1 [2026 山东淄博期末,中]一列始终保持匀速行驶的普通火车用8秒的时间通过了长为96米的隧道(即从车头进入隧道入口到车尾离开隧道出口),一段时间后,这列火车又用13秒的时间通过了256米的隧道,相邻车道有一列长度为214.5米匀速相向行驶的高铁列车经过,普通火车与高铁列车完成会车(即从车头相遇开始到车尾相遇时结束)的时间是3.5秒,则高铁列车每小时行驶 ()

A.160千米
B.200千米
C.270千米
D.310千米

1. C 【解析】设这列普通火车的长度为 x 米. 根据题意得$\frac{96+x}{8}=\frac{256+x}{13}$,解得 x=160,所以这列普通火车的速度为 (96+160)÷8=32(米/秒). 设这列高铁列车的速度为 y 米/秒. 根据题意得 3.5×(y+32)=160+214.5,解得 y=75.75 米/秒=270千米/时,故选 C.

2[中]某军舰在静水中的速度为70 km/h，有一天它顺水航行去某岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰35 km，若水流速度为10 km/h. 发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为140 km/h，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，那么从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用h.

2. 1.5 【解析】35÷70=0.5(h),所以从救生圈落水到被发现用了 0.5 h. 设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 x h. 依题意有 x-0.5 =$\frac{35}{140-10+10}+(\frac{35}{140-10+10}×80+\frac{35}{140-10+10}×130)÷(150-80)$,解得 x=1.5,所以从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用 1.5 h.

3[2026江苏南通质检,中]在环形自行车赛场内,甲、乙、丙三人骑自行车进行训练,他们的速度分别是甲每分钟$\frac{2}{3}$圈,乙每分钟$\frac{3}{4}$圈,丙每分钟$\frac{1}{2}$圈,他们同时出发,起点如图所示(甲、乙、丙分别从A点、B点、C点出发),沿环形赛场顺时针运动,则出发后第分钟甲、丙第一次相遇;出发后第分钟三人第一次相遇。

刷素养 走向重高

3. 1 7 【解析】设出发后第 x 分钟甲、丙第一次相遇,则$\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{6}$,解得 x=1,即出发后第 1分钟甲、丙第一次相遇. 设出发后第 y 分钟乙、丙第一次相遇,则$\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}y=1-\frac{1}{4}$,解得 y=3,即出发后第 3 分钟乙、丙第一次相遇. 设出发后第 z分钟甲、乙第一次相遇,则$\frac{3}{4}z-\frac{2}{3}z=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$,解得 z=7,即出发后第 7 分钟甲、乙第一次相遇.因为 $1÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=6$(分),$1÷(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})=4$(分),所以甲、丙第一次相遇后每隔 6 分钟相遇一次,乙、丙第一次相遇后每隔 4 分钟相遇一次. 因为1+6=7(分),3+4=7(分),所以出发后第 7 分钟三人第一次相遇,故答案为 1,7.

4 思想方法数形结合[难]如图,在数轴上记原点为点O,已知点A表示数a,点B表示数b,且a,b满足$|a+5|+(b-6)^2=0$,我们把数轴上两点之间的距离,用表示两点的大写字母表示,如:点A与点B之间的距离记为AB.
(1)$a=$,$b=$;
(2)若动点P,Q分别从A,B同时出发沿数轴向右运动,点P的速度为每秒2个单位长度,点Q的速度为每秒1个单位长度,当点P和点Q重合时,P,Q两点停止运动.当点P到达原点O时,动点R从原点O出发,以每秒3个单位长度的速度也沿数轴向右运动,当点R追上点Q后立即返回,以同样的速度向点P运动,遇到点P后再立即返回,以同样的速度向点Q运动,如此往返,直到点P,Q停止运动时,点R也停止运动,求在此过程中点R运动的总路程,以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数;
(3)动点M从A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向B运动,同时动点N从B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴在A,B之间往返运动,当点M运动到B时,M和N两点停止运动.设运动时间为t秒,是否存在t值,使得$OM=ON$? 若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

4.【解】(1)因为$|a+5|+(b-6)^2=0$,所以 a+5=0,b-6=0,所以 a=-5,b=6.故答案为-5,6.(2)设P,Q运动的时间是 x 秒,则 P 运动后表示的数是-5+2x,Q 运动后表示的数是 6+x.当点 P 和点 Q 重合时,-5+2x=6+x,解得 x=11,即当运动的时间是 11 秒时,P 追上Q,此时 P,Q 表示的数是 17.因为当点 P 到达原点 O 时,动点 R 从原点 O 出发,所以 R 运动的时间是$11-\frac{5}{2}=\frac{17}{2}$(秒),所以 R 运动的总路程为$\frac{17}{2}×3=\frac{51}{2}$(个)单位长度,点 R 停留的最后位置在数轴上所对应的有理数是 17.答:在此过程中点 R 运动的总路程是$\frac{51}{2}$个单位长度,点 R 停留的最后位置在数轴上所对应的有理数是 17.(3)存在,t=1或$\frac{11}{3}$或7或11.由题意得 M 表示的数是-5+t.①当 N 未到达 A 时,N 表示的数是 6-2t,M,N 未相遇时,0-(-5+t)=6-2t-0,解得 t=1.M,N 相遇时,-5+t=6-2t,解得$t=\frac{11}{3}$.②当 N 到达 A 后返回时,N 表示的数是-5+$2(t-\frac{11}{2})=2t-16$.N 未追上 M 时,0-(2t-16)=-5+t-0,解得 t=7.N 追上 M 时,2t-16=-5+t,解得 t=11.综上所述,t 的值为 1 或$\frac{11}{3}$或 7 或 11.
关键点拨
(3)分两种情况讨论:①当N未到达A时②当N到达A后返回时.