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8.【教材P111习题T11变式】观察下图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若$(x+a)(x+b)=x^2 -9x +14$，则a，b的值可能分别是（
A.$-2,-7$
B.$-2,7$
C.$2,-7$
D.$2,7$
A
）A.$-2,-7$
B.$-2,7$
C.$2,-7$
D.$2,7$
答案
8. A
解析
【分析】
首先观察给出的两个多项式乘法运算例子，总结$(x+a)(x+b)$的展开规律：展开后二次项系数为1，一次项系数是$a$与$b$的和，常数项是$a$与$b$的乘积。接下来将题干给出的展开式和规律对应，得到$a$、$b$的和与乘积的取值，再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则可得：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
结合题意$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$，对应系数相等可得：
$\begin{cases}a+b=-9\\ab=14\end{cases}$
逐一验证选项：
A选项：$a=-2,b=-7$时，$a+b=-2+(-7)=-9$，$ab=(-2)×(-7)=14$，满足条件；
B选项：$a=-2,b=7$时，$a+b=-2+7=5≠-9$，不满足；
C选项：$a=2,b=-7$时，$a+b=2+(-7)=-5≠-9$，不满足；
D选项：$a=2,b=7$时，$a+b=2+7=9≠-9$，不满足。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；等式恒等条件
【点评】
本题是规律应用型题目，需要先从示例中总结出$(x+p)(x+q)$型多项式乘法的展开规律，再利用系数对应关系求解，熟练掌握该规律能大幅提升此类题目的解题效率，也为后续因式分解的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的两个多项式乘法运算例子，总结$(x+a)(x+b)$的展开规律：展开后二次项系数为1，一次项系数是$a$与$b$的和，常数项是$a$与$b$的乘积。接下来将题干给出的展开式和规律对应，得到$a$、$b$的和与乘积的取值，再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则可得：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
结合题意$(x+a)(x+b)=x^2-9x+14$，对应系数相等可得：
$\begin{cases}a+b=-9\\ab=14\end{cases}$
逐一验证选项：
A选项：$a=-2,b=-7$时，$a+b=-2+(-7)=-9$，$ab=(-2)×(-7)=14$，满足条件；
B选项：$a=-2,b=7$时，$a+b=-2+7=5≠-9$，不满足；
C选项：$a=2,b=-7$时，$a+b=2+(-7)=-5≠-9$，不满足；
D选项：$a=2,b=7$时，$a+b=2+7=9≠-9$，不满足。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；等式恒等条件
【点评】
本题是规律应用型题目，需要先从示例中总结出$(x+p)(x+q)$型多项式乘法的展开规律，再利用系数对应关系求解，熟练掌握该规律能大幅提升此类题目的解题效率，也为后续因式分解的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.8
9.有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片.若要拼一个长为$(3a+2b)$、宽为$(2a+b)$的大长方形,则需要C类卡片的张数为 (
A.3
B.4
C.6
D.7
D
)A.3
B.4
C.6
D.7
答案
9. D
解析
【分析】
要解决卡片拼接问题，首先明确拼接前后图形总面积相等。先分别求出三类卡片的面积，再计算大长方形的面积，将大长方形面积展开为整式形式后，其中ab项的系数就是需要C类卡片的张数（因为C类卡片面积为ab，每张对应1个ab单位的面积）。
【解析】
首先计算三类卡片的面积：
A类正方形面积：$S_A = a · a = a^2$
B类正方形面积：$S_B = b · b = b^2$
C类长方形面积：$S_C = a · b = ab$
再计算长为$(3a+2b)$、宽为$(2a+b)$的大长方形面积：
$\begin{aligned}S_{大长方形}&=(3a+2b)(2a+b)\\&=3a·2a + 3a· b + 2b·2a + 2b· b\\&=6a^2 + 3ab + 4ab + 2b^2\\&=6a^2 + 7ab + 2b^2\end{aligned}$
展开式中ab项的系数为7，即需要C类卡片7张。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；面积等量关系
【点评】
本题结合图形拼接考查整式乘法的应用，核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，将图形问题转化为整式乘法计算问题，通过多项式展开后对应项的系数确定卡片数量，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
要解决卡片拼接问题，首先明确拼接前后图形总面积相等。先分别求出三类卡片的面积，再计算大长方形的面积，将大长方形面积展开为整式形式后，其中ab项的系数就是需要C类卡片的张数（因为C类卡片面积为ab，每张对应1个ab单位的面积）。
【解析】
首先计算三类卡片的面积：
A类正方形面积：$S_A = a · a = a^2$
B类正方形面积：$S_B = b · b = b^2$
C类长方形面积：$S_C = a · b = ab$
再计算长为$(3a+2b)$、宽为$(2a+b)$的大长方形面积：
$\begin{aligned}S_{大长方形}&=(3a+2b)(2a+b)\\&=3a·2a + 3a· b + 2b·2a + 2b· b\\&=6a^2 + 3ab + 4ab + 2b^2\\&=6a^2 + 7ab + 2b^2\end{aligned}$
展开式中ab项的系数为7，即需要C类卡片7张。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；面积等量关系
【点评】
本题结合图形拼接考查整式乘法的应用，核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，将图形问题转化为整式乘法计算问题，通过多项式展开后对应项的系数确定卡片数量，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
10.【教材P106“问题2”变式】如图为某广场上一片长为$(3a+2b)$米，宽为$(a+b)$米的空地，为了美观，打算将长为$3a$米，宽为$a$米的长方形区域进行绿化，空白区域改造成人行道.
(1)求人行道的面积；
(2)当$a=4,b=2$时，求人行道的面积.
(1)求人行道的面积；
(2)当$a=4,b=2$时，求人行道的面积.
答案
10. 解:(1)由题意得这片空地的面积为$(3a+2b)·(a+b)$.
∴人行道的面积为$(3a+2b)(a+b)-a·3a=3a^2+3ab+2ab+2b^2-3a^2=(2b^2+5ab)$平方米;(2)当$a=4,b=2$时,$S_{人行道}=2×2^2+5×4×2=8+40=48$(平方米).答:人行道的面积为 48 平方米.
∴人行道的面积为$(3a+2b)(a+b)-a·3a=3a^2+3ab+2ab+2b^2-3a^2=(2b^2+5ab)$平方米;(2)当$a=4,b=2$时,$S_{人行道}=2×2^2+5×4×2=8+40=48$(平方米).答:人行道的面积为 48 平方米.
解析
【分析】
(1) 求人行道面积可采用“总面积减绿化面积”的思路：首先根据长方形面积公式分别计算整块空地的面积和绿化区域的面积，再将两个面积作差，最后按照多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，即可得到人行道面积的代数式。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需将a=4、b=2代入第一问得到的代数式中，按照运算顺序计算即可得到具体面积值。
【解析】
(1) 整块空地的长为$(3a+2b)$米，宽为$(a+b)$米，因此空地面积为$(3a+2b)(a+b)$平方米；
绿化区域是长为3a米、宽为a米的长方形，面积为$3a· a=3a^2$平方米。
人行道面积为空地面积减去绿化面积：
$\begin{aligned}&(3a+2b)(a+b)-3a^2\\=&3a^2+3ab+2ab+2b^2-3a^2\\=&5ab+2b^2\end{aligned}$
(2) 当$a=4$，$b=2$时，代入$5ab+2b^2$计算：
$\begin{aligned}&5×4×2+2×2^2\\=&40+8\\=&48\end{aligned}$
【答案】
(1) 人行道的面积为$(5ab+2b^2)$平方米；
(2) 当$a=4,b=2$时，人行道的面积为48平方米。
【知识点】
长方形面积计算、多项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题结合实际场景考查整式运算的应用，解题关键是明确各区域面积的数量关系，只要熟练掌握多项式乘法法则和代入求值的运算规则，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求人行道面积可采用“总面积减绿化面积”的思路：首先根据长方形面积公式分别计算整块空地的面积和绿化区域的面积，再将两个面积作差，最后按照多项式乘多项式的法则展开、合并同类项，即可得到人行道面积的代数式。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需将a=4、b=2代入第一问得到的代数式中，按照运算顺序计算即可得到具体面积值。
【解析】
(1) 整块空地的长为$(3a+2b)$米，宽为$(a+b)$米，因此空地面积为$(3a+2b)(a+b)$平方米；
绿化区域是长为3a米、宽为a米的长方形，面积为$3a· a=3a^2$平方米。
人行道面积为空地面积减去绿化面积：
$\begin{aligned}&(3a+2b)(a+b)-3a^2\\=&3a^2+3ab+2ab+2b^2-3a^2\\=&5ab+2b^2\end{aligned}$
(2) 当$a=4$，$b=2$时，代入$5ab+2b^2$计算：
$\begin{aligned}&5×4×2+2×2^2\\=&40+8\\=&48\end{aligned}$
【答案】
(1) 人行道的面积为$(5ab+2b^2)$平方米；
(2) 当$a=4,b=2$时，人行道的面积为48平方米。
【知识点】
长方形面积计算、多项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题结合实际场景考查整式运算的应用，解题关键是明确各区域面积的数量关系，只要熟练掌握多项式乘法法则和代入求值的运算规则，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 甲、乙二人共同计算一道整式乘法：$(2x+a) · (3x+b)$，甲由于抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$；乙由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$。
(1) 你能求出$a$，$b$的值吗？
(2) 请你计算出这道整式乘法的正确结果。
03 素养练 学科素养培育
(1) 你能求出$a$，$b$的值吗？
(2) 请你计算出这道整式乘法的正确结果。
03 素养练 学科素养培育
答案
11. 解：(1)由题意,得$(2x-a)(3x+b)=6x^2-(3a-2b)x-ab=6x^2+11x-10$;$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-9x+10$.
∴ $\begin{cases}-(3a-2b)=11, \\a+2b=-9,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=-5, \\b=-2,\end{cases}$ 即 $a=-5,b=-2$;(2)$(2x-5)(3x-2)=6x^2-19x+10$.
∴ $\begin{cases}-(3a-2b)=11, \\a+2b=-9,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=-5, \\b=-2,\end{cases}$ 即 $a=-5,b=-2$;(2)$(2x-5)(3x-2)=6x^2-19x+10$.
解析
【分析】
解题时首先根据甲、乙两人的错误操作，还原出他们实际计算的整式乘法算式：甲抄错a的符号，即计算的是$\boldsymbol{(2x-a)(3x+b)}$；乙漏抄第二个多项式x的系数，即计算的是$\boldsymbol{(2x+a)(x+b)}$。再将两个算式分别展开，利用“多项式相等时对应项的系数相等”的性质，得到关于a、b的两个方程，联立为二元一次方程组求解即可得到a、b的值；第二问将求出的a、b代入原式，按多项式乘法法则计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 由题意得：
甲抄错a符号后的计算式为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$
对比甲的结果$6x^2+11x-10$，可得：$2b-3a=11$ ①
乙漏抄x系数后的计算式为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$
对比乙的结果$2x^2-9x+10$，可得：$a+2b=-9$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=11 \\a+2b=-9 \end{cases}$
用①$-$②消去$2b$：
$(2b-3a)-(a+2b)=11-(-9)$
化简得$-4a=20$，解得$a=-5$。
将$a=-5$代入②：$-5+2b=-9$，解得$b=-2$。
即$a=-5$，$b=-2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$得：
$\begin{aligned}(2x-5)(3x-2)&=2x·3x +2x·(-2)+(-5)·3x+(-5)·(-2)\\&=6x^2-4x-15x+10\\&=6x^2-19x+10 \end{aligned}$
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；(2) 正确结果为$6x^2-19x+10$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组，整式运算
【点评】
本题是整式乘法与方程组的综合题，核心解题思路是通过错误运算场景还原计算式，利用多项式对应系数相等建立方程求解，能够很好地考查学生的分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据甲、乙两人的错误操作，还原出他们实际计算的整式乘法算式：甲抄错a的符号，即计算的是$\boldsymbol{(2x-a)(3x+b)}$；乙漏抄第二个多项式x的系数，即计算的是$\boldsymbol{(2x+a)(x+b)}$。再将两个算式分别展开，利用“多项式相等时对应项的系数相等”的性质，得到关于a、b的两个方程，联立为二元一次方程组求解即可得到a、b的值；第二问将求出的a、b代入原式，按多项式乘法法则计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 由题意得：
甲抄错a符号后的计算式为：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$
对比甲的结果$6x^2+11x-10$，可得：$2b-3a=11$ ①
乙漏抄x系数后的计算式为：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$
对比乙的结果$2x^2-9x+10$，可得：$a+2b=-9$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=11 \\a+2b=-9 \end{cases}$
用①$-$②消去$2b$：
$(2b-3a)-(a+2b)=11-(-9)$
化简得$-4a=20$，解得$a=-5$。
将$a=-5$代入②：$-5+2b=-9$，解得$b=-2$。
即$a=-5$，$b=-2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$得：
$\begin{aligned}(2x-5)(3x-2)&=2x·3x +2x·(-2)+(-5)·3x+(-5)·(-2)\\&=6x^2-4x-15x+10\\&=6x^2-19x+10 \end{aligned}$
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；(2) 正确结果为$6x^2-19x+10$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组，整式运算
【点评】
本题是整式乘法与方程组的综合题，核心解题思路是通过错误运算场景还原计算式，利用多项式对应系数相等建立方程求解，能够很好地考查学生的分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
12.【新课标·注重学习过程】你能化简$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)$吗？
遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法。
(1)填空：
$(x-1)(x+1)=$
$(x-1)(x^2+x+1)=$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$
(2)猜想：$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)=$
(3)请你利用上面的结论计算：$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$。
遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法。
(1)填空：
$(x-1)(x+1)=$
$x^2-1$
；$(x-1)(x^2+x+1)=$
$x^3-1$
；$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$
$x^4-1$
。(2)猜想：$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)=$
$x^n-1$
。(3)请你利用上面的结论计算：$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$。
答案
12. (1) $x^2-1$ $x^3-1$ $x^4-1$ (2) $x^n-1$ (3)解:$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1.=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$.
解析
【分析】
这道题遵循从特殊到一般的探究思路：首先第(1)问可直接运用多项式乘多项式的运算法则，逐项相乘后合并同类项得到结果；第(2)问观察第(1)问的三个运算结果，寻找左边因式的最高次数和右边结果的次数关系，即可归纳猜想出通用公式；第(3)问需要把所求式子对应到猜想公式里的第二个因式，给式子乘上(2-1)（其值为1，不改变原式大小），再套用猜想的公式就能快速算出结果。
【解析】
(1) 计算如下：
① 根据多项式乘法法则，$(x-1)(x+1)=x^2 - x + x - 1 = x^2 -1$；
② 展开运算得$(x-1)(x^2+x+1)=x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1 = x^3 -1$；
③ 展开运算得$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4 + x^3 + x^2 +x -x^3 -x^2 -x -1 =x^4 -1$。
(2) 观察(1)的结果规律：当第二个因式最高次项为$x^{n-1}$时，运算结果的最高次项为$x^n$，常数项为$-1$，因此猜想结果为$x^n -1$。
(3) 利用上述结论计算：
给原式乘值为1的$(2-1)$，不改变原式大小，可得：
$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$。
【答案】
(1) $x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$
(2) $x^n-1$
(3) $2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律探究归纳；整式简便运算
【点评】
本题以多项式乘法为基础，引导学生通过特殊案例归纳通用规律，再运用规律解决复杂计算问题，侧重考察归纳推理能力和知识迁移应用能力，解题时注意巧乘值为1的项构造公式的适用条件。
【难度系数】
0.8
这道题遵循从特殊到一般的探究思路：首先第(1)问可直接运用多项式乘多项式的运算法则，逐项相乘后合并同类项得到结果；第(2)问观察第(1)问的三个运算结果，寻找左边因式的最高次数和右边结果的次数关系，即可归纳猜想出通用公式；第(3)问需要把所求式子对应到猜想公式里的第二个因式，给式子乘上(2-1)（其值为1，不改变原式大小），再套用猜想的公式就能快速算出结果。
【解析】
(1) 计算如下：
① 根据多项式乘法法则，$(x-1)(x+1)=x^2 - x + x - 1 = x^2 -1$；
② 展开运算得$(x-1)(x^2+x+1)=x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1 = x^3 -1$；
③ 展开运算得$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4 + x^3 + x^2 +x -x^3 -x^2 -x -1 =x^4 -1$。
(2) 观察(1)的结果规律：当第二个因式最高次项为$x^{n-1}$时，运算结果的最高次项为$x^n$，常数项为$-1$，因此猜想结果为$x^n -1$。
(3) 利用上述结论计算：
给原式乘值为1的$(2-1)$，不改变原式大小，可得：
$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$。
【答案】
(1) $x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$
(2) $x^n-1$
(3) $2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律探究归纳；整式简便运算
【点评】
本题以多项式乘法为基础，引导学生通过特殊案例归纳通用规律，再运用规律解决复杂计算问题，侧重考察归纳推理能力和知识迁移应用能力，解题时注意巧乘值为1的项构造公式的适用条件。
【难度系数】
0.8
