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11. (2025·龙泉驿) $ P(m, n) $ 是函数 $ y = \frac{3}{x} $ 和 $ y = x + 4 $ 图象的一个交点,则 $ m^2 + n^2 $ 的值为____.
答案
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12. (2025·编写) 一元二次方程 $ x^2 - 4x + m = 0 $ 有两个相等的实数根,点 $ A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) $ 是反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 上的两个点,若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $,则 $ y_1 $____$ y_2 $. (填“＜”“＞”或“=”)
答案
＞
13. (2025·编写) 如图,点 $ A, D $ 分别在函数 $ y = -\frac{3}{x}, y = \frac{6}{x} $ 的图象上,点 $ B, C $ 在 $ x $ 轴上. 若四边形 $ ABCD $ 为正方形,点 $ D $ 在第一象限,则点 $ D $ 的坐标是______.
答案
1. 设点$A$的坐标为$(x_{1},y_{1})$，点$D$的坐标为$(x_{2},y_{2})$：
因为点$A$在$y =-\frac{3}{x}$上，所以$y_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$；点$D$在$y=\frac{6}{x}$上，所以$y_{2}=\frac{6}{x_{2}}$。
由于四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，且$AB⊥ x$轴，$CD⊥ x$轴，那么$y_{1}=y_{2}$，$x_{2}-x_{1}=y_{1}$（正方形边长相等）。
由$y_{1}=y_{2}$可得$-\frac{3}{x_{1}}=\frac{6}{x_{2}}$，则$x_{2}=-2x_{1}$。
2. 又因为$x_{2}-x_{1}=y_{1}$，$y_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$：
把$x_{2}=-2x_{1}$代入$x_{2}-x_{1}=y_{1}$中，得到$-2x_{1}-x_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$。
整理方程$-3x_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$，两边同时乘以$x_{1}$（$x_{1}≠0$）得$-3x_{1}^{2}=-3$。
即$x_{1}^{2}=1$，解得$x_{1}=-1$或$x_{1}=1$。
当$x_{1}=1$时，$y_{1}=-3$（此时$y$值不符合正方形在第一象限部分的情况，舍去）；当$x_{1}=-1$时，$y_{1}=3$。
因为$x_{2}=-2x_{1}$，所以$x_{2}=2$。
又因为$y_{2}=\frac{6}{x_{2}}$，把$x_{2}=2$代入$y_{2}=\frac{6}{x_{2}}$得$y_{2}=3$。
所以点$D$的坐标是$(2,3)$。
因为点$A$在$y =-\frac{3}{x}$上，所以$y_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$；点$D$在$y=\frac{6}{x}$上，所以$y_{2}=\frac{6}{x_{2}}$。
由于四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，且$AB⊥ x$轴，$CD⊥ x$轴，那么$y_{1}=y_{2}$，$x_{2}-x_{1}=y_{1}$（正方形边长相等）。
由$y_{1}=y_{2}$可得$-\frac{3}{x_{1}}=\frac{6}{x_{2}}$，则$x_{2}=-2x_{1}$。
2. 又因为$x_{2}-x_{1}=y_{1}$，$y_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$：
把$x_{2}=-2x_{1}$代入$x_{2}-x_{1}=y_{1}$中，得到$-2x_{1}-x_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$。
整理方程$-3x_{1}=-\frac{3}{x_{1}}$，两边同时乘以$x_{1}$（$x_{1}≠0$）得$-3x_{1}^{2}=-3$。
即$x_{1}^{2}=1$，解得$x_{1}=-1$或$x_{1}=1$。
当$x_{1}=1$时，$y_{1}=-3$（此时$y$值不符合正方形在第一象限部分的情况，舍去）；当$x_{1}=-1$时，$y_{1}=3$。
因为$x_{2}=-2x_{1}$，所以$x_{2}=2$。
又因为$y_{2}=\frac{6}{x_{2}}$，把$x_{2}=2$代入$y_{2}=\frac{6}{x_{2}}$得$y_{2}=3$。
所以点$D$的坐标是$(2,3)$。
14. (2025·锦江) 若有六张完全一样的卡片,正面分别写有 $ -1, -2, 0, 1, 2, 3 $,现背面向上,任意抽取一张卡片,求其上面的数字能使关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{k - 1}{x - 1} = 2 $ 的解为正数,且使反比例函数 $ y = \frac{3 - k}{x} $ 的图象过第一、三象限的概率.
答案
[解]∵关于 x 的分式方程 $\frac{k - 1}{x - 1}$ = 2 的解为正数，
∴x = $\frac{k + 1}{2}$ ＞ 0，且 x = $\frac{k + 1}{2}$ ≠ 1，
∴k ＞ -1，且 k ≠ 1，
∴k 的取值为 0,2,3.
又∵反比例函数 y = $\frac{3 - k}{x}$ 的图象过第一、三象限，
∴3 - k ＞ 0，即 k ＜ 3，
∴k 的取值为 0,2.
综上，k 的取值共有 6 种等可能情况，其中符合题意的有 2 种等可能情况，
∴满足题意的概率为 $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$.
∴x = $\frac{k + 1}{2}$ ＞ 0，且 x = $\frac{k + 1}{2}$ ≠ 1，
∴k ＞ -1，且 k ≠ 1，
∴k 的取值为 0,2,3.
又∵反比例函数 y = $\frac{3 - k}{x}$ 的图象过第一、三象限，
∴3 - k ＞ 0，即 k ＜ 3，
∴k 的取值为 0,2.
综上，k 的取值共有 6 种等可能情况，其中符合题意的有 2 种等可能情况，
∴满足题意的概率为 $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$.
15. (2025·东部新区) 如图,已知点 $ A, C $ 在反比例函数 $ y = \frac{m}{x} (m ＞ 0) $ 的图象上,点 $ B, D $ 在反比例函数 $ y = \frac{n}{x} (n ＜ 0) $ 的图象上,$ AB // CD // y $ 轴,$ AB, CD $ 在 $ y $ 轴的两侧,$ AB = 3, CD = 5 $. 若 $ AB $ 与 $ CD $ 之间的距离为 7,求 $ m - n $ 的值.
答案
[解]设点 A,D 的横坐标分别为 x₁,x₂.
∵AB // CD // y 轴，AB = 3，
∴$\frac{m}{x₁}$ - $\frac{n}{x₁}$ = 3，整理，得 x₁ = $\frac{m - n}{3}$.
∵CD = 5，
∴$\frac{n}{x₂}$ - $\frac{m}{x₂}$ = 5，整理，得 x₂ = $\frac{n - m}{5}$.
∵AB 与 CD 的距离为 7，
∴$\frac{m - n}{3}$ - $\frac{n - m}{5}$ = 7，
∴$\frac{m - n}{3}$ + $\frac{m - n}{5}$ = 7，
整理，得 5(m - n) + 3(m - n) = 105，
∴m - n = $\frac{105}{8}$.
∵AB // CD // y 轴，AB = 3，
∴$\frac{m}{x₁}$ - $\frac{n}{x₁}$ = 3，整理，得 x₁ = $\frac{m - n}{3}$.
∵CD = 5，
∴$\frac{n}{x₂}$ - $\frac{m}{x₂}$ = 5，整理，得 x₂ = $\frac{n - m}{5}$.
∵AB 与 CD 的距离为 7，
∴$\frac{m - n}{3}$ - $\frac{n - m}{5}$ = 7，
∴$\frac{m - n}{3}$ + $\frac{m - n}{5}$ = 7，
整理，得 5(m - n) + 3(m - n) = 105，
∴m - n = $\frac{105}{8}$.
