7. 已知集合 $ A $ 中的元素为 $ 1,2 $,集合 $ B $ 表示关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + ax + b = 0 $ 的解的集合,且集合 $ A $ 与集合 $ B $ 相等,求 $ a $ 和 $ b $ 的值.

解：根据题意，知 $ 1 $，$ 2 $ 为关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + ax + b = 0 $ 的解，由韦达定理，
得 $ \begin{cases} 1 + 2 = - a \\ 1 \times 2 = b \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = - 3 \\ b = 2 \end{cases} $，
所以 $ a $ 的值为 $ - 3 $，$ b $ 的值为 $ 2 $。
【温馨提示】韦达定理在高中数学的学习中具有非常重要的地位。常用于：(1)命题真假的判断与证明；(2)含参一元二次方程相关问题；(3)不等式的证明；(4)三角函数 + 求最值（取值范围）；(5)圆锥曲线中的求解。

8. 设集合 $ A $ 含有 $ -2,1 $ 两个元素,集合 $ B $ 含有 $ -1,2 $ 两个元素. 定义集合 $ A \odot B $ 满足 $ x_1 \in A,x_2 \in B $ 且 $ x_1x_2 \in (A \odot B) $,则 $ A \odot B $ 中所有元素之积为 ()
A. $ -8 $
B. $ -16 $
C. $ 8 $
D. $ 16 $

C 由题意，得 $ - 2 \times ( - 1 ) = 2 $，$ - 2 \times 2 = - 4 $，$ 1 \times ( - 1 ) = - 1 $，$ 1 \times 2 = 2 $，
$ \therefore A \odot B $ 中元素有 $ - 4 $，$ - 1 $，$ 2 $，$ \therefore - 4 \times ( - 1 ) \times 2 = 8 $。

9. (多选)已知 $ x,y $ 都是非零实数,$ z = \frac{x}{|x|} + \frac{y}{|y|} + \frac{xy}{|xy|} $ 的取值组成集合 $ A $,则下列判断错误的是 ()
A. $ 3 \in A,-1 \notin A $
B. $ 3 \in A,-1 \in A $
C. $ 3 \notin A,-1 \in A $
D. $ 3 \notin A,-1 \notin A $

ACD 由 $ x $，$ y $ 都是非零实数，$ z = \frac{x}{| x |} + \frac{y}{| y |} + \frac{xy}{| xy |} $，得
当 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $ 时，$ z = 1 + 1 + 1 = 3 $；
当 $ x ＞ 0 $，$ y ＜ 0 $ 时，$ z = 1 - 1 - 1 = - 1 $；
当 $ x ＜ 0 $，$ y ＞ 0 $ 时，$ z = - 1 + 1 - 1 = - 1 $；
当 $ x ＜ 0 $，$ y ＜ 0 $ 时，$ z = - 1 - 1 + 1 = - 1 $。
故 $ A $ 中元素有 $ - 1 $，$ 3 $，所以 $ 3 \in A $，$ - 1 \in A $。

10. (多选)已知集合 $ M $ 中的元素 $ x $ 满足 $ x = a + \sqrt{2}b $,其中 $ a,b \in \mathbf{Z} $,则下列选项属于集合 $ M $ 的是 ()
A. $ 0 $
B. $ \sqrt{6} $
C. $ \frac{1}{1 - \sqrt{2}} $
D. $ 3\sqrt{2} - 1 $

ACD 当 $ a = 0 $，$ b = 0 $ 时，$ x = 0 $，故 A 正确；对于任意 $ a $，$ b \in \mathbf{Z} $，$ x = a + \sqrt{2}b \neq \sqrt{6} $，故 B 错误；$ \frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = - 1 - \sqrt{2} $，当 $ a = - 1 $，$ b = - 1 $ 时，$ x = - 1 - \sqrt{2} $，故 C 正确；当 $ a = - 1 $，$ b = 3 $ 时，$ x = - 1 + 3\sqrt{2} $，故 D 正确。

11. 由 $ a^2,2 - a,4 $ 组成的集合记为 $ A $.
(1)是否存在实数 $ a $,使得 $ A $ 中只含有一个元素？若存在,求出 $ a $ 的值；若不存在,请说明理由.
(2)若 $ A $ 中只含有两个元素,求 $ a $ 的值.
(提示：(1)根据 $ A $ 中只含有一个元素列出方程求解；(2)由 $ A $ 中只含有两个元素,得 $ a^2,2 - a,4 $ 这三个数中必有两个数相等,进行分类讨论,列出方程求解,注意最后检验并得出答案)

解：(1)存在。
假设存在实数 $ a $，使得 $ A $ 中只含有一个元素，则必然有 $ a^2 = 2 - a = 4 $，解得 $ a = - 2 $。经检验，符合题意。故存在实数 $ a $，使得 $ A $ 中只含有一个元素。
(2)由题意，知这三个数中必有两个数相等。
①当 $ 2 - a = 4 $，即 $ a = - 2 $ 时，由(1)，知此时集合 $ A $ 中只含有一个元素，不符合题意；
②当 $ a^2 = 4 $，即 $ a = 2 $ 或 $ a = - 2 $（舍去）时，$ 2 - a = 0 $，此时集合 $ A $ 中含有两个元素 $ 0 $ 和 $ 4 $，符合题意；
③当 $ a^2 = 2 - a $，即 $ a^2 + a - 2 = 0 $ 时，由 $ (a - 1)(a + 2) = 0 $，得 $ a = 1 $ 或 $ a = - 2 $（舍去），即 $ a^2 = 2 - a = 1 $，此时集合 $ A $ 中含有两个元素 $ 1 $ 和 $ 4 $，符合题意。
综上，$ a $ 的值为 $ 2 $ 或 $ 1 $。