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3.「2026陕西安康期中」如图，抛物线$y=x^2+bx$与直线$y=mx+n$相交于点A和点B(1,3)。
(1)求抛物线的解析式。
(2)结合图象，求不等式$x^2+bx＞mx+n$的解集。
(3)设P是抛物线上直线AB下方的一个动点，求$△ PAB$面积的最大值。
(1)求抛物线的解析式。
(2)结合图象，求不等式$x^2+bx＞mx+n$的解集。
(3)设P是抛物线上直线AB下方的一个动点，求$△ PAB$面积的最大值。
答案
(1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx$ 经过点 $B(1,3)$，
∴ 将点 B 的坐标代入，得 $1+b=3$，解得 $b=2$，
∴ 抛物线的解析式为 $y=x^2+2x$.
(2)由(1)知抛物线的解析式为 $y=x^2+2x$，
当 $y=0$ 时，有 $x^2+2x=0$，解得 $x_1=-2$，$x_2=0$，
∴ $A(-2,0)$，结合图象可知，不等式 $x^2+bx＞mx+n$ 的解集为 $x＜-2$ 或 $x＞1$.
(3)如图，过 P 作 $PK// y$ 轴，交 AB 于 K，
∵ 直线 $y=mx+n$ 过点 $A(-2,0)$，$B(1,3)$，
∴ 将点 A，点 B 的坐标分别代入，得 $\begin{cases}-2m+n=0, \\m+n=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1, \\n=2,\end{cases}$
∴ 直线 AB 的解析式为 $y=x+2$，
设 $P(t,t^2+2t)$，则 $K(t,t+2)$，
∴ $PK=t+2-(t^2+2t)=-t^2-t+2$，
∴ $S_{△PAB}=S_{△PKA}+S_{△PKB}=\dfrac{1}{2}PK·(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}(-t^2-t+2)×3=-\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{3}{2}t+3=-\dfrac{3}{2}(t+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{27}{8}$，
∵ $-\dfrac{3}{2}＜0$，
∴ 当 $t=-\dfrac{1}{2}$ 时，$△ PAB$ 的面积取得最大值，为 $\dfrac{27}{8}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线过点B(1,3)，只需将点B的坐标代入抛物线表达式，求解未知参数b即可得到解析式。
(2) 不等式$x^2+bx＞mx+n$的几何意义是抛物线图像位于直线AB上方时对应的x的取值范围，首先求出抛物线与直线的另一个交点A的坐标，再结合图像直接写出解集即可。
(3) 求△PAB的面积最大值可采用铅垂高法：过点P作平行于y轴的直线交AB于K，将△PAB拆分为两个同底的小三角形，底为PK，高的和等于A、B两点的水平距离。先求出直线AB的解析式，设P点横坐标为t，用含t的式子表示PK的长度，进而将三角形面积转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx$ 经过点 $B(1,3)$，
∴ 将点B的坐标代入解析式得 $1+b=3$，解得 $b=2$，
∴ 抛物线的解析式为 $y=x^2+2x$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为 $y=x^2+2x$，
令 $y=0$，则 $x^2+2x=0$，解得 $x_1=-2$，$x_2=0$，
∴ $A(-2,0)$，A、B为抛物线与直线的两个交点，结合图象可知，抛物线在直线上方对应的x取值为$x＜-2$或$x＞1$，即不等式$x^2+bx＞mx+n$的解集为$x＜-2$或$x＞1$。
(3) 如图，过P作$PK// y$轴，交AB于K，
∵ 直线$y=mx+n$过点$A(-2,0)$、$B(1,3)$，
∴ 代入得方程组 $\begin{cases}-2m+n=0, \\m+n=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1, \\n=2,\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为 $y=x+2$。
设 $P(t,t^2+2t)$，则 $K(t,t+2)$，
∴ $PK=t+2-(t^2+2t)=-t^2-t+2$，
∴ $S_{△PAB}=\frac{1}{2}PK·(x_B-x_A)=\frac{1}{2}(-t^2-t+2)×3=-\frac{3}{2}(t+\frac{1}{2})^2+\frac{27}{8}$，
∵ $-\frac{3}{2}＜0$，函数开口向下，
∴ 当$t=-\frac{1}{2}$时，△PAB的面积取得最大值$\frac{27}{8}$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x$
(2) $x＜-2$ 或 $x＞1$
(3) $\dfrac{27}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与不等式，二次函数最值应用
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，渗透了数形结合思想，其中铅垂高法是解决二次函数背景下三角形面积最值问题的常用技巧，需要熟练掌握其转化逻辑。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线过点B(1,3)，只需将点B的坐标代入抛物线表达式，求解未知参数b即可得到解析式。
(2) 不等式$x^2+bx＞mx+n$的几何意义是抛物线图像位于直线AB上方时对应的x的取值范围，首先求出抛物线与直线的另一个交点A的坐标，再结合图像直接写出解集即可。
(3) 求△PAB的面积最大值可采用铅垂高法：过点P作平行于y轴的直线交AB于K，将△PAB拆分为两个同底的小三角形，底为PK，高的和等于A、B两点的水平距离。先求出直线AB的解析式，设P点横坐标为t，用含t的式子表示PK的长度，进而将三角形面积转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx$ 经过点 $B(1,3)$，
∴ 将点B的坐标代入解析式得 $1+b=3$，解得 $b=2$，
∴ 抛物线的解析式为 $y=x^2+2x$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为 $y=x^2+2x$，
令 $y=0$，则 $x^2+2x=0$，解得 $x_1=-2$，$x_2=0$，
∴ $A(-2,0)$，A、B为抛物线与直线的两个交点，结合图象可知，抛物线在直线上方对应的x取值为$x＜-2$或$x＞1$，即不等式$x^2+bx＞mx+n$的解集为$x＜-2$或$x＞1$。
(3) 如图，过P作$PK// y$轴，交AB于K，
∵ 直线$y=mx+n$过点$A(-2,0)$、$B(1,3)$，
∴ 代入得方程组 $\begin{cases}-2m+n=0, \\m+n=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1, \\n=2,\end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为 $y=x+2$。
设 $P(t,t^2+2t)$，则 $K(t,t+2)$，
∴ $PK=t+2-(t^2+2t)=-t^2-t+2$，
∴ $S_{△PAB}=\frac{1}{2}PK·(x_B-x_A)=\frac{1}{2}(-t^2-t+2)×3=-\frac{3}{2}(t+\frac{1}{2})^2+\frac{27}{8}$，
∵ $-\frac{3}{2}＜0$，函数开口向下，
∴ 当$t=-\frac{1}{2}$时，△PAB的面积取得最大值$\frac{27}{8}$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x$
(2) $x＜-2$ 或 $x＞1$
(3) $\dfrac{27}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与不等式，二次函数最值应用
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，渗透了数形结合思想，其中铅垂高法是解决二次函数背景下三角形面积最值问题的常用技巧，需要熟练掌握其转化逻辑。
【难度系数】
0.6
4.「2024四川绵阳中考节选」如图,抛物线$y=ax^2+bx+3$($a≠0$)与$x$轴交于点$A(-3,0)$和$B(1,0)$,与$y$轴交于点$C$,连接$AC$和$BC$,点$P$在抛物线上运动,连接$AP$,$BP$和$CP$.
(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标.
(2)点$P$在抛物线上从点$A$运动到点$C$的过程中(点$P$与点$A$,$C$不重合),作点$P$关于$x$轴的对称点$P_1$,连接$AP_1$,$CP_1$,记$△ ACP_1$的面积为$S_1$,$△ BCP$的面积为$S_2$,若满足$S_1=3S_2$,求$△ ABP$的面积.
(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标.
(2)点$P$在抛物线上从点$A$运动到点$C$的过程中(点$P$与点$A$,$C$不重合),作点$P$关于$x$轴的对称点$P_1$,连接$AP_1$,$CP_1$,记$△ ACP_1$的面积为$S_1$,$△ BCP$的面积为$S_2$,若满足$S_1=3S_2$,求$△ ABP$的面积.
答案
(1)由题意得 $y=a(x+3)(x-1)=a(x^2+2x-3)=ax^2+2ax-3a=ax^2+bx+3$，则 $-3a=3$，解得 $a=-1$，
∴ 抛物线的解析式为 $y=-x^2-2x+3$，
∵ 该抛物线的对称轴为直线 $x=\dfrac{-3+1}{2}=-1$，
∴ 当 $x=-1$ 时，$y=4$，即顶点坐标为 $(-1,4)$.
(2)如图，连接 $PP_1$ 交 AC 于点 E，延长 $P_1P$ 与 BC 的延长线交于点 F，设点 $P(m,-m^2-2m+3)$，则点 $P_1(m,m^2+2m-3)$，
由 $A(-3,0),C(0,3)$ 得直线 AC 的解析式为 $y=x+3$，则点 $E(m,m+3)$，由 $B(1,0),C(0,3)$ 得直线 BC 的解析式为 $y=-3x+3$，则点 $F(m,-3m+3)$，由题意得 $S_1=\dfrac{1}{2}P_1E·OA=\dfrac{1}{2}(m+3-m^2-2m+3)×3=-\dfrac{3}{2}m^2-\dfrac{3}{2}m+9$，$S_2=\dfrac{1}{2}PF×[(1-m)-(0-m)]=\dfrac{1}{2}(-3m+3+m^2+2m-3)=\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{1}{2}m$.
∵ $S_1=3S_2$，
∴ $-\dfrac{3}{2}m^2-\dfrac{3}{2}m+9=3(\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{1}{2}m)$，
解得 $m=\sqrt{3}$ 或 $m=-\sqrt{3}$，
∵ P 在 A，C 之间的抛物线上，
∴ $m=-\sqrt{3}$，
∴ $P(-\sqrt{3},2\sqrt{3})$，
∴ $S_{△ABP}=\dfrac{1}{2}AB×y_P=\dfrac{1}{2}×(1+3)×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
题型解读 用“水平宽，铅垂高”进行三角形割补，将面积转化为平行于坐标轴的线段的乘积的一半，从而利用点坐标的差值计算.在进行割补时应过动点作平行于y轴的直线，这样计算更简便.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，结合解析式的常数项为3求出参数a，即可得到抛物线解析式；再通过对称轴公式求出对称轴，代入解析式计算即可得到顶点坐标。
(2) 要求△ABP的面积，需先确定点P的坐标：首先设点P的横坐标为m，用含m的式子表示P和其关于x轴对称的点P₁的坐标；再用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，得到过P且平行于y轴的直线与AC、BC的交点E、F的坐标；利用铅垂高法分别表示出S₁和S₂，根据S₁=3S₂列方程求解m，结合P在A、C之间的运动范围取舍m的值，最后用底AB乘P点纵坐标的一半即可求出△ABP的面积。
【解析】
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，设抛物线解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，展开得$y=ax^2+2ax-3a$。
结合已知抛物线解析式$y=ax^2+bx+3$，可得$-3a=3$，解得$a=-1$。
∴ 抛物线的解析式为$y=-x^2-2x+3$。
抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，将$x=-1$代入解析式得$y=-(-1)^2-2×(-1)+3=4$，即顶点坐标为$(-1,4)$。
(2) 连接$PP_1$交AC于点E，延长$P_1P$与BC的延长线交于点F，设点$P(m,-m^2-2m+3)$，由P₁和P关于x轴对称，得点$P_1(m,m^2+2m-3)$。
由A(-3,0)、C(0,3)，用待定系数法得直线AC的解析式为$y=x+3$，则E点横坐标为m，代入得$E(m,m+3)$；
由B(1,0)、C(0,3)，用待定系数法得直线BC的解析式为$y=-3x+3$，则F点横坐标为m，代入得$F(m,-3m+3)$。
根据铅垂高法求三角形面积：
$S_1=\frac{1}{2}×P_1E×OA=\frac{1}{2}×[(m+3)-(m^2+2m-3)]×3=-\frac{3}{2}m^2-\frac{3}{2}m+9$，
$S_2=\frac{1}{2}×PF×|x_B-x_C|=\frac{1}{2}×[(-3m+3)-(-m^2-2m+3)]×1=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$。
∵$S_1=3S_2$，
∴$-\frac{3}{2}m^2-\frac{3}{2}m+9=3(\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m)$，
化简求解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
∵点P在A、C之间的抛物线上，横坐标范围为$-3＜m＜0$，故舍去$m=\sqrt{3}$，得$m=-\sqrt{3}$。
代入得P点纵坐标为$-(-\sqrt{3})^2-2×(-\sqrt{3})+3=2\sqrt{3}$。
AB的长度为$1-(-3)=4$，则$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×y_P=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,4)}$；
(2) $△ ABP$的面积为$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 一次函数解析式确定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的常见综合题，考查了待定系数法求函数解析式、坐标对称的性质、斜三角形面积的计算方法，解题时需注意结合动点的运动范围对所得解进行取舍，能有效锻炼数形结合的思维和运算能力。
【难度系数】
0.4
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，结合解析式的常数项为3求出参数a，即可得到抛物线解析式；再通过对称轴公式求出对称轴，代入解析式计算即可得到顶点坐标。
(2) 要求△ABP的面积，需先确定点P的坐标：首先设点P的横坐标为m，用含m的式子表示P和其关于x轴对称的点P₁的坐标；再用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，得到过P且平行于y轴的直线与AC、BC的交点E、F的坐标；利用铅垂高法分别表示出S₁和S₂，根据S₁=3S₂列方程求解m，结合P在A、C之间的运动范围取舍m的值，最后用底AB乘P点纵坐标的一半即可求出△ABP的面积。
【解析】
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，设抛物线解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，展开得$y=ax^2+2ax-3a$。
结合已知抛物线解析式$y=ax^2+bx+3$，可得$-3a=3$，解得$a=-1$。
∴ 抛物线的解析式为$y=-x^2-2x+3$。
抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，将$x=-1$代入解析式得$y=-(-1)^2-2×(-1)+3=4$，即顶点坐标为$(-1,4)$。
(2) 连接$PP_1$交AC于点E，延长$P_1P$与BC的延长线交于点F，设点$P(m,-m^2-2m+3)$，由P₁和P关于x轴对称，得点$P_1(m,m^2+2m-3)$。
由A(-3,0)、C(0,3)，用待定系数法得直线AC的解析式为$y=x+3$，则E点横坐标为m，代入得$E(m,m+3)$；
由B(1,0)、C(0,3)，用待定系数法得直线BC的解析式为$y=-3x+3$，则F点横坐标为m，代入得$F(m,-3m+3)$。
根据铅垂高法求三角形面积：
$S_1=\frac{1}{2}×P_1E×OA=\frac{1}{2}×[(m+3)-(m^2+2m-3)]×3=-\frac{3}{2}m^2-\frac{3}{2}m+9$，
$S_2=\frac{1}{2}×PF×|x_B-x_C|=\frac{1}{2}×[(-3m+3)-(-m^2-2m+3)]×1=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m$。
∵$S_1=3S_2$，
∴$-\frac{3}{2}m^2-\frac{3}{2}m+9=3(\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}m)$，
化简求解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
∵点P在A、C之间的抛物线上，横坐标范围为$-3＜m＜0$，故舍去$m=\sqrt{3}$，得$m=-\sqrt{3}$。
代入得P点纵坐标为$-(-\sqrt{3})^2-2×(-\sqrt{3})+3=2\sqrt{3}$。
AB的长度为$1-(-3)=4$，则$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×y_P=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,4)}$；
(2) $△ ABP$的面积为$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 一次函数解析式确定
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的常见综合题，考查了待定系数法求函数解析式、坐标对称的性质、斜三角形面积的计算方法，解题时需注意结合动点的运动范围对所得解进行取舍，能有效锻炼数形结合的思维和运算能力。
【难度系数】
0.4
