求出10t以内的费用、超出10t部分的费用，再根据两部分费用之和等于总缴纳水费的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
用户12月用水14t，超过10t的基础用水量，需分段计算水费：
1. 10t以内的费用：每吨收费a元，因此10t的费用为$10a$元；
2. 超出10t的水量：$14-10=4\mathrm{t}$，超出部分每吨加收1元，即单价为$(a+1)$元/吨，因此超出部分的费用为$4(a+1)$元；
3. 已知总水费为32元，即两部分费用之和为32元，可列方程：$10a + 4(a+1) = 32$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 阶梯计费问题
【点评】
本题是阶梯计费类的典型基础题，解题关键是理清不同收费段的计价规则和对应水量，分别计算各段费用后结合总费用的等量关系列方程即可，掌握分段逻辑后不易出错。
【难度系数】
0.8
14. (★★)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架,其中第七卷“盈不足”中有如下问题:“今有垣高九尺.瓜生其上,蔓日长七寸;瓠(hù)生其下,蔓日长一尺.问:几日相逢?”译文:“今有墙高9尺.瓜生在墙的上方,瓜蔓每天向下长7寸;葫芦生在墙的下方,葫芦蔓每天向上长1尺.问:经过多少天两蔓相逢?”其中1尺=10寸.若设经过x天两蔓相逢,根据题意,可列方程为【】
A.$x+7=9$
B.$(7+1)x=9$
C.$7x+10x=90$
D.$10x-7x=90$
A.$x+7=9$
B.$(7+1)x=9$
C.$7x+10x=90$
D.$10x-7x=90$
答案
C
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题首先要统一单位，避免单位不一致出错；其次要明确两个蔓是相向生长，相逢时二者生长的总长度刚好等于墙的高度，我们只需要分别表示出x天里两个蔓的生长长度，相加等于墙的总高度即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：已知1尺=10寸，因此墙高9尺=9×10=90寸，葫芦蔓每天生长的1尺换算为10寸。
经过x天，瓜蔓向下生长的总长度为7x寸，葫芦蔓向上生长的总长度为10x寸。
两蔓相逢时，二者生长的总长度等于墙的高度，因此可列方程：$7x+10x=90$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；单位换算；相遇问题
【点评】
本题结合中国传统数学著作出题，考查列方程解应用题的能力，解题的关键是先统一单位，再找准等量关系，整体难度较低，细心答题即可得分。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题首先要统一单位，避免单位不一致出错；其次要明确两个蔓是相向生长，相逢时二者生长的总长度刚好等于墙的高度，我们只需要分别表示出x天里两个蔓的生长长度，相加等于墙的总高度即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：已知1尺=10寸，因此墙高9尺=9×10=90寸，葫芦蔓每天生长的1尺换算为10寸。
经过x天，瓜蔓向下生长的总长度为7x寸，葫芦蔓向上生长的总长度为10x寸。
两蔓相逢时，二者生长的总长度等于墙的高度，因此可列方程：$7x+10x=90$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；单位换算；相遇问题
【点评】
本题结合中国传统数学著作出题，考查列方程解应用题的能力，解题的关键是先统一单位，再找准等量关系，整体难度较低，细心答题即可得分。
【难度系数】
0.7
15. (★★)某中学组织七年级同学研学旅行,如果全部租45座的车,那么有15人没座位;如果租用相同数量的60座的车,那么空出一辆车,其余车刚好坐满.设有x辆车,那么可列出一元一次方程为.
答案
解：
根据学生总人数不变的等量关系，
租45座车时，学生总人数为$(45x + 15)$人，
租60座车时，实际用车数量为$(x-1)$辆，学生总人数为$60(x-1)$人，
因此可列出一元一次方程为：
$45x + 15 = 60(x - 1)$
根据学生总人数不变的等量关系，
租45座车时，学生总人数为$(45x + 15)$人，
租60座车时，实际用车数量为$(x-1)$辆，学生总人数为$60(x-1)$人，
因此可列出一元一次方程为：
$45x + 15 = 60(x - 1)$
解析
【分析】
要列出符合题意的一元一次方程，首先需找到题目中的不变量：本题中七年级学生总人数是固定不变的。已知设共有x辆车，我们可以分别用含x的式子表示两种租车方案下的学生总人数，再根据总人数相等建立等式即可。第一步，租45座车时，x辆车可承载45x人，还有15人没座位，因此总人数为45x+15；第二步，租60座车时，相同数量x辆的情况下空出1辆，即实际使用(x-1)辆车且全部坐满，因此总人数为60(x-1)；第三步，联立两个表示总人数的式子即可得到方程。
【解析】
根据学生总人数不变的等量关系，
租45座车时，学生总人数为$(45x + 15)$人，
租60座车时，实际用车数量为$(x-1)$辆，学生总人数为$60(x-1)$人，
因此可列出一元一次方程为：
$45x + 15 = 60(x - 1)$
【答案】
$45x + 15 = 60(x - 1)$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系识别
【点评】
本题是方程应用的基础常规题，解题关键是抓住题目中的不变量，用含未知数的代数式分别表示两种场景下的不变量，即可快速列出方程，这类方法是解决后续更复杂方程应用题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的一元一次方程，首先需找到题目中的不变量：本题中七年级学生总人数是固定不变的。已知设共有x辆车，我们可以分别用含x的式子表示两种租车方案下的学生总人数，再根据总人数相等建立等式即可。第一步，租45座车时，x辆车可承载45x人，还有15人没座位，因此总人数为45x+15；第二步，租60座车时，相同数量x辆的情况下空出1辆，即实际使用(x-1)辆车且全部坐满，因此总人数为60(x-1)；第三步，联立两个表示总人数的式子即可得到方程。
【解析】
根据学生总人数不变的等量关系，
租45座车时，学生总人数为$(45x + 15)$人，
租60座车时，实际用车数量为$(x-1)$辆，学生总人数为$60(x-1)$人，
因此可列出一元一次方程为：
$45x + 15 = 60(x - 1)$
【答案】
$45x + 15 = 60(x - 1)$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系识别
【点评】
本题是方程应用的基础常规题，解题关键是抓住题目中的不变量，用含未知数的代数式分别表示两种场景下的不变量，即可快速列出方程，这类方法是解决后续更复杂方程应用题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
16. (★★)如图,某景区计划在一个长为100 m、宽为50 m的长方形空地上修建一个停车场.停车场中修建九块形状、大小相同的长方形停车区域,它们的面积之和为3 600 m²,停车区域之间留有宽度相等的行车通道(阴影部分),求行车通道的宽度是多少.设行车通道的宽度是x m,则可列方程为 【 】
A.$(100-2x)(50-2x)=3\ 600$
B.$100×50-50x-100x=3\ 600$
C.$100×50-50x×2-100x×2=3\ 600$
D.$(100-x)(50-x)=3\ 600$
A.$(100-2x)(50-2x)=3\ 600$
B.$100×50-50x-100x=3\ 600$
C.$100×50-50x×2-100x×2=3\ 600$
D.$(100-x)(50-x)=3\ 600$
答案
A
解析
【分析】
解决这类含通道的面积列方程问题，优先采用平移法简化计算：先将分散的停车区域平移拼接成一个完整的大长方形，只需要计算拼接后大长方形的长和宽，再结合面积公式即可列出方程。首先观察图形判断通道数量：竖向行车通道共2条，每条宽x，因此拼接后的停车区域长度为原长减去2个通道宽度；横向行车通道共2条，每条宽x，因此拼接后的停车区域宽度为原宽减去2个通道宽度；最后根据停车区域总面积代入长方形面积公式即可得到方程。
【解析】
我们使用平移法，将所有行车通道移到空地的边缘，此时9块停车区域刚好拼接为一个完整的大长方形：
1. 求拼接后大长方形的长：原空地长为100m，有2条竖向的通道，每条宽x m，因此拼接后长为$(100-2x)$m；
2. 求拼接后大长方形的宽：原空地宽为50m，有2条横向的通道，每条宽x m，因此拼接后宽为$(50-2x)$m；
3. 已知停车区域总面积为$3600\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积=长×宽，可列方程：
$(100-2x)(50-2x)=3600$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列方程解面积问题；平移法的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何面积结合的基础题型，核心技巧是用平移法将分散的规则图形拼接为整体，能避免直接减通道面积时重复扣除重叠部分的错误，大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解决这类含通道的面积列方程问题，优先采用平移法简化计算：先将分散的停车区域平移拼接成一个完整的大长方形，只需要计算拼接后大长方形的长和宽，再结合面积公式即可列出方程。首先观察图形判断通道数量：竖向行车通道共2条，每条宽x，因此拼接后的停车区域长度为原长减去2个通道宽度；横向行车通道共2条，每条宽x，因此拼接后的停车区域宽度为原宽减去2个通道宽度；最后根据停车区域总面积代入长方形面积公式即可得到方程。
【解析】
我们使用平移法，将所有行车通道移到空地的边缘，此时9块停车区域刚好拼接为一个完整的大长方形：
1. 求拼接后大长方形的长：原空地长为100m，有2条竖向的通道，每条宽x m，因此拼接后长为$(100-2x)$m；
2. 求拼接后大长方形的宽：原空地宽为50m，有2条横向的通道，每条宽x m，因此拼接后宽为$(50-2x)$m；
3. 已知停车区域总面积为$3600\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积=长×宽，可列方程：
$(100-2x)(50-2x)=3600$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列方程解面积问题；平移法的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何面积结合的基础题型，核心技巧是用平移法将分散的规则图形拼接为整体，能避免直接减通道面积时重复扣除重叠部分的错误，大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
