4. (2025 山东)【问题情境】
2025 年 5 月 29 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章. 某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 $3D$ 打印完成，如图 1.
【问题提出】
部件主视图如图 2 所示，由于 $l$ 的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 $l$ 的长度的方案，以检测该部件中 $l$ 的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图 3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合. 示意图如图 4，$\odot O$ 分别与 $AC$，$AD$ 相切于点 $B$，$D$. 用游标卡尺测量出 $CC'$ 的长度 $y$.
【问题解决】
已知 $\angle CAD = \angle C'A'D' = 60^{\circ}$，$l$ 的长度要求是 $1.9$ cm $\sim 2.1$ cm.
(1) 求 $\angle BAO$ 的度数.
(2) 已知钢柱的底面圆半径为 $1$ cm，现测得 $y = 7.52$ cm. 根据以上信息，通过计算说明该部件 $l$ 的长度是否符合要求. (参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$)
【结果反思】
(3) 本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
2025 年 5 月 29 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章. 某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 $3D$ 打印完成，如图 1.
【问题提出】
部件主视图如图 2 所示，由于 $l$ 的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 $l$ 的长度的方案，以检测该部件中 $l$ 的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图 3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合. 示意图如图 4，$\odot O$ 分别与 $AC$，$AD$ 相切于点 $B$，$D$. 用游标卡尺测量出 $CC'$ 的长度 $y$.
【问题解决】
已知 $\angle CAD = \angle C'A'D' = 60^{\circ}$，$l$ 的长度要求是 $1.9$ cm $\sim 2.1$ cm.
(1) 求 $\angle BAO$ 的度数.
(2) 已知钢柱的底面圆半径为 $1$ cm，现测得 $y = 7.52$ cm. 根据以上信息，通过计算说明该部件 $l$ 的长度是否符合要求. (参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$)
【结果反思】
(3) 本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
答案
(1)30°；(2)符合要求；(3)能，球体
解析
(1) ∵⊙O与AC、AD相切，∴OA平分∠CAD。∵∠CAD=60°，∴∠BAO=30°。
(2) 钢柱半径r=1cm，OA=2r=2cm（Rt△OBA中，∠BAO=30°，OB=r=1cm，OA=2cm）。圆心O到A的水平距离=OA·cos30°=√3 cm。两圆心水平距离= l + 2√3。y=两圆心水平距离 + 2r= l + 2√3 + 2。∴l= y - 2 - 2√3≈7.52 - 2 - 2×1.73=2.06cm。∵1.9≤2.06≤2.1，符合要求。
(3) 能，球体。
(2) 钢柱半径r=1cm，OA=2r=2cm（Rt△OBA中，∠BAO=30°，OB=r=1cm，OA=2cm）。圆心O到A的水平距离=OA·cos30°=√3 cm。两圆心水平距离= l + 2√3。y=两圆心水平距离 + 2r= l + 2√3 + 2。∴l= y - 2 - 2√3≈7.52 - 2 - 2×1.73=2.06cm。∵1.9≤2.06≤2.1，符合要求。
(3) 能，球体。
