9. 【易错题】在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 位似，位似中心为原点 $O$，相似比为 $1:2$。若点 $C$ 的坐标为 $(-2,3)$，则点 $C'$ 的坐标为
$(4,-6)$或$(-4,6)$
。答案
$\because$位似中心为原点$O$，相似比为$1:2$，点$C$的坐标为$(-2,3)$，
$\therefore$若位似为同向位似，则点$C^{\prime }$的坐标为$(-2× 2,3× 2)$，即$(-4,6)$，
若位似为反向位似，则点$C^{\prime }$的坐标为$(-2× (-2),3× (-2))$，即$(4,-6)$，
综上，点$C^{\prime }$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,6)$。
$\therefore$若位似为同向位似，则点$C^{\prime }$的坐标为$(-2× 2,3× 2)$，即$(-4,6)$，
若位似为反向位似，则点$C^{\prime }$的坐标为$(-2× (-2),3× (-2))$，即$(4,-6)$，
综上，点$C^{\prime }$的坐标为$(4,-6)$或$(-4,6)$。
10. (2025 安徽改编)如图，在由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 $xOy$，$\triangle ABC$ 的顶点和 $A_1$ 均为格点(网格线的交点)。以点 $O$ 为位似中心，将 $\triangle ABC$ 放大得到 $\triangle A_1B_1C_1$，使得点 $A$ 的对应点为 $A_1$，请在所给的网格图中画出 $\triangle A_1B_1C_1$。
答案
解:
例1 如图 1，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高。
(1) 求证：$\triangle ACD\sim\triangle ABC$；
(思考：图中有几组相似三角形？)
(2) 求线段 $AD$ 的长；
(3) 如图 2，$G$ 为线段 $CD$ 的中点，连接 $AG$ 并延长，交线段 $BC$ 于点 $F$，求 $\frac{CF}{BF}$ 的值。
(1) 求证：$\triangle ACD\sim\triangle ABC$；
(思考：图中有几组相似三角形？)
(2) 求线段 $AD$ 的长；
(3) 如图 2，$G$ 为线段 $CD$ 的中点，连接 $AG$ 并延长，交线段 $BC$ 于点 $F$，求 $\frac{CF}{BF}$ 的值。
答案
(1) 见解析；(2) 18/5；(3) 9/25
解析
(1) ∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC（AA）。图中相似三角形有3组：△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，△ACD∽△BCD。
(2) 在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。由△ACD∽△ABC得AD/AC=AC/AB，∴AD=AC²/AB=6²/10=36/10=18/5。
(3) 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，A(0,6)，B(8,0)，AB方程：y=-3/4x+6，CD方程：y=4/3x。联立得D(72/25,96/25)，G为CD中点，G(36/25,48/25)。AG方程：y=-17/6x+6，与BC（y=0）交于F(36/17,0)。CF=36/17，BF=8-36/17=100/17，CF/BF=36/100=9/25。
(2) 在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。由△ACD∽△ABC得AD/AC=AC/AB，∴AD=AC²/AB=6²/10=36/10=18/5。
(3) 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，A(0,6)，B(8,0)，AB方程：y=-3/4x+6，CD方程：y=4/3x。联立得D(72/25,96/25)，G为CD中点，G(36/25,48/25)。AG方程：y=-17/6x+6，与BC（y=0）交于F(36/17,0)。CF=36/17，BF=8-36/17=100/17，CF/BF=36/100=9/25。
