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1.「2025安徽中考」如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上。已知$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的大小为________°。
答案
答案 20
解析 连接OB(图略),
∵ PB与$\odot O$相切,
∴ $∠ OBP=90°$,
∵ $∠ P=50°$,
∴ $∠ POB=90°-∠ P=40°$,
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=20°$。
解析 连接OB(图略),
∵ PB与$\odot O$相切,
∴ $∠ OBP=90°$,
∵ $∠ P=50°$,
∴ $∠ POB=90°-∠ P=40°$,
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=20°$。
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先考虑作过切点的半径这一常用辅助线。本题中PB是$\odot O$的切线，切点为B，因此先连接OB，可利用切线的性质得到直角；接着在$Rt△ OBP$中，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ POB$的度数；最后$∠ PAB$是弧AB所对的圆周角，$∠ POB$是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理即可求出$∠ PAB$的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与$\odot O$相切于点B，
∴ $OB⊥ PB$，即$∠ OBP=90°$，
在$Rt△ OBP$中，$∠ P=50°$，
∴ $∠ POB=90°-∠ P=40°$，
∵ $∠ POB$是弧AB所对的圆心角，$∠ PAB$是弧AB所对的圆周角，
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线问题的常用辅助线作法，以及圆周角与圆心角的数量关系，解题的关键是熟练掌握切线性质，正确作出辅助线。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，首先考虑作过切点的半径这一常用辅助线。本题中PB是$\odot O$的切线，切点为B，因此先连接OB，可利用切线的性质得到直角；接着在$Rt△ OBP$中，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ POB$的度数；最后$∠ PAB$是弧AB所对的圆周角，$∠ POB$是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理即可求出$∠ PAB$的度数。
【解析】
连接OB，
∵ PB与$\odot O$相切于点B，
∴ $OB⊥ PB$，即$∠ OBP=90°$，
在$Rt△ OBP$中，$∠ P=50°$，
∴ $∠ POB=90°-∠ P=40°$，
∵ $∠ POB$是弧AB所对的圆心角，$∠ PAB$是弧AB所对的圆周角，
∴ $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查切线问题的常用辅助线作法，以及圆周角与圆心角的数量关系，解题的关键是熟练掌握切线性质，正确作出辅助线。
【难度系数】
0.7
2.「2026江苏苏州振华中学月考改编」如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C在$\odot O$上，且$∠ ACB=50°$，则$∠ APB=$
80°
.答案
答案 $80°$
解析 如图,连接OA,OB,
∵ PA,PB是$\odot O$的切线,
∴ $OA⊥ PA,OB⊥ PB$,
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$,
∴ $∠ AOB+∠ APB=180°$,
∵ $∠ AOB=2∠ ACB=100°$,
∴ $∠ APB=80°$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们先连接OA、OB构造直角，可得∠OAP和∠OBP均为90°；接下来要求∠APB，观察到∠APB在四边形OAPB中，四边形内角和为360°，已知两个直角，因此只需要求出圆心角∠AOB的度数即可；而∠AOB和已知的∠ACB是同弧AB所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠AOB，最后代入就能求出∠APB。
【解析】
如图，连接OA、OB，
∵PA，PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠OAP=∠OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴$∠OAP+∠OBP+∠AOB+∠APB=360°$，即$∠AOB+∠APB=180°$，
∵∠ACB和∠AOB是同弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴$∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°$，
∴$∠APB=180°-100°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆相关的辅助线构造技巧，遇到切线时连接圆心和切点是常用的辅助线做法，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们先连接OA、OB构造直角，可得∠OAP和∠OBP均为90°；接下来要求∠APB，观察到∠APB在四边形OAPB中，四边形内角和为360°，已知两个直角，因此只需要求出圆心角∠AOB的度数即可；而∠AOB和已知的∠ACB是同弧AB所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可算出∠AOB，最后代入就能求出∠APB。
【解析】
如图，连接OA、OB，
∵PA，PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠OAP=∠OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴$∠OAP+∠OBP+∠AOB+∠APB=360°$，即$∠AOB+∠APB=180°$，
∵∠ACB和∠AOB是同弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴$∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°$，
∴$∠APB=180°-100°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆相关的辅助线构造技巧，遇到切线时连接圆心和切点是常用的辅助线做法，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点O在AB上，OB=3，以OB长为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则弦BE=
4
。答案
答案 4
解析 如图,连接OD,过点O作$OF⊥ BC$于F,
∵ AC与$\odot O$相切于点D,
∴ $OD⊥ AC$,
∵ $∠ C=90°$,
∴ 四边形DOFC为矩形,
∴ $FC=OD=3$,
∴ $BF=BC-FC=5-3=2$,
∵ $OF⊥ BE$,
∴ $BE=2BF=4$。
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先利用切线性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OD得到OD⊥AC；要求弦BE的长度，可结合垂径定理，过圆心O作BE的垂线OF，将BE转化为2BF，只需计算BF长度即可。结合已知∠C=90°，可判定四边形ODCF为矩形，得到FC等于半径长度，再结合BC的长度即可求出BF，进而得到BE的长度。
【解析】
如图，连接OD，过点O作$OF⊥ BC$于F。
∵ AC与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD⊥ AC$，
∵ $∠ C=90°$，即$BC⊥AC$，
∴ $OD// BC$，又$OF⊥BC$、$∠C=90°$，
∴ 四边形DOFC为矩形，
∴ $FC=OD$，
∵ OD是$\odot O$的半径，$OB=3$，
∴ $FC=OD=OB=3$，
∴ $BF=BC-FC=5-3=2$，
∵ $OF⊥ BE$且OF过圆心O，根据垂径定理可得：
∴ $BE=2BF=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质，垂径定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题核心是根据切线性质、垂径定理的使用条件添加合适的辅助线，通过构造矩形转化线段长度，属于圆章节的高频基础考点，需熟练掌握这类辅助线的添加方法。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，首先利用切线性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OD得到OD⊥AC；要求弦BE的长度，可结合垂径定理，过圆心O作BE的垂线OF，将BE转化为2BF，只需计算BF长度即可。结合已知∠C=90°，可判定四边形ODCF为矩形，得到FC等于半径长度，再结合BC的长度即可求出BF，进而得到BE的长度。
【解析】
如图，连接OD，过点O作$OF⊥ BC$于F。
∵ AC与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD⊥ AC$，
∵ $∠ C=90°$，即$BC⊥AC$，
∴ $OD// BC$，又$OF⊥BC$、$∠C=90°$，
∴ 四边形DOFC为矩形，
∴ $FC=OD$，
∵ OD是$\odot O$的半径，$OB=3$，
∴ $FC=OD=OB=3$，
∴ $BF=BC-FC=5-3=2$，
∵ $OF⊥ BE$且OF过圆心O，根据垂径定理可得：
∴ $BE=2BF=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质，垂径定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题核心是根据切线性质、垂径定理的使用条件添加合适的辅助线，通过构造矩形转化线段长度，属于圆章节的高频基础考点，需熟练掌握这类辅助线的添加方法。
【难度系数】
0.7
4.「2025广东中考」如图，点O是Rt△ABC斜边AC上的一点，以OA长为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.
答案
证明 连接OD(图略),
∵ $\odot O$与边BC相切,
∴ $∠ ODC=90°$,
∵ $∠ ABC=90°$,
∴ $∠ ODC = ∠ ABC$,
∴ $OD// AB$,
∴ $∠ ODA=∠ BAD$,
∵ $OA=OD$,
∴ $∠ ODA=∠ OAD$,
∴ $∠ BAD=∠ OAD$,
∴ AD平分$∠ BAC$。
∵ $\odot O$与边BC相切,
∴ $∠ ODC=90°$,
∵ $∠ ABC=90°$,
∴ $∠ ODC = ∠ ABC$,
∴ $OD// AB$,
∴ $∠ ODA=∠ BAD$,
∵ $OA=OD$,
∴ $∠ ODA=∠ OAD$,
∴ $∠ BAD=∠ OAD$,
∴ AD平分$∠ BAC$。
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是要证∠BAD=∠OAD。首先看到题干给出⊙O与BC相切，根据切线的性质，遇到切线优先连接圆心和切点，可得OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠ABC=90°，可推出OD和AB的平行关系，得到内错角相等的结论；再利用OA和OD都是⊙O半径，等边对等角得到另一组角相等，通过等量代换即可完成角相等的证明。
【解析】
证明：连接OD，
∵ $\odot O$与边BC相切，D为切点，
∴ $∠ ODC=90°$,
∵ $△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$,
∴ $∠ ODC = ∠ ABC$,
∴ $OD// AB$（同位角相等，两直线平行）,
∴ $∠ ODA=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）,
∵ $OA、OD$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$,
∴ $∠ ODA=∠ OAD$（等边对等角）,
∴ $∠ BAD=∠ OAD$,
∴ AD平分$∠ BAC$。
【答案】
证明过程如上，AD平分∠BAC得证。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题核心是掌握切线类问题的常用辅助线作法：遇切线，连接圆心和切点得到垂直关系，再结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系即可得证，属于圆章节的常规考点题型。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，本质是要证∠BAD=∠OAD。首先看到题干给出⊙O与BC相切，根据切线的性质，遇到切线优先连接圆心和切点，可得OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠ABC=90°，可推出OD和AB的平行关系，得到内错角相等的结论；再利用OA和OD都是⊙O半径，等边对等角得到另一组角相等，通过等量代换即可完成角相等的证明。
【解析】
证明：连接OD，
∵ $\odot O$与边BC相切，D为切点，
∴ $∠ ODC=90°$,
∵ $△ ABC$是直角三角形，$∠ ABC=90°$,
∴ $∠ ODC = ∠ ABC$,
∴ $OD// AB$（同位角相等，两直线平行）,
∴ $∠ ODA=∠ BAD$（两直线平行，内错角相等）,
∵ $OA、OD$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OD$,
∴ $∠ ODA=∠ OAD$（等边对等角）,
∴ $∠ BAD=∠ OAD$,
∴ AD平分$∠ BAC$。
【答案】
证明过程如上，AD平分∠BAC得证。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题核心是掌握切线类问题的常用辅助线作法：遇切线，连接圆心和切点得到垂直关系，再结合平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系即可得证，属于圆章节的常规考点题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,点B在$\odot A$上,点C在$\odot A$外,以下条件不能判定BC是$\odot A$的切线的是 (
A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B-∠ C=∠ A$
C.$AB^2+BC^2=AC^2$
D.$\odot A$与AC的交点是AC的中点
D
)A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B-∠ C=∠ A$
C.$AB^2+BC^2=AC^2$
D.$\odot A$与AC的交点是AC的中点
答案
D A.$\because ∠ A=50°,∠ C=40°,\therefore ∠ B=180°-∠ A-∠ C=90°,\therefore BC⊥ AB$,
∵ 点B在$\odot A$上,
∴ AB是$\odot A$的半径,
∴ BC是$\odot A$的切线;B.$\because ∠ B-∠ C=∠ A,\therefore ∠ B=∠ A+∠ C$,$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ B=90°,\therefore BC⊥ AB$,
∵ 点B在$\odot A$上,
∴ AB是$\odot A$的半径,
∴ BC是$\odot A$的切线;C.$\because AB^2+BC^2=AC^2,\therefore △ ABC$是直角三角形,$∠ B=90°,\therefore BC⊥ AB$,
∵ 点B在$\odot A$上,
∴ AB是$\odot A$的半径,
∴ BC是$\odot A$的切线;D.$\because \odot A$与AC的交点是AC的中点,$\therefore AB=\frac{1}{2}AC$,但不能证出$∠ B=90°$,$\therefore$ 不能判定BC是$\odot A$的切线。故选D。
∵ 点B在$\odot A$上,
∴ AB是$\odot A$的半径,
∴ BC是$\odot A$的切线;B.$\because ∠ B-∠ C=∠ A,\therefore ∠ B=∠ A+∠ C$,$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ B=90°,\therefore BC⊥ AB$,
∵ 点B在$\odot A$上,
∴ AB是$\odot A$的半径,
∴ BC是$\odot A$的切线;C.$\because AB^2+BC^2=AC^2,\therefore △ ABC$是直角三角形,$∠ B=90°,\therefore BC⊥ AB$,
∵ 点B在$\odot A$上,
∴ AB是$\odot A$的半径,
∴ BC是$\odot A$的切线;D.$\because \odot A$与AC的交点是AC的中点,$\therefore AB=\frac{1}{2}AC$,但不能证出$∠ B=90°$,$\therefore$ 不能判定BC是$\odot A$的切线。故选D。
解析
【分析】
要判定BC是$\odot A$的切线，根据切线的判定定理，已知点B在$\odot A$上，即AB是$\odot A$的半径，因此只需证明$AB⊥ BC$（即$∠ ABC=90°$）即可。本题要求选出不能判定的选项，只需逐一验证各选项能否推出$∠ ABC=90°$即可。
【解析】
A选项：已知$∠ A=50°,∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-40°=90°$，即$BC⊥ AB$。又因为点B在$\odot A$上，AB是$\odot A$的半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
B选项：已知$∠ B-∠ C=∠ A$，即$∠ B=∠ A+∠ C$。结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，即$BC⊥ AB$。又因为点B在$\odot A$上，AB是$\odot A$的半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
C选项：已知$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$BC⊥ AB$。又因为点B在$\odot A$上，AB是$\odot A$的半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
D选项：已知$\odot A$与AC的交点是AC的中点，可得$AB=\frac{1}{2}AC$，但仅由此条件无法推出$∠ B=90°$，因此不能判定BC是$\odot A$的切线，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心是考查切线判定条件的应用，需牢牢记住切线判定的两个必备要素：直线经过半径的外端点、直线与该半径垂直，解题时结合三角形的角度、边长性质判断垂直关系即可。
【难度系数】
0.8
要判定BC是$\odot A$的切线，根据切线的判定定理，已知点B在$\odot A$上，即AB是$\odot A$的半径，因此只需证明$AB⊥ BC$（即$∠ ABC=90°$）即可。本题要求选出不能判定的选项，只需逐一验证各选项能否推出$∠ ABC=90°$即可。
【解析】
A选项：已知$∠ A=50°,∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-40°=90°$，即$BC⊥ AB$。又因为点B在$\odot A$上，AB是$\odot A$的半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
B选项：已知$∠ B-∠ C=∠ A$，即$∠ B=∠ A+∠ C$。结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$∠ B+∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，即$BC⊥ AB$。又因为点B在$\odot A$上，AB是$\odot A$的半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
C选项：已知$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$BC⊥ AB$。又因为点B在$\odot A$上，AB是$\odot A$的半径，所以BC是$\odot A$的切线，该选项不符合题意。
D选项：已知$\odot A$与AC的交点是AC的中点，可得$AB=\frac{1}{2}AC$，但仅由此条件无法推出$∠ B=90°$，因此不能判定BC是$\odot A$的切线，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心是考查切线判定条件的应用，需牢牢记住切线判定的两个必备要素：直线经过半径的外端点、直线与该半径垂直，解题时结合三角形的角度、边长性质判断垂直关系即可。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,OA与⊙D相切于点E.求证:OB与⊙D相切.
答案
证明 如图,连接DE,过点D作$DF⊥ OB$于点F。
∵ OA与$\odot D$相切于点E,
∴ $DE⊥ OA$。
∵ $DF⊥ OB$,OD平分$∠ AOB$,
∴ $DF=DE$,即DF是$\odot D$的半径,
∴ OB与$\odot D$相切。
解析
【分析】
要证明OB与$\odot D$相切，需依据切线的判定条件：圆心到直线的距离等于半径时，直线为圆的切线。首先已知OA是$\odot D$的切线，根据切线性质，连接切点E和圆心D可得到垂直于OA的半径DE；再结合OC是$∠ AOB$的角平分线，角平分线上的点到角两边距离相等，因此过D作OB的垂线DF，可证DF与DE长度相等，即DF等于$\odot D$的半径，且DF垂直OB，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接DE，过点D作$DF⊥ OB$于点F。
∵ OA与$\odot D$相切于点E，
∴ $DE⊥ OA$，且DE是$\odot D$的半径。
∵ D在$∠ AOB$的角平分线OC上，$DF⊥ OB$，$DE⊥ OA$，
∴ 根据角平分线的性质可得$DF=DE$，即DF是$\odot D$的半径，
又
∵ $DF⊥ OB$，符合切线的判定条件，
∴ OB与$\odot D$相切。
【答案】
证明 如图,连接DE,过点D作$DF⊥ OB$于点F。
∵ OA与$\odot D$相切于点E,
∴ $DE⊥ OA$。
∵ $DF⊥ OB$,OD平分$∠ AOB$,
∴ $DF=DE$,即DF是$\odot D$的半径,
∴ OB与$\odot D$相切。
【知识点】
切线的性质，角平分线的性质，切线的判定
【点评】
本题属于切线判定的基础常规题，解题关键是掌握切线类问题的辅助线规律：已知切线时连半径得垂直，证切线时作垂直证半径，结合角平分线的性质即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
要证明OB与$\odot D$相切，需依据切线的判定条件：圆心到直线的距离等于半径时，直线为圆的切线。首先已知OA是$\odot D$的切线，根据切线性质，连接切点E和圆心D可得到垂直于OA的半径DE；再结合OC是$∠ AOB$的角平分线，角平分线上的点到角两边距离相等，因此过D作OB的垂线DF，可证DF与DE长度相等，即DF等于$\odot D$的半径，且DF垂直OB，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接DE，过点D作$DF⊥ OB$于点F。
∵ OA与$\odot D$相切于点E，
∴ $DE⊥ OA$，且DE是$\odot D$的半径。
∵ D在$∠ AOB$的角平分线OC上，$DF⊥ OB$，$DE⊥ OA$，
∴ 根据角平分线的性质可得$DF=DE$，即DF是$\odot D$的半径，
又
∵ $DF⊥ OB$，符合切线的判定条件，
∴ OB与$\odot D$相切。
【答案】
证明 如图,连接DE,过点D作$DF⊥ OB$于点F。
∵ OA与$\odot D$相切于点E,
∴ $DE⊥ OA$。
∵ $DF⊥ OB$,OD平分$∠ AOB$,
∴ $DF=DE$,即DF是$\odot D$的半径,
∴ OB与$\odot D$相切。
【知识点】
切线的性质，角平分线的性质，切线的判定
【点评】
本题属于切线判定的基础常规题，解题关键是掌握切线类问题的辅助线规律：已知切线时连半径得垂直，证切线时作垂直证半径，结合角平分线的性质即可快速推导结论。
【难度系数】
0.8
7.「2026江苏徐州睢宁期中」如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，弦CD与AB交于点E，P是AB延长线上一点，且$PD=PE$.求证：PD是$\odot O$的切线.
答案
证明 如图,连接OC,OD,
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore OC⊥ AB$。
∵ $OC=OD$,$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。
∵ $PD=PE$,$\therefore ∠ PDE=∠ PED$,
∵ $∠ PED=∠ CEO$,
$\therefore ∠ PDE+∠ ODC=∠ CEO+∠ OCD=90°$,
即$∠ PDO=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径,$\therefore PD$是$\odot O$的切线。
解析
【分析】
要证明PD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知PD与$\odot O$交于点D，因此只需证明$OD⊥ PD$即可。首先作辅助线连接OC、OD，先利用C是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质得到$OC⊥ AB$，推出$∠ OCD+∠ CEO=90°$；再结合等腰三角形等边对等角的性质、对顶角相等的性质，将角度转化到$∠ ODC$和$∠ PDE$上，即可推出$∠ ODP=90°$，从而完成证明。
【解析】
证明：如图，连接OC，OD，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore OC⊥ AB$。
∵ $OC=OD$，$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。
∵ $PD=PE$，$\therefore ∠ PDE=∠ PED$，
∵ $∠ PED=∠ CEO$，
$\therefore ∠ PDE+∠ ODC=∠ CEO+∠ OCD=90°$，
即$∠ PDO=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径，$\therefore PD$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明 如图,连接OC,OD,
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore OC⊥ AB$。
∵ $OC=OD$,$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。
∵ $PD=PE$,$\therefore ∠ PDE=∠ PED$,
∵ $∠ PED=∠ CEO$,
$\therefore ∠ PDE+∠ ODC=∠ CEO+∠ OCD=90°$,
即$∠ PDO=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径,$\therefore PD$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是切线判定的常规题型，解题的核心是通过连接过交点的半径，将证明切线转化为证明半径与直线垂直，解题过程中需要灵活运用等腰三角形性质完成角度转换，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要证明PD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知PD与$\odot O$交于点D，因此只需证明$OD⊥ PD$即可。首先作辅助线连接OC、OD，先利用C是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质得到$OC⊥ AB$，推出$∠ OCD+∠ CEO=90°$；再结合等腰三角形等边对等角的性质、对顶角相等的性质，将角度转化到$∠ ODC$和$∠ PDE$上，即可推出$∠ ODP=90°$，从而完成证明。
【解析】
证明：如图，连接OC，OD，
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore OC⊥ AB$。
∵ $OC=OD$，$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。
∵ $PD=PE$，$\therefore ∠ PDE=∠ PED$，
∵ $∠ PED=∠ CEO$，
$\therefore ∠ PDE+∠ ODC=∠ CEO+∠ OCD=90°$，
即$∠ PDO=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径，$\therefore PD$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明 如图,连接OC,OD,
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore OC⊥ AB$。
∵ $OC=OD$,$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。
∵ $PD=PE$,$\therefore ∠ PDE=∠ PED$,
∵ $∠ PED=∠ CEO$,
$\therefore ∠ PDE+∠ ODC=∠ CEO+∠ OCD=90°$,
即$∠ PDO=90°$。
∵ OD是$\odot O$的半径,$\therefore PD$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是切线判定的常规题型，解题的核心是通过连接过交点的半径，将证明切线转化为证明半径与直线垂直，解题过程中需要灵活运用等腰三角形性质完成角度转换，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
