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通方法 与乘方有关的规律探究
（1）计算下面两组算式：①$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；②$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$。
（2）根据以上计算结果猜想：$(ab)^3$等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当$n$为正整数时，$(ab)^n$等于什么？请你利用乘方的意义说明理由。
（4）利用上述结论，求$(-4)^{2022}×0.25^{2023}$的值。
【解答】（1）①$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$；
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$。
（2）$(ab)^3=a^3b^3$。
（3）$(ab)^n=a^nb^n$，理由如下：$(ab)^n=\underbrace{ab·ab·\dots·ab}_{n个ab相乘}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a相乘}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b相乘}=a^nb^n$。
（4）$(-4)^{2022}×0.25^{2023}=(-4)^{2022}×0.25^{2022}×0.25=(-4×0.25)^{2022}×0.25=(-1)^{2022}×0.25=0.25$。
（1）计算下面两组算式：①$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；②$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$。
（2）根据以上计算结果猜想：$(ab)^3$等于什么？（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当$n$为正整数时，$(ab)^n$等于什么？请你利用乘方的意义说明理由。
（4）利用上述结论，求$(-4)^{2022}×0.25^{2023}$的值。
【解答】（1）①$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$；
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$。
（2）$(ab)^3=a^3b^3$。
（3）$(ab)^n=a^nb^n$，理由如下：$(ab)^n=\underbrace{ab·ab·\dots·ab}_{n个ab相乘}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a相乘}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b相乘}=a^nb^n$。
（4）$(-4)^{2022}×0.25^{2023}=(-4)^{2022}×0.25^{2022}×0.25=(-4×0.25)^{2022}×0.25=(-1)^{2022}×0.25=0.25$。
答案
（1）①$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$；
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$。
（2）$(ab)^3=a^3b^3$。
（3）$(ab)^n=a^nb^n$，理由如下：$(ab)^n=\underbrace{ab·ab·\dots·ab}_{n个ab相乘}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a相乘}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b相乘}=a^nb^n$。
（4）$(-4)^{2022}×0.25^{2023}=(-4)^{2022}×0.25^{2022}×0.25=(-4×0.25)^{2022}×0.25=(-1)^{2022}×0.25=0.25$。
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$。
（2）$(ab)^3=a^3b^3$。
（3）$(ab)^n=a^nb^n$，理由如下：$(ab)^n=\underbrace{ab·ab·\dots·ab}_{n个ab相乘}=\underbrace{a·a·\dots·a}_{n个a相乘}·\underbrace{b·b·\dots·b}_{n个b相乘}=a^nb^n$。
（4）$(-4)^{2022}×0.25^{2023}=(-4)^{2022}×0.25^{2022}×0.25=(-4×0.25)^{2022}×0.25=(-1)^{2022}×0.25=0.25$。
观察下列等式.
第一个等式：$1-\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；第二个等式：$1-\frac{1}{3^2}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；第三个等式：$1-\frac{1}{4^2}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；….
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：
（2）请写出第$n$个等式：
（3）计算：$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×···×(1-\frac{1}{2023^2})×(1-\frac{1}{2024^2})$.
【解答】（1）按上述规律，第六个等式为$1-\frac{1}{7^2}=\frac{6}{7}×\frac{8}{7}$.
（2）由规律可得，第$n$个等式为$1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}·\frac{n+2}{n+1}$.
（3）原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}=\frac{2025}{4048}$.
第一个等式：$1-\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$；第二个等式：$1-\frac{1}{3^2}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$；第三个等式：$1-\frac{1}{4^2}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$；….
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：
$1-\frac{1}{7^2}=\frac{6}{7}×\frac{8}{7}$
；（2）请写出第$n$个等式：
$1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}·\frac{n+2}{n+1}$
；（3）计算：$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×···×(1-\frac{1}{2023^2})×(1-\frac{1}{2024^2})$.
【解答】（1）按上述规律，第六个等式为$1-\frac{1}{7^2}=\frac{6}{7}×\frac{8}{7}$.
（2）由规律可得，第$n$个等式为$1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}·\frac{n+2}{n+1}$.
（3）原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}=\frac{2025}{4048}$.
答案
（1）$1-\frac{1}{7^2}=\frac{6}{7}×\frac{8}{7}$
（2）$1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}·\frac{n+2}{n+1}$
（3）原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}=\frac{2025}{4048}$.
（2）$1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}·\frac{n+2}{n+1}$
（3）原式$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023}×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}=\frac{2025}{4048}$.
