1. 如图,在平面直角坐标系中,等腰直角$△ ABC$,$AB ⊥ BC$,$AB=BC$,点$C$在第一象限.已知点$A(m,0)$,$B(0,n)$,$n＞m＞0$,点$P$在线段$OB$上,且$OP=OA$.
(1)求点$C$的坐标(用含$m,n$的式子表示);
(2)求证:$AP ⊥ CP$.

(1)过点 C 作 CD ⊥ y 轴于点 D,
∴ ∠CDB = 90°,
∴ ∠DCB+∠DBC = 90°,且∠ABO+∠CBD= 90°,
∴ ∠DCB=∠ABO,且 AB=BC,∠CDB= ∠AOB = 90°,
∴ △CDB ≅ △BOA (AAS),
∴ BO=CD=n,AO=BD=m,
∴ OD = m + n,
∴ 点C的坐标为(n,m+n).
(2)
∵ OP=OA=m,OD=m+n,
∴ DP=n=DC,
∠OPA=45°,
∴ ∠DPC=45°,
∴ ∠APC= 90°,
∴ AP⊥CP.

2. 如图,在直角坐标系中,△ABC为直角三角形,AB⊥x轴,BC⊥y轴,∠B=90°,点B的坐标为(1,3),将△ABC沿AC翻折,点B落在点D位置,AD交y轴于点E,求点D的坐标.

过点 D 作 DH ⊥ OC 于点 H.
∵ 点 B 的坐标为(1,3),
∴ AO=1,AB=3,根据折叠可知,
CD=CB=OA=1.
∵ ∠EDC=∠AOE=90°,∠DEC= ∠AEO,
∴ △CDE ≅ △AOE (AAS),
∴ OE=DE,
设 OE=x,那么 CE=3-x,DE=x,
∴ 在Rt△DCE中,CE²=DE²+CD²,
∴ (3-x)²=x²+1²,
∴ x=4/3,
∴ CE=5/3,DE=4/3.又
∵ DH⊥CE,
∴ 1/2 CE×DH = 1/2 CD×DE,
∴ DH=(CD·DE)/CE=4/5,
∴ 在Rt△CDH中,CH=√(CD²-DH²)=√(1²-(4/5)²)=3/5,
∴ OH=3-3/5=12/5.
∵ 点 D 在第二象限,
∴ 点 D 的坐标为(-4/5,12/5).

3. 在平面直角坐标系中，点A(0,6)，射线OQ与y轴的正半轴的夹角为45°，点B是射线OQ上的动点.
(1)如图①，当线段AB的值最小时，求点B的坐标；
(2)如图②，CA=CB，且AC⊥BC，CD//y轴交射线OQ于点D，且CD=2，求点C的坐标.

(1)过点 B 作 BN ⊥ OA 于点 N.如图①,当 AB ⊥ OQ 时,线段 AB 的值最小.
∵ ∠AOB=45°,
∴ ∠OAB=90°-45°=45°.
∴ ∠OAB=∠AOB,
∴ OB=AB.
∵ BN ⊥ OA,
∴ ON=1/2 OA=3.
∵ ∠NBO=90°-45°=45°,
∴ ∠NBO=∠AOB,
∴ ON=NB=3,
∴ 点 B 的坐标为(3,3).

(2)设点 C 的坐标为(m,n),如图②,过点 C 作 MH 平行于x轴,分别交 y 轴,射线 OQ 于点 M,H,过点 B 作 BN ⊥ MH,交MH 的延长线于点 N.
∵ AC ⊥ CB,
∴ ∠NCB+∠ACM=180°-90°=90°.
∵ ∠CAM+∠ACM=90°,
∴ ∠CAM=∠NCB. 在△CAM和△BCN 中,
$\begin{cases} ∠CMA=∠BNC, \\ ∠CAM=∠BCN, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴ △CAM ≅ △BCN (AAS),
∴ MC=NB=m,MA=NC=6-n.
∵ CD//y轴,
∴ ∠AOQ=∠CDH=45°,
∴ △CDH 是等腰直角三角形,
∴ CH=DC=2,
∴ NH=6-n-2=4-n.同理可得,△BNH 与△DKO 都是等腰直角三角形.
∴ NB=NH,DK=OK,
∴ m=4-n,m=n-2,
∴ m=1,n=3,
∴ 点 C的坐标为(1,3).