3. (2026·西安期中)如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$.直线$y=x+3$经过点$B,C$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)$P$是直线$BC$上方的抛物线上一动点(不与点$B,C$重合),过点$P$作$x$轴的垂线,垂足为$F$,交直线$BC$于点$D$,作$PE⊥BC$于点$E$.设点$P$的横坐标为$m$,连接$PB$,线段$PD$把$△ PEB$分成两个三角形,若这两个三角形的面积比为$4:5$,求出$m$的值.

(1)$\because$ 直线 $y=x+3$ 经过点 $B,C$,$\therefore B(-3,0)$,$C(0,3)$.将点 $B(-3,0)$,$C(0,3)$ 代入 $y=-x^2+bx+c$ 得,$\begin{cases} -9-3b+c=0,\\ c=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=-2,\\ c=3, \end{cases}$$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2-2x+3$.
(2),过点 $E$ 作 $EM⊥ PD$ 于点 $M$,
$\because$ 点 $P$ 的横坐标为 $m$,$\therefore$ 点 $P(m,-m^2-2m+3)$($-3＜m＜0$),点 $F(m,0)$,点 $D(m,m+3)$,$\therefore PD=-m^2-2m+3-m-3=-m^2-3m$,$BF = m + 3$.$\because OC = OB$,$\therefore ∠ ABC = 45°$, 则 $∠ BDF = ∠ EDP = 45°$,$\therefore △ DEP$ 为等腰直角三角形,$\therefore EM=\dfrac{1}{2}PD=\dfrac{1}{2}(-m^2-3m)$.$\because S_{△ EPD}=\dfrac{1}{2}PD· EM$,$S_{△ BPD}=\dfrac{1}{2}PD× BF$,
$\therefore \dfrac{S_{△ EPD}}{S_{△ BPD}}=\dfrac{EM}{BF}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(-m^2-3m)}{m+3}=\dfrac{-m}{2}$. ①当 $\dfrac{S_{△ EPD}}{S_{△ BPD}}=\dfrac{-m}{2}=\dfrac{4}{5}$时,$m=-\dfrac{8}{5}$; ②当 $\dfrac{S_{△ EPD}}{S_{△ BPD}}=\dfrac{-m}{2}=\dfrac{5}{4}$时,$m=-\dfrac{5}{2}$. 综上所述,$m=-\dfrac{8}{5}$或 $m=-\dfrac{5}{2}$.

4. (2026·成都期中)如图,抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2 -3$ 与直线 $y=kx$ 相交于 $A(-6,6)$ 和 $B$ 两点.
(1)求 $k$ 的值及点 $B$ 的坐标；
(2)若 $P$ 是位于抛物线对称轴左侧的抛物线上的一点,且点 $P$ 在直线 $AB$ 的下方,过点 $P$ 作 $PM ⊥ y$ 轴于点 $M$, $PN // y$ 轴交 $AB$ 于点 $N$, 当 $\frac{PM}{PN}=\frac{4}{3}$ 时,求点 $P$ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,经过原点 $O$ 的直线 $CD$ 交抛物线于 $C,D$ 两点,若 $△ PCD$ 的面积与 $△ BCD$ 的面积相等,求 $CD$ 的长.

(1)$\because$ 直线 $y=kx$ 过点 $A(-6,6)$,$\therefore 6=-6k$,解得 $k=-1$,$\therefore y=-x$,由$\begin{cases} y=-x,\\ y=\dfrac{1}{4}x^2-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-6,\\ y=6 \end{cases}$,或 $\begin{cases} x=2,\\ y=-2, \end{cases}$$\therefore B(2,-2)$.
(2)设 $P(t,\dfrac{1}{4}t^2-3)(-6＜t＜0)$,
①,$\because PM ⊥ y$ 轴于点 $M$,$PN // y$ 轴交 $AB$ 于点 $N$,$\therefore PM=-t$,$PN=-t-(\dfrac{1}{4}t^2-3)=-\dfrac{1}{4}t^2-t+3$.$\because \dfrac{PM}{PN}=\dfrac{4}{3}$,$\therefore \dfrac{-t}{-\dfrac{1}{4}t^2-t+3}=\dfrac{4}{3}$,整理得 $t^2+t-12=0$,解得 $t_1=-4$,$t_2=3$(舍去),$\dfrac{1}{4}t^2-3=\dfrac{1}{4}×(-4)^2-3=1$,$\therefore P(-4,1)$.
(3)②,当 $PB// CD$ 时,$△ PCD$ 的面积与 $△ BCD$ 的面积相等,
设直线 $PB$ 的表达式为 $y=kx+b$,$\because P(-4,1)$,$B(2,-2)$,$\therefore \begin{cases} -4k+b=1,\\ 2k+b=-2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2},\\ b=-1, \end{cases}$$\therefore$ 直线 $PB$ 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x-1$,$\therefore$ 直线 $CD$ 的表达式为 $y = -\dfrac{1}{2}x$. 联立$\begin{cases} y=-\dfrac{1}{2}x,\\ y=\dfrac{1}{4}x^2-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-1+\sqrt{13},\\ y=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=-1-\sqrt{13},\\ y=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}, \end{cases}$$\therefore D(-1+\sqrt{13},\dfrac{1-\sqrt{13}}{2})$,$C(-1-\sqrt{13},\dfrac{1+\sqrt{13}}{2})$,$\therefore CD=\sqrt{(-1+\sqrt{13}+1+\sqrt{13})^2+(\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}-\dfrac{1+\sqrt{13}}{2})^2}=\sqrt{65}$.当 $CD$ 过 $PB$ 的中点时,$△ PCD$ 的面积与 $△ BCD$ 的面积相等,③,
$\because P(-4,1)$,$B(2,-2)$,$\therefore PB$ 的中点为 $(-1,-\dfrac{1}{2})$,$\therefore CD$ 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x$,由 $\begin{cases} y=\dfrac{1}{2}x,\\ y=\dfrac{1}{4}x^2-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1+\sqrt{13},\\ y=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=1-\sqrt{13},\\ y=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}, \end{cases}$$\therefore D(1+\sqrt{13},\dfrac{1+\sqrt{13}}{2})$,$C(1-\sqrt{13},\dfrac{1-\sqrt{13}}{2})$,
$\therefore CD = \sqrt{(1+\sqrt{13}-1+\sqrt{13})^2+(\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{13}}{2})^2}=\sqrt{65}$.综上,$CD$ 的长为 $\sqrt{65}$.