二、分式的运算
1. 分式的运算法则
2. 分式的化简求值
(1)一般步骤:①按照分式的运算顺序将所给式子化成最简;②检查给出的值能否使分式有意义;③代入数值求值.
(2)注意事项:①通分时不要忘记常数项也要乘最简公分母;②化简结果应为最简分式;③所代数值要使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0.
1. 分式的运算法则
2. 分式的化简求值
(1)一般步骤:①按照分式的运算顺序将所给式子化成最简;②检查给出的值能否使分式有意义;③代入数值求值.
(2)注意事项:①通分时不要忘记常数项也要乘最简公分母;②化简结果应为最简分式;③所代数值要使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0.
答案
⑥ $ \frac{a \pm b}{c}$；
⑦$ \frac{ad \pm bc}{bd}$；
⑧$ \frac{ac}{bd}$；
⑨$ \frac{d}{c}$；
⑩$ \frac{a^n}{b^n}$。
⑦$ \frac{ad \pm bc}{bd}$；
⑧$ \frac{ac}{bd}$；
⑨$ \frac{d}{c}$；
⑩$ \frac{a^n}{b^n}$。
解析
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，故⑥为$\frac{a\pm b}{c}$；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式再加减，通分后分母为$bd$，分子为$ad\pm bc$，故⑦为$\frac{ad\pm bc}{bd}$；分式相乘，分子积作分子，分母积作分母，故⑧为$\frac{ac}{bd}$；分式除法，除式分子分母颠倒后相乘，故⑨为$\frac{d}{c}$；分式乘方，分子分母分别乘方，故⑩为$\frac{a^n}{b^n}$。
对点训练 4.计算:
(1)$\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}$; (2)$\frac{1}{2c^{2}d}+\frac{1}{3cd^{2}}$; (3)$\frac{x^{2}+xy}{x-y}÷\frac{xy}{x-y}$; (4)$(1-\frac{1}{x+2})·\frac{x^{2}+4x+4}{x+1}$.
(1)$\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}$; (2)$\frac{1}{2c^{2}d}+\frac{1}{3cd^{2}}$; (3)$\frac{x^{2}+xy}{x-y}÷\frac{xy}{x-y}$; (4)$(1-\frac{1}{x+2})·\frac{x^{2}+4x+4}{x+1}$.
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} &= \frac{x + 1 - 1}{x} \\&= \frac{x}{x} \\&= 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1}{2c^{2}d} + \frac{1}{3cd^{2}} &= \frac{3d}{6c^{2}d^{2}} + \frac{2c}{6c^{2}d^{2}} \\&= \frac{3d + 2c}{6c^{2}d^{2}}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\frac{x^{2} + xy}{x - y} ÷ \frac{xy}{x - y} &= \frac{x(x + y)}{x - y} × \frac{x - y}{xy} \\&= \frac{x(x + y)}{xy} \\&= \frac{x + y}{y}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{x + 2}) · \frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 1} &= \frac{x + 2 - 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)^{2}}{x + 1} \\&= \frac{x + 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)^{2}}{x + 1} \\&= x + 2\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} &= \frac{x + 1 - 1}{x} \\&= \frac{x}{x} \\&= 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1}{2c^{2}d} + \frac{1}{3cd^{2}} &= \frac{3d}{6c^{2}d^{2}} + \frac{2c}{6c^{2}d^{2}} \\&= \frac{3d + 2c}{6c^{2}d^{2}}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\frac{x^{2} + xy}{x - y} ÷ \frac{xy}{x - y} &= \frac{x(x + y)}{x - y} × \frac{x - y}{xy} \\&= \frac{x(x + y)}{xy} \\&= \frac{x + y}{y}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{x + 2}) · \frac{x^{2} + 4x + 4}{x + 1} &= \frac{x + 2 - 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)^{2}}{x + 1} \\&= \frac{x + 1}{x + 2} · \frac{(x + 2)^{2}}{x + 1} \\&= x + 2\end{aligned}$
1.(2021河南,11)若代数式$\frac{1}{x-1}$有意义,则实数x的取值范围是
$x \neq 1$
.答案
$x \neq 1$
解析
分式有意义的条件是分母不为0，所以$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$。
2. 代数式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$的值为0,则实数$x=$
1
.答案
1
解析
要使分式$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$的值为$0$，需分子为$0$且分母不为$0$。分子$\sqrt{x - 1}=0$，则$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。分母$x - 2\neq0$，即$x\neq2$。$x = 1$满足分母不为$0$，所以$x = 1$。
3.(2023河南,5)化简$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$的结果是(
A.0
B.1
C.a
D.$a-2$
B
)A.0
B.1
C.a
D.$a-2$
答案
B
解析
题目要求化简分式表达式$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$，首先将两个分式合并为一个分式，因为分母相同，可以直接相加分子：
$\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a - 1 + 1}{a} = \frac{a}{a} = 1$。
$\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a - 1 + 1}{a} = \frac{a}{a} = 1$。
4.(2025河南,7)化简$\frac{x^{2}-2}{x-1}-\frac{1}{1-x}$的结果是(
A.$x+1$
B.x
C.$x-1$
D.$x-2$
A
)A.$x+1$
B.x
C.$x-1$
D.$x-2$
答案
A
解析
原式：$\frac{x^{2}-2}{x-1}-\frac{1}{1-x}$，
因为$1-x=-(x-1)$，
所以原式可化为：$\frac{x^{2}-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}-2 + 1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}$，
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，
则$\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x-1}=x + 1$。
因为$1-x=-(x-1)$，
所以原式可化为：$\frac{x^{2}-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}-2 + 1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}$，
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，
则$\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x-1}=x + 1$。
