训练 3. (2022 河南,23)综合与实践
综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平;
操作二:在 AD 上选一点 P,沿 BP 折叠,使点 A 落在矩形内部点 M 处,把纸片展平,连接 PM,BM.
根据以上操作,当点 M 在 EF 上时,写出图 1 中一个 30°的角:.
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片 ABCD 按照(1)中的方式操作,并延长 PM 交 CD 于点 Q,连接 BQ.
①如图 2,当点 M 在 EF 上时,∠MBQ =°,∠CBQ =°;
②改变点 P 在 AD 上的位置(点 P 不与点 A,D 重合),如图 3,判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系,并说明理由.
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm,当 FQ = 1 cm 时,直接写出 AP 的长.

(1) ∠ABP
(2) ①15，15；②∠MBQ=∠CBQ
(3) 24/13 cm或40/11 cm

(1) 设矩形ABCD中，AB=a，AD=b，EF为竖直对称轴（x=a/2）。由折叠得BM=BA，M在EF上，坐标(a/2, (√3/2)a)。计算得∠ABP=30°。
(2) ① 正方形中，BM=BC，∠BMP=90°。通过坐标计算及三角函数得∠MBQ=15°，∠CBQ=15°；② 证Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），得∠MBQ=∠CBQ。
(3) 设Q(x,8)，FQ=1得x=3或5。由勾股定理(t=AP)：(8-t)²+x²=(t+8-x)²，解得t=24/13或40/11。