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1.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB≠BD,若E,F分别是边AB,AD的中点,连接EF,EO,FO,则下列结论错误的是 (
A.EF=DO
B.EF⊥AO
C.四边形EOFA是菱形
D.四边形EBOF是菱形
D
)A.EF=DO
B.EF⊥AO
C.四边形EOFA是菱形
D.四边形EBOF是菱形
答案
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BO = OD, BD ⊥ AC,
∵ E,F分别是边AB,AD的中点,
∴ 2EF = BD = BO+OD,EF//BD,
∴ EF=DO,EF⊥AO,
∵ E是AB的中点,O是BD的中点,
∴ 2EO=AD,
同理可得2FO = AB,
∵ AB = AD,
∴ AE = OE = OF = AF,
∴ 四边形EOFA是菱形,
∵ OF=BE,EF=OB,
∴ 四边形EBOF是平行四边形,
∵ AB≠BD,
∴ □EBOF不是菱形,
故选D.
解析
【分析】
解决本题首先要回顾菱形的基本性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分；其次看到边的中点要联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。我们结合这些性质逐个分析选项即可，注意题干中AB≠BD是判断选项D的关键限制条件。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，BO=OD，BD⊥AC，
∵ E，F分别是边AB，AD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BD = BO = OD，EF//BD，
∴ EF=DO，EF⊥AO（由BD⊥AC、EF//BD可推出），故A、B选项结论正确，不符合题意；
∵ E是AB中点，O是BD中点，
∴ EO是△ABD的中位线，即EO = $\frac{1}{2}$AD，
同理可得FO = $\frac{1}{2}$AB，
又
∵ AB=AD，AE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴ AE=OE=OF=AF，
∴ 四边形EOFA是菱形，故C选项结论正确，不符合题意；
∵ EF//BO，且EF=BO，
∴ 四边形EBOF是平行四边形，
∵ AB≠BD，
∴ $\frac{1}{2}$AB ≠ $\frac{1}{2}$BD，即BE≠BO，
∴ 平行四边形EBOF邻边不相等，不是菱形，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质与判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用三角形中位线定理和菱形的相关性质逐一验证选项，解题时要注意题干给出的限制条件，避免遗漏特殊条件出现判断错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回顾菱形的基本性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分；其次看到边的中点要联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。我们结合这些性质逐个分析选项即可，注意题干中AB≠BD是判断选项D的关键限制条件。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，BO=OD，BD⊥AC，
∵ E，F分别是边AB，AD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BD = BO = OD，EF//BD，
∴ EF=DO，EF⊥AO（由BD⊥AC、EF//BD可推出），故A、B选项结论正确，不符合题意；
∵ E是AB中点，O是BD中点，
∴ EO是△ABD的中位线，即EO = $\frac{1}{2}$AD，
同理可得FO = $\frac{1}{2}$AB，
又
∵ AB=AD，AE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AD，
∴ AE=OE=OF=AF，
∴ 四边形EOFA是菱形，故C选项结论正确，不符合题意；
∵ EF//BO，且EF=BO，
∴ 四边形EBOF是平行四边形，
∵ AB≠BD，
∴ $\frac{1}{2}$AB ≠ $\frac{1}{2}$BD，即BE≠BO，
∴ 平行四边形EBOF邻边不相等，不是菱形，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质与判定、三角形中位线定理、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练运用三角形中位线定理和菱形的相关性质逐一验证选项，解题时要注意题干给出的限制条件，避免遗漏特殊条件出现判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 学科特色教材变式「2026广东佛山顺德期中」如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为6 cm的矩形丝带，重叠部分为四边形ABCD.
(1)试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
(2)若∠BAD=45°,求重叠部分的面积.
(1)试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
(2)若∠BAD=45°,求重叠部分的面积.
答案
(1)过点B作BE⊥AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F,如图所示：
依题意得AB//CD,BC//AD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,
∵ 四边形ABCD的面积=AD·BE=AB·DF,且BE=DF=6 cm,
∴ AB=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
(2)
∵ BE=DF=6 cm,∠BAD=45°,
∴ △ABE是等腰直角三角形,
∴ AE=BE=6 cm,
在Rt△ABE中,由勾股定理得 AB = √(AE²+BE²) = √(6²+6²)=6√2 (cm),
∴ 重叠部分的面积是 AB·DF = 36√2 cm².
解析
【分析】
(1)判断重叠四边形ABCD的形状时，首先根据矩形丝带对边平行的性质，可得到四边形ABCD两组对边分别平行，先判定其为平行四边形；接下来要判断是否为特殊平行四边形，丝带的宽度就是平行四边形两组对边之间的高，两条高相等，结合平行四边形“底×高”的面积公式，可推出相邻两边长度相等，即可判定为菱形。
(2)求重叠部分面积时，已知菱形的高为6cm，只需求出菱形的边长即可。结合∠BAD=45°，可得到等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出边长，再用底乘高计算面积即可。
【解析】
(1)过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
依题意得矩形丝带对边平行，因此AB//CD，BC//AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ 平行四边形ABCD的面积=AD·BE=AB·DF，且BE、DF均为丝带的宽度，即BE=DF=6 cm，
∴ AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2)
∵ BE⊥AD，∠BAD=45°，BE=6 cm，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ AE=BE=6 cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{AE^2+BE^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴ 重叠部分的面积=AB·DF = $6\sqrt{2} × 6 = 36\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)过点B作BE⊥AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F,如图所示：
依题意得AB//CD,BC//AD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,
∵ 四边形ABCD的面积=AD·BE=AB·DF,且BE=DF=6 cm,
∴ AB=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
(2)
∵ BE=DF=6 cm,∠BAD=45°,
∴ △ABE是等腰直角三角形,
∴ AE=BE=6 cm,
在Rt△ABE中,由勾股定理得 AB = √(AE²+BE²) = √(6²+6²)=6√2 (cm),
∴ 重叠部分的面积是 AB·DF = 36√2 cm².
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合生活中的丝带重叠场景考查特殊四边形的判定与面积计算，解题的关键是挖掘出“丝带宽度相等”这一隐含条件，将实际问题转化为几何问题求解，能很好地考查学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断重叠四边形ABCD的形状时，首先根据矩形丝带对边平行的性质，可得到四边形ABCD两组对边分别平行，先判定其为平行四边形；接下来要判断是否为特殊平行四边形，丝带的宽度就是平行四边形两组对边之间的高，两条高相等，结合平行四边形“底×高”的面积公式，可推出相邻两边长度相等，即可判定为菱形。
(2)求重叠部分面积时，已知菱形的高为6cm，只需求出菱形的边长即可。结合∠BAD=45°，可得到等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出边长，再用底乘高计算面积即可。
【解析】
(1)过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
依题意得矩形丝带对边平行，因此AB//CD，BC//AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ 平行四边形ABCD的面积=AD·BE=AB·DF，且BE、DF均为丝带的宽度，即BE=DF=6 cm，
∴ AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2)
∵ BE⊥AD，∠BAD=45°，BE=6 cm，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ AE=BE=6 cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{AE^2+BE^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴ 重叠部分的面积=AB·DF = $6\sqrt{2} × 6 = 36\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)过点B作BE⊥AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F,如图所示：
依题意得AB//CD,BC//AD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,
∵ 四边形ABCD的面积=AD·BE=AB·DF,且BE=DF=6 cm,
∴ AB=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
(2)
∵ BE=DF=6 cm,∠BAD=45°,
∴ △ABE是等腰直角三角形,
∴ AE=BE=6 cm,
在Rt△ABE中,由勾股定理得 AB = √(AE²+BE²) = √(6²+6²)=6√2 (cm),
∴ 重叠部分的面积是 AB·DF = 36√2 cm².
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合生活中的丝带重叠场景考查特殊四边形的判定与面积计算，解题的关键是挖掘出“丝带宽度相等”这一隐含条件，将实际问题转化为几何问题求解，能很好地考查学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.7
3.「2026广东深圳期末，★☆」如图，$□ ABCD$的对角线AC,BD交于点O，$BD=2AB$，$AE// BD$，$OE// AB$.
(1)求证:四边形ABOE是菱形.
(2)若$AO=2$，$S_{四边形ABOE}=4\sqrt{3}$，求BD的长.
(1)求证:四边形ABOE是菱形.
(2)若$AO=2$，$S_{四边形ABOE}=4\sqrt{3}$，求BD的长.
答案
(1)证明:
∵ AE//BD,OE//AB,
∴ 四边形ABOE是平行四边形,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB=OD=1/2 BD,
∵ BD=2AB,
∴ AB=OB,
∴ 四边形ABOE是菱形.
(2)连接BE,交OA于F,如图所示：
∵ 四边形ABOE是菱形,
∴ OA⊥BE,AF=OF=1/2 OA=1,BF=EF=1/2 BE,
∵ S四边形ABOE = 1/2 OA·BE = 1/2 ×2×BE=4√3,
∴ BE=4√3 ,
∴ BF=2√3 ,
∴ OB=√(BF²+OF²)=√((2√3 )²+1² )=√13 ,
∴ BD=2OB=2√13 .
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABOE是菱形，按照菱形判定的常规思路，首先证明它是平行四边形，再证一组邻边相等即可。首先由已知的两组对边分别平行，可直接判定ABOE是平行四边形；再利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，结合BD=2AB的条件，可推导出邻边AB=OB，即可得证菱形。
(2) 已知菱形ABOE的面积和对角线AO的长度，可根据菱形面积等于对角线乘积的一半，先求出另一条对角线BE的长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，用勾股定理求出OB的长度，最后结合平行四边形对角线互相平分的性质，即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE//BD，OE//AB，
∴ 四边形ABOE是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵ BD=2AB，
∴ AB=OB，
∴ 四边形ABOE是菱形。
(2) 连接BE，交OA于F，如图所示：
∵ 四边形ABOE是菱形，
∴ OA⊥BE，AF=OF=$\frac{1}{2}$OA=1，BF=EF=$\frac{1}{2}$BE，
∵ $S_{四边形ABOE} = \frac{1}{2} OA·BE = \frac{1}{2} ×2×BE=4\sqrt{3}$，
∴ BE=$4\sqrt{3}$，
∴ BF=$2\sqrt{3}$，
∴ OB=$\sqrt{BF^2+OF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$，
∴ BD=2OB=$2\sqrt{13}$。
【答案】
(1)证明:
∵ AE//BD,OE//AB,
∴ 四边形ABOE是平行四边形,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB=OD=1/2 BD,
∵ BD=2AB,
∴ AB=OB,
∴ 四边形ABOE是菱形.
(2)连接BE,交OA于F,如图所示：
∵ 四边形ABOE是菱形,
∴ OA⊥BE,AF=OF=1/2 OA=1,BF=EF=1/2 BE,
∵ S四边形ABOE = 1/2 OA·BE = 1/2 ×2×BE=4√3,
∴ BE=4√3 ,
∴ BF=2√3 ,
∴ OB=√(BF²+OF²)=√((2√3 )²+1² )=√13 ,
∴ BD=2OB=2√13 .
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、菱形的性质
【点评】
本题属于特殊四边形的基础综合题，考查了平行四边形、菱形的判定与性质，同时结合了勾股定理和菱形面积公式的应用，解题关键是灵活转化特殊四边形的相关性质，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ABOE是菱形，按照菱形判定的常规思路，首先证明它是平行四边形，再证一组邻边相等即可。首先由已知的两组对边分别平行，可直接判定ABOE是平行四边形；再利用平行四边形ABCD对角线互相平分的性质，结合BD=2AB的条件，可推导出邻边AB=OB，即可得证菱形。
(2) 已知菱形ABOE的面积和对角线AO的长度，可根据菱形面积等于对角线乘积的一半，先求出另一条对角线BE的长度；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，用勾股定理求出OB的长度，最后结合平行四边形对角线互相平分的性质，即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE//BD，OE//AB，
∴ 四边形ABOE是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵ BD=2AB，
∴ AB=OB，
∴ 四边形ABOE是菱形。
(2) 连接BE，交OA于F，如图所示：
∵ 四边形ABOE是菱形，
∴ OA⊥BE，AF=OF=$\frac{1}{2}$OA=1，BF=EF=$\frac{1}{2}$BE，
∵ $S_{四边形ABOE} = \frac{1}{2} OA·BE = \frac{1}{2} ×2×BE=4\sqrt{3}$，
∴ BE=$4\sqrt{3}$，
∴ BF=$2\sqrt{3}$，
∴ OB=$\sqrt{BF^2+OF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$，
∴ BD=2OB=$2\sqrt{13}$。
【答案】
(1)证明:
∵ AE//BD,OE//AB,
∴ 四边形ABOE是平行四边形,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OB=OD=1/2 BD,
∵ BD=2AB,
∴ AB=OB,
∴ 四边形ABOE是菱形.
(2)连接BE,交OA于F,如图所示：
∵ 四边形ABOE是菱形,
∴ OA⊥BE,AF=OF=1/2 OA=1,BF=EF=1/2 BE,
∵ S四边形ABOE = 1/2 OA·BE = 1/2 ×2×BE=4√3,
∴ BE=4√3 ,
∴ BF=2√3 ,
∴ OB=√(BF²+OF²)=√((2√3 )²+1² )=√13 ,
∴ BD=2OB=2√13 .
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、菱形的性质
【点评】
本题属于特殊四边形的基础综合题，考查了平行四边形、菱形的判定与性质，同时结合了勾股定理和菱形面积公式的应用，解题关键是灵活转化特殊四边形的相关性质，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4.「★☆」如图,已知等边$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,E为AB中点.以D为圆心,适当长为半径画弧,交DE于点M,交DB于点N,分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线DP交AB于点G.过点E作$EF // BC$交射线DP于点F,连接BF,AF.
(1)求证:四边形BDEF是菱形.
(2)若$AC=4$,求$△ AFD$的面积.
(1)求证:四边形BDEF是菱形.
(2)若$AC=4$,求$△ AFD$的面积.
答案
(1)证明:
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC,∠ABC=60°,
∵ AD⊥BC,
∴ BD=1/2 BC=1/2 AB,
∵ E为AB的中点,
∴ BE=1/2 AB,
∴ BE=BD,
∴ △BED是等边三角形,
∴ BE=BD=DE,
由作图知,DP平分∠EDB,
∴ ∠EDF=∠FDB,
∵ EF//BC,
∴ ∠EFD=∠FDB,
∴ ∠EFD=∠EDF,
∴ EF=ED,
∴ EF=BD,
∴ 四边形BDEF是菱形.
(2)
∵ △ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴ ∠C=60°,∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD=30°,
∵ AC=4,
∴ CD=1/2 AC=2,
∴ AD=√(AC²-CD² )=2√3 ,
∵ 四边形BDEF是菱形,
∴ AG⊥FD,FG=GD.
在Rt△AGD中,
∵ ∠BAD = 30°,
∴ DG = 1/2 AD = √3 ,
∴ AG = √(AD²-DG² ) = 3, FD = 2√3 ,
∴ S△AFD = 1/2 FD · AG = 1/2 ×2√3 ×3 = 3√3 .
∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC,∠ABC=60°,
∵ AD⊥BC,
∴ BD=1/2 BC=1/2 AB,
∵ E为AB的中点,
∴ BE=1/2 AB,
∴ BE=BD,
∴ △BED是等边三角形,
∴ BE=BD=DE,
由作图知,DP平分∠EDB,
∴ ∠EDF=∠FDB,
∵ EF//BC,
∴ ∠EFD=∠FDB,
∴ ∠EFD=∠EDF,
∴ EF=ED,
∴ EF=BD,
∴ 四边形BDEF是菱形.
(2)
∵ △ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴ ∠C=60°,∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD=30°,
∵ AC=4,
∴ CD=1/2 AC=2,
∴ AD=√(AC²-CD² )=2√3 ,
∵ 四边形BDEF是菱形,
∴ AG⊥FD,FG=GD.
在Rt△AGD中,
∵ ∠BAD = 30°,
∴ DG = 1/2 AD = √3 ,
∴ AG = √(AD²-DG² ) = 3, FD = 2√3 ,
∴ S△AFD = 1/2 FD · AG = 1/2 ×2√3 ×3 = 3√3 .
解析
【分析】
(1) 要证四边形BDEF是菱形，可先证其为平行四边形，再证明一组邻边相等。首先利用等边三角形三线合一的性质和E是AB中点的条件，推出BE=BD，证得△BED是等边三角形，得到DE=BD；再根据尺规作图的特征判断DP是∠EDB的角平分线，结合EF//BC的平行关系推导角相等，得到EF=ED，进而得出EF与BD平行且相等，即可先证平行四边形，再结合邻边相等证得菱形。
(2) 求△AFD的面积，需要确定一组对应的底和高。先利用等边三角形的边长和勾股定理求出高AD的长度；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，以及含30°角的直角三角形的边长关系，算出FD和AG的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∠ABC=60°，
∵ AD⊥BC，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵ E为AB的中点，
∴ BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴ BE=BD，
∴ △BED是等边三角形，
∴ BE=BD=DE，
由作图可知，DP平分∠EDB，
∴ ∠EDF=∠FDB，
∵ EF//BC，
∴ ∠EFD=∠FDB，
∴ ∠EFD=∠EDF，
∴ EF=ED，
∴ EF=BD，
又
∵ EF//BD，
∴ 四边形BDEF是平行四边形，
又
∵ BD=DE，
∴ 四边形BDEF是菱形。
(2) 解：
∵ △ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，∠BAD=30°，AC=4，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=2，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵ 四边形BDEF是菱形，
∴ AB垂直平分FD，即AG⊥FD，FG=GD，
在Rt△AGD中，∠BAD=30°，
∴ DG=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴ FD=2DG=$2\sqrt{3}$，
$AG=\sqrt{AD^2-DG^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$，
∴ $S_{△ AFD}=\frac{1}{2} × FD × AG=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 3=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形BDEF是菱形，证明成立；
(2) $\boxed{3\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了尺规作图、特殊三角形与特殊四边形的性质判定，解题的关键是从尺规作图中提取角平分线的结论，再依次推导边角关系，既考查逻辑推理能力，也考查几何计算能力，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题核心。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形BDEF是菱形，可先证其为平行四边形，再证明一组邻边相等。首先利用等边三角形三线合一的性质和E是AB中点的条件，推出BE=BD，证得△BED是等边三角形，得到DE=BD；再根据尺规作图的特征判断DP是∠EDB的角平分线，结合EF//BC的平行关系推导角相等，得到EF=ED，进而得出EF与BD平行且相等，即可先证平行四边形，再结合邻边相等证得菱形。
(2) 求△AFD的面积，需要确定一组对应的底和高。先利用等边三角形的边长和勾股定理求出高AD的长度；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，以及含30°角的直角三角形的边长关系，算出FD和AG的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∠ABC=60°，
∵ AD⊥BC，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵ E为AB的中点，
∴ BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴ BE=BD，
∴ △BED是等边三角形，
∴ BE=BD=DE，
由作图可知，DP平分∠EDB，
∴ ∠EDF=∠FDB，
∵ EF//BC，
∴ ∠EFD=∠FDB，
∴ ∠EFD=∠EDF，
∴ EF=ED，
∴ EF=BD，
又
∵ EF//BD，
∴ 四边形BDEF是平行四边形，
又
∵ BD=DE，
∴ 四边形BDEF是菱形。
(2) 解：
∵ △ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°，∠BAD=30°，AC=4，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=2，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵ 四边形BDEF是菱形，
∴ AB垂直平分FD，即AG⊥FD，FG=GD，
在Rt△AGD中，∠BAD=30°，
∴ DG=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴ FD=2DG=$2\sqrt{3}$，
$AG=\sqrt{AD^2-DG^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3$，
∴ $S_{△ AFD}=\frac{1}{2} × FD × AG=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 3=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形BDEF是菱形，证明成立；
(2) $\boxed{3\sqrt{3}}$
【知识点】
菱形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了尺规作图、特殊三角形与特殊四边形的性质判定，解题的关键是从尺规作图中提取角平分线的结论，再依次推导边角关系，既考查逻辑推理能力，也考查几何计算能力，熟练掌握特殊几何图形的性质是解题核心。
【难度系数】
0.7
