6.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正方形$OABC$的边$OA$在$x$轴上,点$B$在第一象限。点$D$是对角线$OB$上的动点,作$DE ⊥ CD$交$x$轴于点$E$,作$∠ CDE$的平分线$DF$交$y$轴于点$F$。点$A$坐标为$(6,0)$。
(1)若点$D$的横坐标为$3$,求点$F$的纵坐标;
(2)若点$D$的横坐标为$4$,求点$E$的坐标;
(3)连结$EF$,当$△ OEF$是含$30°$的直角三角形,直接写出点$D$的坐标。

浙江期末精选卷·八年级(下)数学 14-6

6. (1)点F的纵坐标为3；
(2)$E(2,0)$；
(3)$D(9-3\sqrt{3},9-3\sqrt{3})$或$D(3+\sqrt{3},3+\sqrt{3})$或$D(3\sqrt{3}-3,3\sqrt{3}-3)$或$D(3-\sqrt{3},3-\sqrt{3})$。

【分析】
正方形OABC边长为6，对角线OB解析式为y=x，故设点D坐标为(a,a)（0≤a≤6）。通过作垂线构造全等三角形，可推导得E点坐标为(2a-6,0)，F点坐标为(0, (6a -a²)/3)。△OEF为直角三角形（直角在原点O），结合“含30°的直角三角形”的性质，分两种锐角情况建立方程，求解a后得到D点坐标。
【解析】
(1) 正方形OABC中，OA=OC=6，点D横坐标为3，故D(3,3)。过D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，得DM=DN=3，∠CDN=∠EDM，可证△CDN≌△EDM（ASA），得E(0,0)。DF平分∠CDE（∠CDE=90°），故△CDF≌△EDF（SAS），得CF=EF。设F(0,f)，则6-f=f，解得f=3，即F的纵坐标为3。
(2) 点D横坐标为4，故D(4,4)。CD斜率为-1/2，因DE⊥CD，DE斜率为2，DE直线方程为y=2x-4，令y=0得x=2，故E(2,0)。
(3) 设D(a,a)，得E(2a-6,0)，F(0, (6a -a²)/3)。△OEF为直角三角形，分两种情况：
① 当∠OEF=30°时，tan30°=OF/OE，解得a=3+√3或a=3-√3；
② 当∠OFE=30°时，tan30°=OE/OF，解得a=9-3√3或a=3√3-3；
综上，D点坐标为上述四个解。
【答案】
(1) 3；(2) (2,0)；(3) (9-3√3,9-3√3)、(3+√3,3+√3)、(3√3-3,3√3-3)、(3-√3,3-√3)
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、直角三角形性质
【点评】
本题结合坐标与几何性质，通过全等推导点坐标，利用直角三角形特殊角度分情况求解，综合性较强，需注意分类讨论。
【难度系数】
0.4