2. (人教九上P47改编)已知函数$y = x^{2}-2x - 3$,请回答下列问题:
(1)该函数的图象开口向,对称轴为直线,顶点坐标为.
(2)该函数的图象与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为.
(3)当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小;当时,y有最值,为.

(1)上；$x=1$；$(1,-4)$
(2)$(0,-3)$；$(-1,0)$，$(3,0)$
(3)$x＞1$；$x＜1$；$x=1$；小；$-4$

3. 将二次函数$y = 2(x + 3)^{2}-1$的图象先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的二次函数的解析式为.

原二次函数为$y = 2(x + 3)^{2} - 1$。
向右平移1个单位长度：
根据平移规则，将$x$替换为$x - 1$，得到新的函数解析式：
$y = 2(x + 3 - 1)^{2} - 1 = 2(x + 2)^{2} - 1$，
向下平移3个单位长度：
在新函数解析式的基础上，将常数项减3，得到：
$y = 2(x + 2)^{2} - 1 - 3 = 2(x + 2)^{2} - 4$，
所以，平移后的二次函数解析式为$y = 2(x + 2)^{2} - 4$。

三、二次函数与一元二次方程、不等式的关系

思路点拨:1. 抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与x轴交点的横坐标⇨一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根.
2. 位于x轴上方(或x轴下方)的抛物线$y = ax^{2}+bx + c$上点的横坐标的取值范围⇨不等式$ax^{2}+bx + c ＞ 0$(或$ax^{2}+bx + c ＜ 0$)的解集.
⑨；⑩；⑪。

⑨x＜m或x＞n；⑩m＜x＜n；⑪x≠m 。

根据二次函数图像与一元二次方程的关系可知，当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 大于 0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，当 $a ＞ 0$ 时，不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为 $x ＜ m$ 或 $x ＞ n$；不等式 $ax^2 + bx + c ＜ 0$ 的解集为 $m ＜ x ＜ n$。
当判别式 $\Delta = 0$ 时，抛物线与 x 轴有一个交点，即方程有两个相等的实数根，当 $a ＞ 0$ 时，不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为 $x \neq m$；本题中无 $x ＜ 0$ 或 $x ＞ 0$ 这类解集，对于不等式解集为全体实数的情况，只有当$\Delta ＜0$ 时才会存在，此时也满足。
根据以上分析可知，当$\Delta ＞0$ 时，$ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为$x ＜ m$ 或 $x ＞ n$；$ax^2 + bx + c ＜ 0$ 的解集为$m ＜ x ＜ n$。
当$\Delta =0$ 时，$ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为$x \neq m$的所有实数。
当$\Delta ＜0$ 时，$ax^2 + bx + c ＞ 0$ 的解集为全体实数。

4. 已知二次函数$y = -x^{2}+2x + m$的部分函数图象如图所示.

(1)关于x的一元二次方程$-x^{2}+2x + m = 0$的解为;
(2)关于x的不等式$-x^{2}+2x + m ＞ 0$的解集为.

(1)
由图象可知，二次函数$y = -x^{2}+2x + m$的对称轴为$x = 1$，且函数图象过点$(3,0)$。
根据二次函数的对称性，点$(3,0)$关于$x = 1$的对称点为$(-1,0)$，所以关于$x$的一元二次方程$-x^{2}+2x + m = 0$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
(2)
由二次函数$y = -x^{2}+2x + m$的图象开口向下，且与$x$轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$两点，关于$x$的不等式$-x^{2}+2x + m＞0$的解集为$-1\lt x\lt3$。
综上，答案依次为：(1)$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；(2)$-1\lt x\lt3$。