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例题 阅读材料:已知 $a,b$ 为非负实数,因为 $a + b - 2\sqrt{ab}=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{a}·\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$。所以 $a + b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当“$a = b$”时,等号成立。这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用。
例:已知 $x＞0$,求代数式 $x+\frac{9}{x}$ 的最小值。解:令 $a = x,b=\frac{9}{x}$,则由 $a + b≥2\sqrt{ab}$,可得 $x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$。当且仅当 $x=\frac{9}{x}$,因为 $x＞0$,即 $x = 3$ 时,代数式取到最小值,最小值为 6。
根据以上材料解答下列问题:
(1)【灵活运用】已知 $x＞0$,则当 $x=\_\_\_\_\_\_$ 时,代数式 $x+\frac{2}{x}$ 取到最小值,最小值为 ______。
(2)已知 $x＞0$,求代数式 $\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}$ 的最小值。
(3)【拓展运用】某校要对操场的一个区域进行改造,利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃,如图1所示,为了围成面积为 $500\mathrm{m}^2$ 的花圃,所用的围栏至少为多少米?
(4)如图2,四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,$△ AOD$ 和 $△ BOC$ 的面积分别是 4 和 12,求四边形 $ABCD$ 面积的最小值。
拆解剖析
整体思想与数形结合
$\begin{cases}\mathrm{考查点1:完全平方公式—}(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}·\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2\mathrm{,根据}a^2 - 2a· b + b^2=(a - b)^2\\\mathrm{考查点2:分式通分计算—(2)中}\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}=2x+\frac{3}{x}-5\\\mathrm{考查点3:方程的求解}\begin{cases}\mathrm{分式方程}\begin{cases}(1)\mathrm{中}x=\frac{2}{x}\\(2)\mathrm{中}2x=\frac{3}{x}\\(3)\mathrm{中}4x=\frac{500}{x}\\(4)\mathrm{中}m=\frac{48}{m}\end{cases}\\\mathrm{一元二次方程}\begin{cases}(1)\mathrm{中}x^2=2\\(2)\mathrm{中}2x^2=3\\(3)\mathrm{中}4x^2=500\\(4)\mathrm{中}m^2=48\end{cases}\end{cases}\\\mathrm{考查点4:三角形面积边高关系—}\begin{cases}\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}\\\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}\end{cases}\mathrm{利用两个三角形高一样,面积之比为底边长之比}\end{cases}$
例:已知 $x＞0$,求代数式 $x+\frac{9}{x}$ 的最小值。解:令 $a = x,b=\frac{9}{x}$,则由 $a + b≥2\sqrt{ab}$,可得 $x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$。当且仅当 $x=\frac{9}{x}$,因为 $x＞0$,即 $x = 3$ 时,代数式取到最小值,最小值为 6。
根据以上材料解答下列问题:
(1)【灵活运用】已知 $x＞0$,则当 $x=\_\_\_\_\_\_$ 时,代数式 $x+\frac{2}{x}$ 取到最小值,最小值为 ______。
(2)已知 $x＞0$,求代数式 $\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}$ 的最小值。
(3)【拓展运用】某校要对操场的一个区域进行改造,利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃,如图1所示,为了围成面积为 $500\mathrm{m}^2$ 的花圃,所用的围栏至少为多少米?
(4)如图2,四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,$△ AOD$ 和 $△ BOC$ 的面积分别是 4 和 12,求四边形 $ABCD$ 面积的最小值。
拆解剖析
整体思想与数形结合
$\begin{cases}\mathrm{考查点1:完全平方公式—}(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}·\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2\mathrm{,根据}a^2 - 2a· b + b^2=(a - b)^2\\\mathrm{考查点2:分式通分计算—(2)中}\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}=2x+\frac{3}{x}-5\\\mathrm{考查点3:方程的求解}\begin{cases}\mathrm{分式方程}\begin{cases}(1)\mathrm{中}x=\frac{2}{x}\\(2)\mathrm{中}2x=\frac{3}{x}\\(3)\mathrm{中}4x=\frac{500}{x}\\(4)\mathrm{中}m=\frac{48}{m}\end{cases}\\\mathrm{一元二次方程}\begin{cases}(1)\mathrm{中}x^2=2\\(2)\mathrm{中}2x^2=3\\(3)\mathrm{中}4x^2=500\\(4)\mathrm{中}m^2=48\end{cases}\end{cases}\\\mathrm{考查点4:三角形面积边高关系—}\begin{cases}\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}\\\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}\end{cases}\mathrm{利用两个三角形高一样,面积之比为底边长之比}\end{cases}$
答案
(1)$\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ 解析:令$a=x,b=\frac{2}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$x+\frac{2}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$。当且仅当$x=\frac{2}{x}$,因为$x＞0$,即$x=\sqrt{2}$时,代数式取到最小值,最小值为$2\sqrt{2}$。
(2)$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}=\frac{2x^2}{x}-\frac{5x}{x}+\frac{3}{x}=2x+\frac{3}{x}-5$。令$a=2x,b=\frac{3}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$2x+\frac{3}{x}≥ 2\sqrt{2x· \frac{3}{x}}=2\sqrt{6}$。当且仅当$2x=\frac{3}{x}$,因为$x＞0$,即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时,代数式取到最小值,最小值为$2\sqrt{6}$。所以代数式$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}$的最小值为$2\sqrt{6}-5$。
(3)设花圃的宽为$x\ \mathrm{m}$,则长为$\frac{500}{x}\ \mathrm{m}$,所用的围栏总长$=(4x+\frac{500}{x})\ \mathrm{m}$。令$a=4x,b=\frac{500}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$4x+\frac{500}{x}≥ 2\sqrt{4x· \frac{500}{x}}=40\sqrt{5}$。当且仅当$4x=\frac{500}{x}$,因为$x＞0$,即$x=5\sqrt{5}$时,代数式取到最小值,最小值为$40\sqrt{5}$。答:所用的围栏至少为$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
(4)作$AE⊥ BD,CF⊥ BD$,如图所示:设$S_{△ AOB}=m$。因为$△ COB$与$△ COD$底边上的高相等,$△ AOB$与$△ AOD$底边上的高相等,所以$\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}$,所以$\frac{12}{S_{△ COD}}=\frac{m}{4}$,解得:$S_{△ COD}=\frac{48}{m}$,所以四边形$ABCD$面积$=4+12+m+\frac{48}{m}=m+\frac{48}{m}+16$,令$a=m,b=\frac{48}{m}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$m+\frac{48}{m}≥ 2\sqrt{m· \frac{48}{m}}=8\sqrt{3}$。当且仅当$m=\frac{48}{m}$,因为$m＞0$,即$m=4\sqrt{3}$时,代数式取到最小值,最小值为$8\sqrt{3}$。所以四边形$ABCD$面积的最小值为$16+8\sqrt{3}$。
(2)$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}=\frac{2x^2}{x}-\frac{5x}{x}+\frac{3}{x}=2x+\frac{3}{x}-5$。令$a=2x,b=\frac{3}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$2x+\frac{3}{x}≥ 2\sqrt{2x· \frac{3}{x}}=2\sqrt{6}$。当且仅当$2x=\frac{3}{x}$,因为$x＞0$,即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时,代数式取到最小值,最小值为$2\sqrt{6}$。所以代数式$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}$的最小值为$2\sqrt{6}-5$。
(3)设花圃的宽为$x\ \mathrm{m}$,则长为$\frac{500}{x}\ \mathrm{m}$,所用的围栏总长$=(4x+\frac{500}{x})\ \mathrm{m}$。令$a=4x,b=\frac{500}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$4x+\frac{500}{x}≥ 2\sqrt{4x· \frac{500}{x}}=40\sqrt{5}$。当且仅当$4x=\frac{500}{x}$,因为$x＞0$,即$x=5\sqrt{5}$时,代数式取到最小值,最小值为$40\sqrt{5}$。答:所用的围栏至少为$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
(4)作$AE⊥ BD,CF⊥ BD$,如图所示:设$S_{△ AOB}=m$。因为$△ COB$与$△ COD$底边上的高相等,$△ AOB$与$△ AOD$底边上的高相等,所以$\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}$,所以$\frac{12}{S_{△ COD}}=\frac{m}{4}$,解得:$S_{△ COD}=\frac{48}{m}$,所以四边形$ABCD$面积$=4+12+m+\frac{48}{m}=m+\frac{48}{m}+16$,令$a=m,b=\frac{48}{m}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$m+\frac{48}{m}≥ 2\sqrt{m· \frac{48}{m}}=8\sqrt{3}$。当且仅当$m=\frac{48}{m}$,因为$m＞0$,即$m=4\sqrt{3}$时,代数式取到最小值,最小值为$8\sqrt{3}$。所以四边形$ABCD$面积的最小值为$16+8\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题主要利用题目给出的均值不等式$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$（$a,b$为非负实数，当且仅当$a = b$时等号成立）解决最值问题，需根据不同题目形式对代数式进行变形，再结合对应知识（如分式运算、三角形面积关系）套用均值不等式求解，注意变量的取值范围（如$x＞0$）。
【解析】
(1) 对于代数式$x+\frac{2}{x}$（$x＞0$），令$a=x$，$b=\frac{2}{x}$，由均值不等式得：
$x+\frac{2}{x} ≥ 2\sqrt{x · \frac{2}{x}} = 2\sqrt{2}$，当且仅当$x=\frac{2}{x}$（$x＞0$），即$x=\sqrt{2}$时，取最小值$2\sqrt{2}$。
(2) 先拆分分式：
$\frac{2x^2 -5x +3}{x} = \frac{2x^2}{x} - \frac{5x}{x} + \frac{3}{x} = 2x + \frac{3}{x} -5$（$x＞0$），
令$a=2x$，$b=\frac{3}{x}$，由均值不等式得：
$2x + \frac{3}{x} ≥ 2\sqrt{2x · \frac{3}{x}} = 2\sqrt{6}$，当且仅当$2x=\frac{3}{x}$（$x＞0$），即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时，$2x+\frac{3}{x}$取最小值$2\sqrt{6}$，故原代数式最小值为$2\sqrt{6} -5$。
(3) 设花圃的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$\frac{500}{x}\ \mathrm{m}$，围栏总长为$4x + \frac{500}{x}\ \mathrm{m}$（$x＞0$），
令$a=4x$，$b=\frac{500}{x}$，由均值不等式得：
$4x + \frac{500}{x} ≥ 2\sqrt{4x · \frac{500}{x}} = 40\sqrt{5}$，当且仅当$4x=\frac{500}{x}$（$x＞0$），即$x=5\sqrt{5}$时，围栏总长最小为$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
(4) 设$S_{△ AOB}=m$，由三角形面积与底高关系（同高的三角形面积比等于底之比），得$\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}$，即$\frac{12}{S_{△ COD}}=\frac{m}{4}$，解得$S_{△ COD}=\frac{48}{m}$，
则四边形$ABCD$面积为$4 +12 +m +\frac{48}{m}=m +\frac{48}{m} +16$（$m＞0$），
令$a=m$，$b=\frac{48}{m}$，由均值不等式得：
$m +\frac{48}{m} ≥ 2\sqrt{m · \frac{48}{m}}=8\sqrt{3}$，当且仅当$m=\frac{48}{m}$（$m＞0$），即$m=4\sqrt{3}$时，$m+\frac{48}{m}$取最小值$8\sqrt{3}$，故四边形面积最小值为$16 +8\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$；
(2)$2\sqrt{6}-5$；
(3)$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$；
(4)$16+8\sqrt{3}$。
【知识点】
均值不等式，分式运算，三角形面积性质。
【点评】
本题考查均值不等式的灵活应用，涵盖代数变形、几何结合等题型，需掌握均值不等式的适用条件，并能结合其他知识解决最值问题，是基础到中等难度的综合应用。
【难度系数】
0.4
本题主要利用题目给出的均值不等式$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$（$a,b$为非负实数，当且仅当$a = b$时等号成立）解决最值问题，需根据不同题目形式对代数式进行变形，再结合对应知识（如分式运算、三角形面积关系）套用均值不等式求解，注意变量的取值范围（如$x＞0$）。
【解析】
(1) 对于代数式$x+\frac{2}{x}$（$x＞0$），令$a=x$，$b=\frac{2}{x}$，由均值不等式得：
$x+\frac{2}{x} ≥ 2\sqrt{x · \frac{2}{x}} = 2\sqrt{2}$，当且仅当$x=\frac{2}{x}$（$x＞0$），即$x=\sqrt{2}$时，取最小值$2\sqrt{2}$。
(2) 先拆分分式：
$\frac{2x^2 -5x +3}{x} = \frac{2x^2}{x} - \frac{5x}{x} + \frac{3}{x} = 2x + \frac{3}{x} -5$（$x＞0$），
令$a=2x$，$b=\frac{3}{x}$，由均值不等式得：
$2x + \frac{3}{x} ≥ 2\sqrt{2x · \frac{3}{x}} = 2\sqrt{6}$，当且仅当$2x=\frac{3}{x}$（$x＞0$），即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时，$2x+\frac{3}{x}$取最小值$2\sqrt{6}$，故原代数式最小值为$2\sqrt{6} -5$。
(3) 设花圃的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$\frac{500}{x}\ \mathrm{m}$，围栏总长为$4x + \frac{500}{x}\ \mathrm{m}$（$x＞0$），
令$a=4x$，$b=\frac{500}{x}$，由均值不等式得：
$4x + \frac{500}{x} ≥ 2\sqrt{4x · \frac{500}{x}} = 40\sqrt{5}$，当且仅当$4x=\frac{500}{x}$（$x＞0$），即$x=5\sqrt{5}$时，围栏总长最小为$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
(4) 设$S_{△ AOB}=m$，由三角形面积与底高关系（同高的三角形面积比等于底之比），得$\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}$，即$\frac{12}{S_{△ COD}}=\frac{m}{4}$，解得$S_{△ COD}=\frac{48}{m}$，
则四边形$ABCD$面积为$4 +12 +m +\frac{48}{m}=m +\frac{48}{m} +16$（$m＞0$），
令$a=m$，$b=\frac{48}{m}$，由均值不等式得：
$m +\frac{48}{m} ≥ 2\sqrt{m · \frac{48}{m}}=8\sqrt{3}$，当且仅当$m=\frac{48}{m}$（$m＞0$），即$m=4\sqrt{3}$时，$m+\frac{48}{m}$取最小值$8\sqrt{3}$，故四边形面积最小值为$16 +8\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$；
(2)$2\sqrt{6}-5$；
(3)$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$；
(4)$16+8\sqrt{3}$。
【知识点】
均值不等式，分式运算，三角形面积性质。
【点评】
本题考查均值不等式的灵活应用，涵盖代数变形、几何结合等题型，需掌握均值不等式的适用条件，并能结合其他知识解决最值问题，是基础到中等难度的综合应用。
【难度系数】
0.4
