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1[2026河北秦皇岛期末]下列函数中，是一次函数的是（
A.$y=\frac{1}{2x}+1$
B.$y=2x+1$
C.$y=x^2+1$
D.$y=kx+b(k,b是常数)$
B
）A.$y=\frac{1}{2x}+1$
B.$y=2x+1$
C.$y=x^2+1$
D.$y=kx+b(k,b是常数)$
答案
1.B 【解析】
| 选项 | 内容 | 结果 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 分母中有未知数,不是整式 | 不符合题意 |
| B | 符合一次函数$y=kx+b$($k≠0$)的形式 | 符合题意 |
| C | $x$的次数为2,不符合一次函数的定义 | 不符合题意 |
| D | 没有强调$k≠0$ | 不符合题意 |
故选 B.
| 选项 | 内容 | 结果 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 分母中有未知数,不是整式 | 不符合题意 |
| B | 符合一次函数$y=kx+b$($k≠0$)的形式 | 符合题意 |
| C | $x$的次数为2,不符合一次函数的定义 | 不符合题意 |
| D | 没有强调$k≠0$ | 不符合题意 |
故选 B.
解析
【分析】
要判断一个函数是否为一次函数，首先需明确一次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量x的整式；②自变量x的最高次数为1；③自变量x的系数不为0。解题时只需将每个选项对照这三个标准逐一验证即可得出正确答案。
【解析】
一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做一次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{1}{2x}+1$的分母中含有未知数$x$，不是整式，不符合一次函数的要求，排除；
选项B：$y=2x+1$满足$k=2\ne0$、$x$的次数为1、表达式为整式，完全符合一次函数定义，符合题意；
选项C：$y=x^2+1$中$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数要求，排除；
选项D：$y=kx+b$（$k,b$是常数）未说明$k\ne0$，若$k=0$时函数为常函数，不是一次函数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题属于一次函数的基础概念题，解题的核心是准确记忆一次函数的判定条件，尤其要注意不要遗漏$k\ne0$的限制，避免误选D选项。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为一次函数，首先需明确一次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量x的整式；②自变量x的最高次数为1；③自变量x的系数不为0。解题时只需将每个选项对照这三个标准逐一验证即可得出正确答案。
【解析】
一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做一次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{1}{2x}+1$的分母中含有未知数$x$，不是整式，不符合一次函数的要求，排除；
选项B：$y=2x+1$满足$k=2\ne0$、$x$的次数为1、表达式为整式，完全符合一次函数定义，符合题意；
选项C：$y=x^2+1$中$x$的最高次数为2，是二次函数，不符合一次函数要求，排除；
选项D：$y=kx+b$（$k,b$是常数）未说明$k\ne0$，若$k=0$时函数为常函数，不是一次函数，不符合要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题属于一次函数的基础概念题，解题的核心是准确记忆一次函数的判定条件，尤其要注意不要遗漏$k\ne0$的限制，避免误选D选项。
【难度系数】
0.8
2[2026安徽宿州期中]若函数$y=-x^{a-2}-1$是关于x的一次函数，则a的值为
3
。答案
2.3 【解析】因为函数$y=-x^{a-2}-1$是关于x的一次函数,所以$a-2=1$,所以$a=3$. 故答案为3.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一次函数的核心判定条件：一次函数中自变量的最高次数为1，且一次项系数不能为0。观察给定的函数表达式，x的指数为$a-2$，本题中x的系数是-1，已经满足不为0的要求，因此只需令x的指数等于1，列方程求解a的值即可。
【解析】
解：根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，其中自变量$x$的次数为1。
已知函数$y=-x^{a-2}-1$是关于$x$的一次函数，因此自变量$x$的次数满足：
$a-2=1$
且一次项系数为$-1≠0$，符合系数要求。
解方程得：$a=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记一次函数的两个判定条件：自变量次数为1、一次项系数不为0，本题系数已自动符合要求，直接根据次数列方程求解即可。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确一次函数的核心判定条件：一次函数中自变量的最高次数为1，且一次项系数不能为0。观察给定的函数表达式，x的指数为$a-2$，本题中x的系数是-1，已经满足不为0的要求，因此只需令x的指数等于1，列方程求解a的值即可。
【解析】
解：根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，其中自变量$x$的次数为1。
已知函数$y=-x^{a-2}-1$是关于$x$的一次函数，因此自变量$x$的次数满足：
$a-2=1$
且一次项系数为$-1≠0$，符合系数要求。
解方程得：$a=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记一次函数的两个判定条件：自变量次数为1、一次项系数不为0，本题系数已自动符合要求，直接根据次数列方程求解即可。
【难度系数】
0.85
3[2025浙江杭州调研]下列函数中，是正比例函数的是（
A.$y=2x$
B.$y=\frac{2}{3}x+20$
C.$t=\frac{152}{v}$
D.$y=2(3-x)$
A
）A.$y=2x$
B.$y=\frac{2}{3}x+20$
C.$t=\frac{152}{v}$
D.$y=2(3-x)$
答案
3.A 【解析】
A 符合正比例函数的定义
---------------------------
B 多了常数项20,不是正比例函数
---------------------------
C $v$在分母处,不是正比例函数
---------------------------
D 整理,得$y=6-2x$,多了常数项6,不是正比例函数
A 符合正比例函数的定义
---------------------------
B 多了常数项20,不是正比例函数
---------------------------
C $v$在分母处,不是正比例函数
---------------------------
D 整理,得$y=6-2x$,多了常数项6,不是正比例函数
解析
【分析】
解决本题首先要明确正比例函数的定义要点：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，核心特征是：①是关于自变量的整式；②自变量的次数为1；③没有常数项。解题时逐一将各选项与定义对照判断即可，注意含括号的函数要先化简再判断。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$）的函数叫做正比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=2x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=2\ne0$，满足正比例函数定义，是正比例函数；
选项B：$y=\frac{2}{3}x+20$，含有常数项20，不符合正比例函数无常数项的要求，不是正比例函数；
选项C：$t=\frac{152}{v}$，自变量$v$在分母位置，不是整式，不符合正比例函数要求，不是正比例函数；
选项D：先整理函数：$y=2(3-x)=6-2x$，含有常数项6，不符合正比例函数要求，不是正比例函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义、函数解析式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是紧扣正比例函数的定义要点，对于形式较复杂的函数要先化简为最简形式再判断，防止因未化简误判选项D。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确正比例函数的定义要点：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，核心特征是：①是关于自变量的整式；②自变量的次数为1；③没有常数项。解题时逐一将各选项与定义对照判断即可，注意含括号的函数要先化简再判断。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$）的函数叫做正比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=2x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=2\ne0$，满足正比例函数定义，是正比例函数；
选项B：$y=\frac{2}{3}x+20$，含有常数项20，不符合正比例函数无常数项的要求，不是正比例函数；
选项C：$t=\frac{152}{v}$，自变量$v$在分母位置，不是整式，不符合正比例函数要求，不是正比例函数；
选项D：先整理函数：$y=2(3-x)=6-2x$，含有常数项6，不符合正比例函数要求，不是正比例函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义、函数解析式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是紧扣正比例函数的定义要点，对于形式较复杂的函数要先化简为最简形式再判断，防止因未化简误判选项D。
【难度系数】
0.8
4 已知$y=(m-2)x+|m|-2$.
(1)m满足什么条件时,$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数?
(2)m满足什么条件时,$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数?
(1)m满足什么条件时,$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数?
(2)m满足什么条件时,$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数?
答案
4. 思路分析|根据函数定义确定参数范围
一次函数→$\begin{cases} m-2≠0, \\ |m|-2不作要求 \end{cases}$
正比例函数→$\begin{cases} m-2≠0, \\ 且|m|-2=0 \end{cases}$
【解】(1)由题意得$m-2≠0$,解得$m≠2$.
(2)由题意得$|m|-2=0$,且$m-2≠0$,解得$m=-2$.
一次函数→$\begin{cases} m-2≠0, \\ |m|-2不作要求 \end{cases}$
正比例函数→$\begin{cases} m-2≠0, \\ 且|m|-2=0 \end{cases}$
【解】(1)由题意得$m-2≠0$,解得$m≠2$.
(2)由题意得$|m|-2=0$,且$m-2≠0$,解得$m=-2$.
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确一次函数和正比例函数的定义：①一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的系数不为0，常数项无特殊要求；②正比例函数是特殊的一次函数，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除了要满足一次项系数不为0，还要求常数项为0。解题时分别对应两个函数的定义列不等式或方程求解即可。
【解析】
(1) 若$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数，根据一次函数定义，需满足一次项系数不为0，即：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
(2) 若$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数，根据正比例函数定义，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0，即：
$\begin{cases}|m|-2=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=0$得$m=2$或$m=-2$，结合$m≠2$的限制条件，最终得$m=-2$
【答案】
(1) $m≠2$；(2) $m=-2$
【知识点】
1.一次函数的定义 2.正比例函数的定义 3.绝对值方程求解
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，核心考查对一次函数、正比例函数定义的理解，解题时要注意正比例函数作为特殊一次函数的限制条件，切勿遗漏一次项系数不为0的要求，避免出现第(2)问误取$m=2$的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确一次函数和正比例函数的定义：①一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的系数不为0，常数项无特殊要求；②正比例函数是特殊的一次函数，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除了要满足一次项系数不为0，还要求常数项为0。解题时分别对应两个函数的定义列不等式或方程求解即可。
【解析】
(1) 若$y=(m-2)x+|m|-2$是一次函数，根据一次函数定义，需满足一次项系数不为0，即：
$m-2≠0$
解得：$m≠2$
(2) 若$y=(m-2)x+|m|-2$是正比例函数，根据正比例函数定义，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0，即：
$\begin{cases}|m|-2=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$|m|-2=0$得$m=2$或$m=-2$，结合$m≠2$的限制条件，最终得$m=-2$
【答案】
(1) $m≠2$；(2) $m=-2$
【知识点】
1.一次函数的定义 2.正比例函数的定义 3.绝对值方程求解
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，核心考查对一次函数、正比例函数定义的理解，解题时要注意正比例函数作为特殊一次函数的限制条件，切勿遗漏一次项系数不为0的要求，避免出现第(2)问误取$m=2$的错误。
【难度系数】
0.8
5[2025宁夏银川校级期中]某树苗的初始高度为50 cm，如图，这是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度 y(cm)与生长月数 x 之间的函数关系式为
（
A.$y=50+5(x-1)$
B.$y=50+5x$
C.$y=50+10(x-1)$
D.$y=50+10x$
（
D
）A.$y=50+5(x-1)$
B.$y=50+5x$
C.$y=50+10(x-1)$
D.$y=50+10x$
答案
5.D 【解析】由题意得,树苗每个月增长的高度是10 cm,故该树苗的高度$y$(cm)与生长月数$x$之间的函数关系式为$y=50+10x$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先从示意图中提取树苗高度和生长月数的对应数据，先分析高度的变化规律：初始（生长月数x=0）时高度为50cm，生长1个月时60cm，生长2个月时70cm，生长3个月时80cm。计算相邻月份的高度差可知每月固定长高10cm，那么生长x个月总长高10x cm，加上初始高度即可得到函数关系式，也可以通过代入已知x值验证选项，排除错误答案。
【解析】
首先整理对应数据：
当x=0（初始）时，y=50；
当x=1时，y=60；
当x=2时，y=70；
当x=3时，y=80。
计算每月生长高度：$60-50=10\mathrm{cm}$，$70-60=10\mathrm{cm}$，$80-70=10\mathrm{cm}$，可知树苗每月固定增长10cm。
生长x个月后总增长高度为$10x$cm，叠加初始高度50cm，可得函数关系式为$y=50+10x$。
也可代入验证：将x=1分别代入四个选项：
A：$y=50+5×(1-1)=50≠60$，排除；
B：$y=50+5×1=55≠60$，排除；
C：$y=50+10×(1-1)=50≠60$，排除；
D：$y=50+10×1=60$，符合数据，再代入x=2得y=70、x=3得y=80，均符合已知条件。
故选D。
【答案】D
【知识点】
一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【点评】
本题考查从图表中提取有效信息、分析变量变化规律的能力，解题核心是确定树苗每月的生长高度，既可以直接推导函数关系式，也可以用代入排除法快速得到答案，属于函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从示意图中提取树苗高度和生长月数的对应数据，先分析高度的变化规律：初始（生长月数x=0）时高度为50cm，生长1个月时60cm，生长2个月时70cm，生长3个月时80cm。计算相邻月份的高度差可知每月固定长高10cm，那么生长x个月总长高10x cm，加上初始高度即可得到函数关系式，也可以通过代入已知x值验证选项，排除错误答案。
【解析】
首先整理对应数据：
当x=0（初始）时，y=50；
当x=1时，y=60；
当x=2时，y=70；
当x=3时，y=80。
计算每月生长高度：$60-50=10\mathrm{cm}$，$70-60=10\mathrm{cm}$，$80-70=10\mathrm{cm}$，可知树苗每月固定增长10cm。
生长x个月后总增长高度为$10x$cm，叠加初始高度50cm，可得函数关系式为$y=50+10x$。
也可代入验证：将x=1分别代入四个选项：
A：$y=50+5×(1-1)=50≠60$，排除；
B：$y=50+5×1=55≠60$，排除；
C：$y=50+10×(1-1)=50≠60$，排除；
D：$y=50+10×1=60$，符合数据，再代入x=2得y=70、x=3得y=80，均符合已知条件。
故选D。
【答案】D
【知识点】
一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【点评】
本题考查从图表中提取有效信息、分析变量变化规律的能力，解题核心是确定树苗每月的生长高度，既可以直接推导函数关系式，也可以用代入排除法快速得到答案，属于函数实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
6 AI 名师编审 新素材 在2026年春节联欢晚会的舞台上，创新武术节目《武BOT》惊艳亮相！这场科技与传统武魂的跨界盛宴不仅是一场震撼的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现.机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间$x$(h)和搬运货物的质量$y$(kg)记录如下表：
搬运时间(h) | 0.5 | 1 | 2 | 3 | 4 | …
搬运货物的质量$y$(kg) | 120 |
| 240 | 320 | 400 | …
则$y$与$x$之间的函数关系式为 (
A.$y=160x$
B.$y=120x$
C.$y=8x+80$
D.$y=80x+80$
搬运时间(h) | 0.5 | 1 | 2 | 3 | 4 | …
搬运货物的质量$y$(kg) | 120 |
| 240 | 320 | 400 | …则$y$与$x$之间的函数关系式为 (
D
)A.$y=160x$
B.$y=120x$
C.$y=8x+80$
D.$y=80x+80$
答案
6.D 【解析】观察题表可知,搬运时间每增加1 h,搬运货物的质量增加80 kg,所以$y=160+80(x-1)=80x+80$. 故选 D.
解析
【分析】
要确定y与x的函数关系式，首先观察表格中两组变量的变化规律：搬运时间x每增加1h，搬运货物质量y固定增加80kg，可知二者为一次函数关系。解题有两种思路：①待定系数法：设一次函数解析式为y=kx+b，代入两组已知的x、y对应值，解方程组求出k和b即可；②代入排除法：将表格中已知的x值分别代入四个选项，排除y值不符合表格数据的选项，最终得到正确答案。
【解析】
方法1：待定系数法
观察数据可知，x每增加1，y的增量固定为80，故y是x的一次函数，设解析式为$y=kx+b$。
将$x=0.5,y=120$和$x=2,y=240$代入解析式，得：
$\begin{cases}0.5k+b=120\\2k+b=240\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$1.5k=120$，解得$k=80$。
将$k=80$代入$0.5k+b=120$，得$40+b=120$，解得$b=80$。
故函数关系式为$y=80x+80$。
方法2：代入排除法
A选项：当$x=0.5$时，$y=160×0.5=80≠120$，排除；
B选项：当$x=0.5$时，$y=120×0.5=60≠120$，排除；
C选项：当$x=3$时，$y=8×3+80=104≠320$，排除；
D选项：代入$x=0.5$得$y=120$，代入$x=2$得$y=240$，代入$x=3$得$y=320$，均符合表格数据，正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；选择题代入排除法
【点评】
本题结合机器人搬运的实际场景命题，考查一次函数解析式的求解，解题方法灵活，既可以用待定系数法严谨推导，也可以用代入排除法快速解题，侧重对基础方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定y与x的函数关系式，首先观察表格中两组变量的变化规律：搬运时间x每增加1h，搬运货物质量y固定增加80kg，可知二者为一次函数关系。解题有两种思路：①待定系数法：设一次函数解析式为y=kx+b，代入两组已知的x、y对应值，解方程组求出k和b即可；②代入排除法：将表格中已知的x值分别代入四个选项，排除y值不符合表格数据的选项，最终得到正确答案。
【解析】
方法1：待定系数法
观察数据可知，x每增加1，y的增量固定为80，故y是x的一次函数，设解析式为$y=kx+b$。
将$x=0.5,y=120$和$x=2,y=240$代入解析式，得：
$\begin{cases}0.5k+b=120\\2k+b=240\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$1.5k=120$，解得$k=80$。
将$k=80$代入$0.5k+b=120$，得$40+b=120$，解得$b=80$。
故函数关系式为$y=80x+80$。
方法2：代入排除法
A选项：当$x=0.5$时，$y=160×0.5=80≠120$，排除；
B选项：当$x=0.5$时，$y=120×0.5=60≠120$，排除；
C选项：当$x=3$时，$y=8×3+80=104≠320$，排除；
D选项：代入$x=0.5$得$y=120$，代入$x=2$得$y=240$，代入$x=3$得$y=320$，均符合表格数据，正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；选择题代入排除法
【点评】
本题结合机器人搬运的实际场景命题，考查一次函数解析式的求解，解题方法灵活，既可以用待定系数法严谨推导，也可以用代入排除法快速解题，侧重对基础方法应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
7[2025辽宁沈阳质检]某工程队承建一条长为60 km的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度y(km)与施工时间x(天)之间的关系式为y=
$60-\frac{1}{2}x$
.答案
7.$60-\frac{1}{2}x$ 【解析】由题意,得工程队每天修建$60÷120=\frac{1}{2}(km)$长的公路,所以还未完成的公路长度$y$(km)与施工时间$x$(天)之间的关系式为$y=60-\frac{1}{2}x$. 故答案为$60-\frac{1}{2}x$.
解析
【分析】
解这道题首先要明确未完成公路长度的计算逻辑：未完成的公路长度=公路总长度-已修建的公路长度。我们需要先求出工程队每天修建公路的长度（即工作效率），再用施工时间x表示出已修建的公路长度，最后代入等量关系就能得到y与x的关系式。
【解析】
第一步：计算工程队每天修建公路的长度
已知公路总长60km，预计工期120天，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，可得每天修建的长度为：$60÷120=\frac{1}{2}\ (\mathrm{km})$
第二步：表示x天已修建的公路长度
x天总共修建的公路长度为：$\frac{1}{2}x\ (\mathrm{km})$
第三步：推导y与x的关系式
根据“未完成长度=总长度-已修长度”，代入对应数据得：$y=60-\frac{1}{2}x$（x的取值范围为$0≤ x≤120$）
【答案】
$60-\frac{1}{2}x$
【知识点】
列函数关系式；工程问题数量关系；一次函数实际应用
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是找准题目中的等量关系，熟练运用工程问题的基本公式求出工作效率，再代入等量关系列式即可，主要考查学生将实际问题转化为函数关系式的能力。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确未完成公路长度的计算逻辑：未完成的公路长度=公路总长度-已修建的公路长度。我们需要先求出工程队每天修建公路的长度（即工作效率），再用施工时间x表示出已修建的公路长度，最后代入等量关系就能得到y与x的关系式。
【解析】
第一步：计算工程队每天修建公路的长度
已知公路总长60km，预计工期120天，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，可得每天修建的长度为：$60÷120=\frac{1}{2}\ (\mathrm{km})$
第二步：表示x天已修建的公路长度
x天总共修建的公路长度为：$\frac{1}{2}x\ (\mathrm{km})$
第三步：推导y与x的关系式
根据“未完成长度=总长度-已修长度”，代入对应数据得：$y=60-\frac{1}{2}x$（x的取值范围为$0≤ x≤120$）
【答案】
$60-\frac{1}{2}x$
【知识点】
列函数关系式；工程问题数量关系；一次函数实际应用
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是找准题目中的等量关系，熟练运用工程问题的基本公式求出工作效率，再代入等量关系列式即可，主要考查学生将实际问题转化为函数关系式的能力。
【难度系数】
0.9
8[2025吉林松原期末]学校图书室有360本图书,八(2)班每名学生借阅6本图书.
(1)求余下图书数量y(本)和八(2)班学生人数x之间的关系式$y=kx+b$,并说明k和b的实际意义;
(2)若八(2)班共有50名学生,求图书室余下图书数量为多少本.
(3)若图书室余下图书数量为72本,请确定八(2)班的学生人数.
刷易错…………小心有坑~
(1)求余下图书数量y(本)和八(2)班学生人数x之间的关系式$y=kx+b$,并说明k和b的实际意义;
(2)若八(2)班共有50名学生,求图书室余下图书数量为多少本.
(3)若图书室余下图书数量为72本,请确定八(2)班的学生人数.
刷易错…………小心有坑~
答案
8.【解】(1)根据题意得$y=360-6x$,即$y=-6x+360$. 其中,$k=-6$表示八(2)班每名学生借阅图书后学校图书室图书数量的变化量,$b=360$表示学校图书室图书的总数量.
(2)当$x=50$时,$y=-6×50+360=60$,所以图书室余下图书数量为60本.
(3)当$y=72$时,$72=-6x+360$,解得$x=48$,所以八(2)班的学生人数为48人.
(2)当$x=50$时,$y=-6×50+360=60$,所以图书室余下图书数量为60本.
(3)当$y=72$时,$72=-6x+360$,解得$x=48$,所以八(2)班的学生人数为48人.
解析
【分析】
(1) 首先理清等量关系：余下图书数量=图书室总图书数量-学生借出的图书总数量，学生人数为x时，借出的总数量为6x，总图书共360本，代入等量关系即可得到y与x的关系式，再对应一次函数$y=kx+b$的形式，结合实际场景说明k、b的意义即可。
(2) 已知学生人数x=50，属于已知自变量求因变量的值，直接将x代入第一问得到的关系式计算y即可。
(3) 已知余下图书数量y=72，属于已知因变量求自变量的值，将y代入关系式解一元一次方程即可，注意结果要符合学生人数的实际意义。
【解析】
(1) 根据题意，余下图书=总图书-借出图书，借出图书为$6x$本，总图书为360本，因此：
$y=360-6x$，整理为标准一次函数形式得$y=-6x+360$。
其中$k=-6$的实际意义：每名学生借阅图书后，图书室图书数量的减少量（或每多1名学生借阅，图书室图书减少6本）；$b=360$的实际意义：无学生借阅时，图书室的图书总数量。
(2) 把$x=50$代入$y=-6x+360$：
$y=-6×50+360=60$
(3) 把$y=72$代入$y=-6x+360$得：
$72=-6x+360$
移项计算得$6x=288$，解得$x=48$
【答案】
(1) 关系式为$\boldsymbol{y=-6x+360}$，k=-6表示每名学生借阅6本，每多1名学生借阅，图书室图书减少6本；b=360表示图书室原有图书总数量为360本。
(2) 图书室余下图书数量为60本。
(3) 八(2)班的学生人数为48人。
【知识点】
一次函数实际应用，一次函数解析式，代入求值计算
【点评】
本题是一次函数结合生活场景的基础应用题型，解题关键是找准数量关系列出正确的函数解析式，再根据已知条件代入求解，实际问题中要注意自变量和因变量的取值需符合现实逻辑。
【难度系数】
0.8
(1) 首先理清等量关系：余下图书数量=图书室总图书数量-学生借出的图书总数量，学生人数为x时，借出的总数量为6x，总图书共360本，代入等量关系即可得到y与x的关系式，再对应一次函数$y=kx+b$的形式，结合实际场景说明k、b的意义即可。
(2) 已知学生人数x=50，属于已知自变量求因变量的值，直接将x代入第一问得到的关系式计算y即可。
(3) 已知余下图书数量y=72，属于已知因变量求自变量的值，将y代入关系式解一元一次方程即可，注意结果要符合学生人数的实际意义。
【解析】
(1) 根据题意，余下图书=总图书-借出图书，借出图书为$6x$本，总图书为360本，因此：
$y=360-6x$，整理为标准一次函数形式得$y=-6x+360$。
其中$k=-6$的实际意义：每名学生借阅图书后，图书室图书数量的减少量（或每多1名学生借阅，图书室图书减少6本）；$b=360$的实际意义：无学生借阅时，图书室的图书总数量。
(2) 把$x=50$代入$y=-6x+360$：
$y=-6×50+360=60$
(3) 把$y=72$代入$y=-6x+360$得：
$72=-6x+360$
移项计算得$6x=288$，解得$x=48$
【答案】
(1) 关系式为$\boldsymbol{y=-6x+360}$，k=-6表示每名学生借阅6本，每多1名学生借阅，图书室图书减少6本；b=360表示图书室原有图书总数量为360本。
(2) 图书室余下图书数量为60本。
(3) 八(2)班的学生人数为48人。
【知识点】
一次函数实际应用，一次函数解析式，代入求值计算
【点评】
本题是一次函数结合生活场景的基础应用题型，解题关键是找准数量关系列出正确的函数解析式，再根据已知条件代入求解，实际问题中要注意自变量和因变量的取值需符合现实逻辑。
【难度系数】
0.8
9 若$y=(m-1)x^{2-|m|}+3$是关于x的一次函数，则m的值为
$-1$
。答案
9.$-1$ 【解析】因为$y=(m-1)x^{2-|m|}+3$是关于$x$的一次函数,所以$2-|m|=1$且$m-1≠0$,解得$m=-1$. 故答案为$-1$.
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确一次函数的判定条件：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，需同时满足两个要求：①自变量$x$的次数为1；②$x$的系数$k$不为0。解题时先根据$x$的次数为1列方程求出$m$的所有可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
已知$y=(m-1)x^{2-|m|}+3$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$2-|m|=1$，
移项计算得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
结合两个条件排除$m=1$，最终可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题属于一次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错误得到$m=±1$的结果。解题时要牢记函数定义中的所有限定条件，对求出的取值逐一验证，避免多解。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需明确一次函数的判定条件：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，需同时满足两个要求：①自变量$x$的次数为1；②$x$的系数$k$不为0。解题时先根据$x$的次数为1列方程求出$m$的所有可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
已知$y=(m-1)x^{2-|m|}+3$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$2-|m|=1$，
移项计算得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
结合两个条件排除$m=1$，最终可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一次函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题属于一次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，错误得到$m=±1$的结果。解题时要牢记函数定义中的所有限定条件，对求出的取值逐一验证，避免多解。
【难度系数】
0.7
