1[中]如图,点A,D,B,E在一条直线上,AC//DF,BC//EF,AC=DF,试说明AD=BE.

1.【解】因为 $AC// DF,BC// EF$,所以 $∠ A = ∠ EDF$,$∠ ABC= ∠ E$. 又因为 $AC = DF$,所以 $△ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{AAS})$,所以 $AB=DE$,所以 $AB-BD = DE-BD$,所以 $AD=BE$.

2[中]如图(1)是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图(2)所示，$AB=AE$，$AC=AD$，$∠ BAD=∠ EAC$，$∠ C=50°$，求$∠ D$的大小。

2.【解】因为$∠ BAD = ∠ EAC$,所以$∠ BAD+ ∠ CAD = ∠ EAC+ ∠ CAD$,即$∠ BAC = ∠ EAD$.
在$△ BAC$与$△ EAD$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC= ∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
所以$△ BAC≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$,所以$∠ D= ∠ C=50°$.

3[中]如图,已知$AD = AB, AC = AE, ∠DAB = ∠CAE$,连结$DC, BE$.
(1)试说明:$△BAE ≌ △DAC$.
(2)若$∠CAD = 125°, ∠D = 20°$,求$∠E$的度数.

3.【解】(1)因为 $∠ DAB = ∠ CAE$,所以 $∠ DAB + ∠ BAC= ∠ CAE+ ∠ BAC$,所以 $∠ DAC = ∠ BAE$. 又因为 $AD = AB, AC = AE$,所以 $△ BAE ≌ △ DAC$($\mathrm{SAS}$).
(2)因为$△ BAE≌ △ DAC$,所以$∠ E= ∠ C$.
因为$∠ CAD=125°, ∠ D=20°$,所以$∠ C=180°-(∠ CAD+ ∠ D)=180°-(125°+20°)=35°$,所以$∠ E= ∠ C=35°$.

4[中]在平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连结DE,BH,两线交于点M.试说明:
(1)$BH=DE$.
(2)$BH⊥ DE$.

4.【解】(1)在正方形 $ABCD$ 与正方形 $CEFH$ 中,$BC=DC,CH=CE, ∠ BCD = ∠ ECH = 90°$,所以 $∠ BCD+ ∠ DCH= ∠ ECH+ ∠ DCH$,即 $∠ BCH= ∠ DCE$.
在$△ BCH$和$△ DCE$中,$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠ BCH= ∠ DCE, \\ CH=CE, \end{cases}$
所以$△ BCH≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$,所以 $BH=DE$.
(2)设 $BH$ 与 $CD$ 相交于点 $O$. 因为 $△ BCH≌ △ DCE$,所以 $∠ CBH= ∠ CDE$. 又因为 $∠ BOC= ∠ DOM$,所以 $∠ DMB = ∠ BCD = 90°$,所以 $BH ⊥ DE$.
思路分析
(1)根据正方形的性质可得$BC=CD,CE=CH, ∠ BCD= ∠ ECH=90°$,然后得到$∠ BCH= ∠ DCE$,再利用“边角边”证明 $△ BCH$ 和 $△ DCE$ 全等,根据全等三角形对应边相等即可证明结论;
(2)根据全等三角形对应角相等可得$∠ CBH= ∠ CDE$,然后根据三角形的内角和定理求出$∠ DMB= ∠ BCD=90°$,再根据垂直的定义即可证明结论.

5[2025 四川泸州期中,中](1)如图(1),在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,直线$m$经过点$A$,$BD ⊥$直线$m$,$CE ⊥$直线$m$,垂足分别为点$D$和点$E$,试说明:$△ ADB ≌ △ CEA$,$DE=BD+CE$;(2)如图(2),将(1)中的条件改为在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$A$,$E$三点都在直线$m$上,且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$,结论$DE=BD+CE$是否仍然成立?请说明理由.

关键点拨
利用角的和差关系得出$∠ CAE = ∠ ABD$,再利用 AAS 判定 $△ ADB≌ △ CEA$ 是解题的关键.
5.【解】(1)因为 $BD ⊥$ 直线 $m$,$CE ⊥$ 直线 $m$,所以 $∠ BDA = ∠ CEA = 90°$,所以 $∠ BAD+ ∠ ABD=90°$.
因为 $∠ BAC=90°$,所以 $∠ BAD+ ∠ CAE=90°$,所以 $∠ CAE= ∠ ABD$.
在$△ ADB$和$△ CEA$中,$\begin{cases} ∠ BDA= ∠ AEC, \\ ∠ ABD= ∠ CAE, \\ AB=AC, \end{cases}$
所以 $△ ADB≌ △ CEA(\mathrm{AAS})$,所以 $BD=AE,AD=CE$,所以 $DE=AE+AD=BD+CE$.
(2)仍然成立. 理由:
因为 $∠ BDA= ∠ BAC= α$,所以 $∠ DBA+ ∠ BAD= ∠ BAD+ ∠ CAE=180°-α$,所以 $∠ CAE= ∠ ABD$.
在$△ ADB$和$△ CEA$中,$\begin{cases} ∠ BDA= ∠ AEC, \\ ∠ ABD= ∠ CAE, \\ AB=AC, \end{cases}$
所以 $△ ADB≌ △ CEA(\mathrm{AAS})$,所以 $BD=AE,AD=CE$,所以 $DE=AE+AD=BD+CE$.