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【典例1】【问题呈现】借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为$a,b$的两个正方形和边长为$a,b$的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为$a,b$的四个长方形拼成的一个大正方形，图4是用上底为$b$，下底为$a$的4个等腰梯形拼成两个图形，上述4个图形可以推导出$a,b$关系式：
图1：
图3：
【解决问题】
(1)直接写出结果：
①若$mn=4,m^2+n^2=25$，则$(m+n)^2=$
②若$x+y=6,x^2+y^2=28$，则$xy=$
(2)若$3a+2b=8,ab=2$，求$a,b$.
【拓展延伸】如图5，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB,BC$为边作正方形$ABFG$和正方形$BCDE$.若$△ ABC$的面积为$6,CF=1$，求$(AB+BC)^2$的值.
图1：
$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
； 图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
；图3：
$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
； 图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
.【解决问题】
(1)直接写出结果：
①若$mn=4,m^2+n^2=25$，则$(m+n)^2=$
33
；②若$x+y=6,x^2+y^2=28$，则$xy=$
4
.(2)若$3a+2b=8,ab=2$，求$a,b$.
【拓展延伸】如图5，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边$AB,BC$为边作正方形$ABFG$和正方形$BCDE$.若$△ ABC$的面积为$6,CF=1$，求$(AB+BC)^2$的值.
答案
图1：$a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
图3：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
(1)①33 ②4
(2)解：$(3a+2b)^2=64$，
$9a^2+4b^2=40$，
$\therefore (3a-2b)^2=16$，
$\therefore 3a-2b=4$ 或$-4$，
$\therefore a=2,b=1$ 或 $a=\frac{2}{3},b=3$；
【拓展延伸】设$BC=x,AB=y$，
$\frac{1}{2}xy=6,xy=12$，
$(y-x)^2=1,\therefore x^2+y^2-2xy=1$，
$x^2+y^2=25$，
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=49$.
图2：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
图3：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$
图4：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
(1)①33 ②4
(2)解：$(3a+2b)^2=64$，
$9a^2+4b^2=40$，
$\therefore (3a-2b)^2=16$，
$\therefore 3a-2b=4$ 或$-4$，
$\therefore a=2,b=1$ 或 $a=\frac{2}{3},b=3$；
【拓展延伸】设$BC=x,AB=y$，
$\frac{1}{2}xy=6,xy=12$，
$(y-x)^2=1,\therefore x^2+y^2-2xy=1$，
$x^2+y^2=25$，
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=49$.
【典例2】(2026·江汉)如图,已知E,F分别是正方形ABCD的边AD,DC上的点,且AE=2,CF=5,长方形DEMF的面积是20,分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形DHGF,直接写出阴影部分的面积.
答案
【典例2】解：设$MF=x,DF=y$，
$x+2=y+5,\therefore x-y=3$，
$\therefore x^2+y^2-2xy=9$，
又$\because xy=20,\therefore x^2+y^2=49$，
$\therefore (x+y)^2=49+40=89$，
$\therefore S_{阴}=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=3\sqrt{89}$.
$x+2=y+5,\therefore x-y=3$，
$\therefore x^2+y^2-2xy=9$，
又$\because xy=20,\therefore x^2+y^2=49$，
$\therefore (x+y)^2=49+40=89$，
$\therefore S_{阴}=x^2-y^2=(x+y)(x-y)=3\sqrt{89}$.
