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例题 (真题·杭州钱塘)某手机专卖店的一张进货单上有如下信息:A款手机进货单价比B款手机多800元,花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同。
(1)A,B两款手机的进货单价分别是多少元?
(2)某周末两天销售单上的数据,如表所示:
A,B两款手机的销售单价分别是多少元?
(3)根据(1)(2)所给的信息,手机专卖店要花费28000元购进A,B两款手机若干部,问有哪几种进货方案?根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高。
拆解剖析
解:(1)设B款手机的进货单价是x元,则A款手机的进货单价是$(x+800)$元,根据题意得$\frac{38400}{x+800}=\frac{28800}{x}$,解得$x=2400$,经检验,$x=2400$是原方程的解,则$2400+800=3200$(元)。答:A款手机的进货单价是3200元,B款手机的进货单价是2400元。
(2)设A款手机的销售单价是a元,B款手机的销售单价是b元。根据题意得$\begin{cases}5a+8b=40100,\\6a+7b=41100,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3700,\\b=2700。\end{cases}$答:A款手机的销售单价是3700元,B款手机的销售单价是2700元。
(3)设购买A款手机m部,B款手机n部。根据题意,得$3200m+2400n=28000$,化简得,$4m+3n=35$,因为m,n都是正整数,所以$\begin{cases}m=2,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=5,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=8,\\n=1,\end{cases}$即有三种进货方案。方案一:购进A款手机2部,B款手机9部,利润是$(3700-3200)×2+(2700-2400)×9=3700$(元);方案二:购进A款手机5部,B款手机5部,利润是$(3700-3200)×5+(2700-2400)×5=4000$(元);方案三:购进A款手机8部,B款手机1部,利润是$(3700-3200)×8+(2700-2400)×1=4300$(元);因为$3700＜4000＜4300$,所以选择方案三获得的总利润最高。
(1)A,B两款手机的进货单价分别是多少元?
(2)某周末两天销售单上的数据,如表所示:
A,B两款手机的销售单价分别是多少元?
(3)根据(1)(2)所给的信息,手机专卖店要花费28000元购进A,B两款手机若干部,问有哪几种进货方案?根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高。
拆解剖析
解:(1)设B款手机的进货单价是x元,则A款手机的进货单价是$(x+800)$元,根据题意得$\frac{38400}{x+800}=\frac{28800}{x}$,解得$x=2400$,经检验,$x=2400$是原方程的解,则$2400+800=3200$(元)。答:A款手机的进货单价是3200元,B款手机的进货单价是2400元。
(2)设A款手机的销售单价是a元,B款手机的销售单价是b元。根据题意得$\begin{cases}5a+8b=40100,\\6a+7b=41100,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3700,\\b=2700。\end{cases}$答:A款手机的销售单价是3700元,B款手机的销售单价是2700元。
(3)设购买A款手机m部,B款手机n部。根据题意,得$3200m+2400n=28000$,化简得,$4m+3n=35$,因为m,n都是正整数,所以$\begin{cases}m=2,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=5,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=8,\\n=1,\end{cases}$即有三种进货方案。方案一:购进A款手机2部,B款手机9部,利润是$(3700-3200)×2+(2700-2400)×9=3700$(元);方案二:购进A款手机5部,B款手机5部,利润是$(3700-3200)×5+(2700-2400)×5=4000$(元);方案三:购进A款手机8部,B款手机1部,利润是$(3700-3200)×8+(2700-2400)×1=4300$(元);因为$3700＜4000＜4300$,所以选择方案三获得的总利润最高。
答案
(1)设B款手机的进货单价是x元,则A款手机的进货单价是$(x+800)$元,根据题意得$\frac{38400}{x+800}=\frac{28800}{x}$,解得$x=2400$,经检验,$x=2400$是原方程的解,则$2400+800=3200$(元)。答:A款手机的进货单价是3200元,B款手机的进货单价是2400元。
(2)设A款手机的销售单价是a元,B款手机的销售单价是b元。根据题意得$\begin{cases}5a+8b=40100,\\6a+7b=41100,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3700,\\b=2700。\end{cases}$答:A款手机的销售单价是3700元,B款手机的销售单价是2700元。
(3)设购买A款手机m部,B款手机n部。根据题意,得$3200m+2400n=28000$,化简得,$4m+3n=35$,因为m,n都是正整数,所以$\begin{cases}m=2,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=5,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=8,\\n=1,\end{cases}$即有三种进货方案。方案一:购进A款手机2部,B款手机9部,利润是$(3700-3200)×2+(2700-2400)×9=3700$(元);方案二:购进A款手机5部,B款手机5部,利润是$(3700-3200)×5+(2700-2400)×5=4000$(元);方案三:购进A款手机8部,B款手机1部,利润是$(3700-3200)×8+(2700-2400)×1=4300$(元);因为$3700＜4000＜4300$,所以选择方案三获得的总利润最高。
(2)设A款手机的销售单价是a元,B款手机的销售单价是b元。根据题意得$\begin{cases}5a+8b=40100,\\6a+7b=41100,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3700,\\b=2700。\end{cases}$答:A款手机的销售单价是3700元,B款手机的销售单价是2700元。
(3)设购买A款手机m部,B款手机n部。根据题意,得$3200m+2400n=28000$,化简得,$4m+3n=35$,因为m,n都是正整数,所以$\begin{cases}m=2,\\n=9\end{cases}$或$\begin{cases}m=5,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=8,\\n=1,\end{cases}$即有三种进货方案。方案一:购进A款手机2部,B款手机9部,利润是$(3700-3200)×2+(2700-2400)×9=3700$(元);方案二:购进A款手机5部,B款手机5部,利润是$(3700-3200)×5+(2700-2400)×5=4000$(元);方案三:购进A款手机8部,B款手机1部,利润是$(3700-3200)×8+(2700-2400)×1=4300$(元);因为$3700＜4000＜4300$,所以选择方案三获得的总利润最高。
解析
【分析】
本题为实际应用类问题，分三小问逐步解决：1. 第(1)问利用“购进A、B两款手机数量相同”的等量关系，设B款进货单价为x元，A款为(x+800)元，根据“数量=总价÷单价”列分式方程，求解后需检验解的合理性；2. 第(2)问根据销售单中两款手机的销售数量与总销售额，设A、B款销售单价分别为a、b元，列二元一次方程组求解；3. 第(3)问根据总进货费用，设购进A款m部、B款n部，列二元一次方程，结合m、n为正整数的条件找出所有可行方案，再计算各方案总利润，比较后确定最高利润的方案。
【解析】
(1)设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是$(x+800)$元，根据题意得：
$\frac{38400}{x+800}=\frac{28800}{x}$
解得：$x=2400$，经检验，$x=2400$是原方程的解，且符合题意。
则A款手机的进货单价为：$2400+800=3200$（元）。
(2)设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，根据题意得方程组：
$\begin{cases}5a+8b=40100\\6a+7b=41100\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3700\\b=2700\end{cases}$
(3)设购买A款手机m部，B款手机n部，根据总进货费用得：
$3200m+2400n=28000$
化简得：$4m+3n=35$
因为m、n均为正整数，所以满足条件的解为：
$\begin{cases}m=2\\n=9\end{cases}$，$\begin{cases}m=5\\n=5\end{cases}$，$\begin{cases}m=8\\n=1\end{cases}$
即有三种进货方案：
方案一：购进A款2部，B款9部，总利润为：$(3700-3200)×2+(2700-2400)×9=3700$（元）；
方案二：购进A款5部，B款5部，总利润为：$(3700-3200)×5+(2700-2400)×5=4000$（元）；
方案三：购进A款8部，B款1部，总利润为：$(3700-3200)×8+(2700-2400)×1=4300$（元）；
因为$3700＜4000＜4300$，所以方案三的总利润最高。
【答案】
(1)A款手机进货单价3200元，B款手机进货单价2400元；
(2)A款手机销售单价3700元，B款手机销售单价2700元；
(3)进货方案有三种：①购进A款2部、B款9部；②购进A款5部、B款5部；③购进A款8部、B款1部；其中购进A款8部、B款1部的方案总利润最高。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合手机销售的实际场景，分三小问依次考查分式方程、二元一次方程组、不定方程整数解的应用，解题关键是准确提取各问中的等量关系，注意分式方程需检验解的合理性，以及整数解的限定条件，整体难度适中，是初中数学常见的实际应用题型。
【难度系数】
0.5
本题为实际应用类问题，分三小问逐步解决：1. 第(1)问利用“购进A、B两款手机数量相同”的等量关系，设B款进货单价为x元，A款为(x+800)元，根据“数量=总价÷单价”列分式方程，求解后需检验解的合理性；2. 第(2)问根据销售单中两款手机的销售数量与总销售额，设A、B款销售单价分别为a、b元，列二元一次方程组求解；3. 第(3)问根据总进货费用，设购进A款m部、B款n部，列二元一次方程，结合m、n为正整数的条件找出所有可行方案，再计算各方案总利润，比较后确定最高利润的方案。
【解析】
(1)设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是$(x+800)$元，根据题意得：
$\frac{38400}{x+800}=\frac{28800}{x}$
解得：$x=2400$，经检验，$x=2400$是原方程的解，且符合题意。
则A款手机的进货单价为：$2400+800=3200$（元）。
(2)设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，根据题意得方程组：
$\begin{cases}5a+8b=40100\\6a+7b=41100\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3700\\b=2700\end{cases}$
(3)设购买A款手机m部，B款手机n部，根据总进货费用得：
$3200m+2400n=28000$
化简得：$4m+3n=35$
因为m、n均为正整数，所以满足条件的解为：
$\begin{cases}m=2\\n=9\end{cases}$，$\begin{cases}m=5\\n=5\end{cases}$，$\begin{cases}m=8\\n=1\end{cases}$
即有三种进货方案：
方案一：购进A款2部，B款9部，总利润为：$(3700-3200)×2+(2700-2400)×9=3700$（元）；
方案二：购进A款5部，B款5部，总利润为：$(3700-3200)×5+(2700-2400)×5=4000$（元）；
方案三：购进A款8部，B款1部，总利润为：$(3700-3200)×8+(2700-2400)×1=4300$（元）；
因为$3700＜4000＜4300$，所以方案三的总利润最高。
【答案】
(1)A款手机进货单价3200元，B款手机进货单价2400元；
(2)A款手机销售单价3700元，B款手机销售单价2700元；
(3)进货方案有三种：①购进A款2部、B款9部；②购进A款5部、B款5部；③购进A款8部、B款1部；其中购进A款8部、B款1部的方案总利润最高。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合手机销售的实际场景，分三小问依次考查分式方程、二元一次方程组、不定方程整数解的应用，解题关键是准确提取各问中的等量关系，注意分式方程需检验解的合理性，以及整数解的限定条件，整体难度适中，是初中数学常见的实际应用题型。
【难度系数】
0.5
