拓展 教材P140数学活动1 四等分圆周
[2026山西太原质检,中]请阅读下面的材料,并完成相应的任务.
仅用圆规三等分、六等分圆周是容易的,而四等分、五等分、…圆周则有一定难度,历史上卡尔·弗雷德里希·高斯首次解决了将圆周十七等分的难题.拿破仑·波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题:只用圆规,不用直尺,如何把一个圆周四等分?这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了.为此,他还写了名为《圆规几何》的书献给拿破仑,书中还包含了更深刻的作图理论.他给出的作图步骤和部分证明如下:
如图(1),第一步:在$\odot O$上任取一点A,以点A为一个分点,将$\odot O$六等分,其他分点依次为B,C,D,E,F;
第二步:分别以A,D两点为圆心,以AC的长为半径作弧,两弧交于点G;
第三步:以点A为圆心,OG的长为半径作弧,与$\odot O$交于M,N两点.
则点A,M,D,N是$\odot O$的四等分点.
证明:如图(2),连接OA,OG,OC,OD,AG,AM,OM,AC,DC,DG.
∵点A,B,C,D,E,F是$\odot O$的六等分点,
$\therefore ∠COD=60°,$
$\therefore ∠AOD=3∠COD=3×60°=180°,$
……
任务:
(1)完成证明;
(2)若$\odot O$的半径为2,则OG的长为,所作$\overset{\frown}{MN}$的长为.

(1)【证明】连接 OA,OG,OC,OD,AG,AM,OM,AC,DC,DG.
∵ 点 A,B,C,D,E,F 是⊙O 的六等分点,
∴ ∠COD = 60°,
∴ ∠AOD = 3∠COD = 3×60°=180°,
∴ AD 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACD = 90°.
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠COD = 30°. 设⊙O 的半径为 r. 在 Rt△ACD 中, $CD=\frac{1}{2}AD=r$,
∴ AC = $\sqrt{3}r$,
∴ AG = DG = AC = $\sqrt{3}r$. 又
∵ AO = OD,
∴ OG ⊥ AD,
∴ ∠GOA = 90°. 在 Rt △AOG 中, OG = $\sqrt{AG^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2-r^2}=\sqrt{2}r$,
∴ AM = OG = $\sqrt{2}r$. 在△AOM 中, $AO^2+OM^2=r^2+r^2=2r^2=AM^2$,
∴ △AOM 是直角三角形且∠MOA = 90°,
∴ 易得$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{MD}=\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{DN}$,
∴ 点 A,M,D,N 是⊙O 的四等分点.
(2)【解】当⊙O 的半径为 2 时,由(1)得 OG = $2\sqrt{2}$,AM = $2\sqrt{2}$,易知所作$\overset{\frown}{MN}$所对的圆心角为90°,
∴ 所作$\overset{\frown}{MN}$的长为$\frac{90π · 2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$. 故答案为$2\sqrt{2}$,$\sqrt{2}π$.