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6.定义新运算“☆”：$a☆b=\sqrt{ab+1}$，则$2☆(3☆5)=$
3
.答案
6.3
解析
【分析】
这是定义新运算类题目，解题时首先要明确新运算“☆”的规则：$a☆b=\sqrt{ab+1}$，即两个数进行☆运算，结果是两数乘积加1的算术平方根。运算时遵循常规四则运算顺序，有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算，分步代入规则计算即可。
【解析】
第一步：先计算括号内的$3☆5$，将$a=3$、$b=5$代入新运算公式：
$3☆5=\sqrt{3×5 +1}=\sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4$
第二步：计算$2☆4$，此时将$a=2$、$b=4$代入新运算公式：
$2☆4=\sqrt{2×4 +1}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
定义新运算，实数运算，二次根式化简
【点评】
本题核心考查对新定义运算规则的理解和运算顺序的掌握，严格按照“先括号内、后括号外”的顺序代入规则计算即可，只要理解新运算含义、计算仔细就能得分。
【难度系数】
0.8
这是定义新运算类题目，解题时首先要明确新运算“☆”的规则：$a☆b=\sqrt{ab+1}$，即两个数进行☆运算，结果是两数乘积加1的算术平方根。运算时遵循常规四则运算顺序，有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算，分步代入规则计算即可。
【解析】
第一步：先计算括号内的$3☆5$，将$a=3$、$b=5$代入新运算公式：
$3☆5=\sqrt{3×5 +1}=\sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4$
第二步：计算$2☆4$，此时将$a=2$、$b=4$代入新运算公式：
$2☆4=\sqrt{2×4 +1}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
定义新运算，实数运算，二次根式化简
【点评】
本题核心考查对新定义运算规则的理解和运算顺序的掌握，严格按照“先括号内、后括号外”的顺序代入规则计算即可，只要理解新运算含义、计算仔细就能得分。
【难度系数】
0.8
7.如图，一根细线上端固定，下端系有一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，那么来回摆动一次所用的时间$t$(单位:s)与细线的长度$l$(单位:m)之间满足关系式$t=2π\sqrt{\frac{l}{10}}$。当细线的长度为0.1m，即$l=0.1$时，用上述关系式可得：$t=2×π×\sqrt{\frac{0.1}{10}}\approx0.6$，即小重物来回摆动一次大约需要0.6s。请你计算，当细线的长度为0.5m时，小重物来回摆动一次所用的时间(精确到0.1s)。
答案
7.1.4s
解析
【分析】
本题为代数式求值类题目，解题思路清晰：首先明确时间$ t $与细线长度$ l $的对应关系式，将已知的$ l=0.5\mathrm{m} $代入关系式，按照运算顺序，先计算根号内的除法，再求算术平方根，最后依次完成乘法运算，将结果按要求精确到0.1s即可。
【解析】
解：已知来回摆动一次的时间满足关系式$ t=2π\sqrt{\frac{l}{10}} $，将$ l=0.5\mathrm{m} $代入该式：
1. 先计算根号内的部分：$\frac{l}{10}=\frac{0.5}{10}=0.05$
2. 计算算术平方根：$\sqrt{0.05}\approx0.2236$
3. 代入计算$ t $的值（$π$取3.14）：
$ t=2×3.14×0.2236\approx6.28×0.2236\approx1.4 $（结果精确到0.1s）
【答案】
1.4s
【知识点】
代数式求值；实数的运算；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代入求值的方法和实数的运算规则，只要准确代入数值、按运算顺序计算，注意近似值的取舍要求，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题为代数式求值类题目，解题思路清晰：首先明确时间$ t $与细线长度$ l $的对应关系式，将已知的$ l=0.5\mathrm{m} $代入关系式，按照运算顺序，先计算根号内的除法，再求算术平方根，最后依次完成乘法运算，将结果按要求精确到0.1s即可。
【解析】
解：已知来回摆动一次的时间满足关系式$ t=2π\sqrt{\frac{l}{10}} $，将$ l=0.5\mathrm{m} $代入该式：
1. 先计算根号内的部分：$\frac{l}{10}=\frac{0.5}{10}=0.05$
2. 计算算术平方根：$\sqrt{0.05}\approx0.2236$
3. 代入计算$ t $的值（$π$取3.14）：
$ t=2×3.14×0.2236\approx6.28×0.2236\approx1.4 $（结果精确到0.1s）
【答案】
1.4s
【知识点】
代数式求值；实数的运算；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查代入求值的方法和实数的运算规则，只要准确代入数值、按运算顺序计算，注意近似值的取舍要求，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8.如图,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为11和16.
(1)小正方形边长的值在
(2)求出图中阴影部分的面积.
(1)小正方形边长的值在
3
和4
这两个连续整数之间.(2)求出图中阴影部分的面积.
答案
8.(1)3 4 (2)$4\sqrt{11}-11$
解析
【分析】
(1) 小正方形的边长是其面积的算术平方根即$\sqrt{11}$，要判断它所在的连续整数区间，只需找到两个相邻整数，它们的平方分别小于11、大于11即可。
(2) 先分别求出两个正方形的边长，观察图形可将两个阴影部分拼接为一个长方形，该长方形的长为小正方形的边长，宽为大正方形边长与小正方形边长的差，再用长方形面积公式计算即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
(1) 已知小正方形面积为11，因此小正方形的边长为$\sqrt{11}$。
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，因此小正方形边长的值在3和4两个连续整数之间。
(2) 第一步：求两个正方形的边长
大正方形面积为16，因此大正方形的边长为$\sqrt{16}=4$；
小正方形面积为11，因此小正方形的边长为$\sqrt{11}$。
第二步：计算阴影部分面积
将两块阴影部分拼接可得一个长方形，长方形的长为$\sqrt{11}$，宽为$4-\sqrt{11}$，
所以阴影部分面积$S=\sqrt{11}×(4-\sqrt{11})=4\sqrt{11}-(\sqrt{11})^2=4\sqrt{11}-11$。
【答案】
(1)3，4；(2)$4\sqrt{11}-11$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；割补法求面积
【点评】
本题结合图形考查算术平方根的相关应用，既需要掌握无理数的估算方法，也需要通过观察图形特点用割补法简化面积计算，是典型的数形结合基础题。
【难度系数】
0.75
(1) 小正方形的边长是其面积的算术平方根即$\sqrt{11}$，要判断它所在的连续整数区间，只需找到两个相邻整数，它们的平方分别小于11、大于11即可。
(2) 先分别求出两个正方形的边长，观察图形可将两个阴影部分拼接为一个长方形，该长方形的长为小正方形的边长，宽为大正方形边长与小正方形边长的差，再用长方形面积公式计算即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
(1) 已知小正方形面积为11，因此小正方形的边长为$\sqrt{11}$。
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，因此小正方形边长的值在3和4两个连续整数之间。
(2) 第一步：求两个正方形的边长
大正方形面积为16，因此大正方形的边长为$\sqrt{16}=4$；
小正方形面积为11，因此小正方形的边长为$\sqrt{11}$。
第二步：计算阴影部分面积
将两块阴影部分拼接可得一个长方形，长方形的长为$\sqrt{11}$，宽为$4-\sqrt{11}$，
所以阴影部分面积$S=\sqrt{11}×(4-\sqrt{11})=4\sqrt{11}-(\sqrt{11})^2=4\sqrt{11}-11$。
【答案】
(1)3，4；(2)$4\sqrt{11}-11$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算；割补法求面积
【点评】
本题结合图形考查算术平方根的相关应用，既需要掌握无理数的估算方法，也需要通过观察图形特点用割补法简化面积计算，是典型的数形结合基础题。
【难度系数】
0.75
★9.有些正数的算术平方根不能直接求得，如$\sqrt{5}$，但有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表：
(1)表格中$x=$
(2)从表格中探究$n$与$\sqrt{n}$数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$，则$\sqrt{20600}\approx$
②已知$\sqrt{3.3489}=1.83$，若$\sqrt{x}=0.183$，则$x=$
(1)表格中$x=$
0.4
；$y=$40
.(2)从表格中探究$n$与$\sqrt{n}$数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$，则$\sqrt{20600}\approx$
143.5
；②已知$\sqrt{3.3489}=1.83$，若$\sqrt{x}=0.183$，则$x=$
0.033489
.答案
9.(1)0.4 40 (2)①143.5 ②0.033489
解析
【分析】
解决这道题的核心是先探究被开方数和它的算术平方根之间的小数点移动规律。首先第一问可以直接根据算术平方根的定义计算x和y，也可以从已知的几组数找规律：观察已知的√16=4、√0.0016=0.04，能发现被开方数的小数点每向左/右移动2位，算术平方根的小数点就向同方向移动1位，用这个规律也能算出x、y的值；第二问直接套用总结出的规律即可快速求解。
【解析】
(1) 求x：因为$0.4^2=0.16$，根据算术平方根的定义，可得$x=\sqrt{0.16}=0.4$；
求y：因为$40^2=1600$，同理可得$y=\sqrt{1600}=40$。
(2) 总结规律：观察表格可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
① 已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$，20600是将2.06的小数点向右移动了4位，所以算术平方根的小数点要向右移动2位，即$\sqrt{20600}\approx1.435×100=143.5$；
② 已知$\sqrt{3.3489}=1.83$，现在算术平方根0.183是将1.83的小数点向左移动了1位，所以被开方数x要将3.3489的小数点向左移动2位，即$x=3.3489÷100=0.033489$。
【答案】
(1)0.4；40
(2)①143.5；②0.033489
【知识点】
算术平方根的计算；算术平方根的变化规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查对算术平方根概念的理解和归纳总结能力，解题的关键是通过表格数据总结出被开方数与算术平方根的小数点移动的对应关系，掌握该规律可以快速求解同类算术平方根的估算问题。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是先探究被开方数和它的算术平方根之间的小数点移动规律。首先第一问可以直接根据算术平方根的定义计算x和y，也可以从已知的几组数找规律：观察已知的√16=4、√0.0016=0.04，能发现被开方数的小数点每向左/右移动2位，算术平方根的小数点就向同方向移动1位，用这个规律也能算出x、y的值；第二问直接套用总结出的规律即可快速求解。
【解析】
(1) 求x：因为$0.4^2=0.16$，根据算术平方根的定义，可得$x=\sqrt{0.16}=0.4$；
求y：因为$40^2=1600$，同理可得$y=\sqrt{1600}=40$。
(2) 总结规律：观察表格可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位。
① 已知$\sqrt{2.06}\approx1.435$，20600是将2.06的小数点向右移动了4位，所以算术平方根的小数点要向右移动2位，即$\sqrt{20600}\approx1.435×100=143.5$；
② 已知$\sqrt{3.3489}=1.83$，现在算术平方根0.183是将1.83的小数点向左移动了1位，所以被开方数x要将3.3489的小数点向左移动2位，即$x=3.3489÷100=0.033489$。
【答案】
(1)0.4；40
(2)①143.5；②0.033489
【知识点】
算术平方根的计算；算术平方根的变化规律
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查对算术平方根概念的理解和归纳总结能力，解题的关键是通过表格数据总结出被开方数与算术平方根的小数点移动的对应关系，掌握该规律可以快速求解同类算术平方根的估算问题。
【难度系数】
0.7
