7.如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ B=∠ D$，则下列结论错误的是（）

A.$△ ABC≌△ CDA$
B.$∠ 1=∠ CAD$
C.$AD// BC$
D.$AB=CD$

7.B

【分析】
解题时首先从已知条件出发，结合图形的公共边，先利用AAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，随后利用平行线的判定定理判断平行关系，最后逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
第一步：找△ABC和△CDA的相等条件，已知∠1=∠2，∠B=∠D，AC是两个三角形的公共边，满足AAS全等判定的条件；
第二步：由全等性质得到对应边、对应角相等，验证A、D选项；
第三步：由全等得到的内错角相等，判断AD和BC的平行关系，验证C选项；
第四步：判断B选项，已知条件无法推出∠1=∠CAD，即可确定错误选项。
【解析】
解：在$△ ABC$和$△ CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2 \\∠B=∠D \\AC=CA\end{array} $
∴$△ ABC≌△ CDA$（AAS），故A选项正确，不符合题意；
由全等三角形的性质可得：$AB=CD$，$∠ACB=∠CAD$，故D选项正确，不符合题意；
∵$∠ACB=∠CAD$，这两个角是直线AD、BC被AC所截的内错角，内错角相等，两直线平行，
∴$AD// BC$，故C选项正确，不符合题意；
现有已知条件无法推出$∠1=∠CAD$，故B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的AAS判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题将全等三角形的判定、性质和平行线的判定结合考查，解题的关键是准确找到两个三角形的公共边，先证明全等，再利用全等的性质推导后续结论，分析选项时要注意区分全等的对应角，避免混淆。
【难度系数】
0.7

8.如图，点O在AD上，∠A=∠C，∠AOC=∠BOD，AB=CD，AD=6，OB=2，则OC的长为。

（第8题图）
（第9题图）

8.4

【分析】
首先根据已知的角相等关系，通过角的和差推导得出一组相等的对应角，再结合另外两组已知的角相等、边相等的条件，用AAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度即可求出OC的长。
【解析】
解：
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB，即∠AOB=∠COD。
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C\\∠AOB=∠COD\\AB=CD\end{array} $
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO=CO，OB=OD。
∵OB=2，
∴OD=2，
又
∵AD=6，
∴AO=AD-OD=6-2=4，
∴OC=AO=4。
【答案】
4
【知识点】
全等三角形的AAS判定，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是通过角的和差得到全等需要的等角条件，再利用全等对应边相等的性质转化线段关系求解，是三角形全等章节的常见考法。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC.$若点$C$的坐标为$(-1,0)$,点$A$的坐标为$(-6,3)$,则点$B$的坐标为.

9.(2,5)

【分析】
要确定点B的坐标，可通过构造全等三角形将坐标问题转化为线段长度计算。已知∠ACB=90°且AC=BC，我们过A作AD垂直x轴于D，过B作BE垂直x轴于E，可得到两个直角三角形，利用同角的余角相等推出一组角相等，结合已知的边相等即可证明两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等求出相关线段长度，最终得到点B的坐标。
【解析】
解：过点A作$AD ⊥ x$轴于点D，过点B作$BE ⊥ x$轴于点E，则$∠ ADC = ∠ CEB = 90°$。
$\therefore ∠ CAD + ∠ ACD = 90°$，
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 90°$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ BCE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ CEB \\∠ CAD = ∠ BCE \\AC = BC\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$。
已知$C(-1,0)$，$A(-6,3)$，可得：
$AD=3$，$CD = (-1) - (-6) = 5$，
由全等三角形的性质得：$CE=AD=3$，$BE=CD=5$，
$\therefore$点E的横坐标为$-1 + 3 = 2$，点B的纵坐标等于BE的长度为5，
即点B的坐标为$(2,5)$。
【答案】
$(2,5)$
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.平面直角坐标系中点的坐标
3.同角的余角相等
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的常规题型，通过构造“K型”全等模型实现坐标与线段长度的转化，考查了学生的几何转化思想和基本作图能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，$AD ⊥ CE$，$BE ⊥ CE$，垂足分别为$D$，$E$。
(1)求证：$△ ACD ≌ △ CBE$；
(2)试探究线段$AD$，$DE$，$BE$之间的数量关系，并说明理由。

10. (1)证明:$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°.$
$\therefore ∠ ACE+∠ CAD=90°. \because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE+∠ ACE=90°. \therefore ∠ BCE=∠ CAD.$ 在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\because \begin{cases} ∠ CAD=∠ BCE, \\ ∠ ADC=∠ CEB, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ CBE(\mathrm{AAS}).$
(2)解:$AD=BE+DE$. 理由如下:$\because △ ACD≌ △ CBE,\therefore CD=BE,AD=CE. \because CE=CD+DE,\therefore AD=BE+DE.$

【分析】
(1)要证明△ACD≌△CBE，首先由AD⊥CE、BE⊥CE可得两个三角形均为直角三角形，有一组直角相等；再结合已知AC=BC，只需再找一组等角即可。根据∠ACB=90°和直角三角形两锐角互余的性质，利用“同角的余角相等”可推出∠CAD=∠BCE，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)探究线段数量关系时，可先利用全等三角形对应边相等的性质，得到AD=CE、CD=BE，再观察CE是由CD和DE两段组成，通过等量代换即可推导出三条线段的关系。
【解析】
(1)证明：
$\because AD⊥CE,BE⊥CE,$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°,$
$\therefore ∠ACE+∠CAD=90°$（直角三角形两锐角互余），
$\because ∠ACB=90°,$
$\therefore ∠BCE+∠ACE=90°,$
$\therefore ∠BCE=∠CAD$（同角的余角相等）。
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠CAD=∠BCE \\∠ADC=∠CEB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS})$。
(2)解：线段数量关系为$AD=BE+DE$，理由如下：
$\because △ ACD≌△ CBE,$
$\therefore CD=BE,AD=CE$（全等三角形对应边相等），
又$\because CE=CD+DE,$
代入等量得：$AD=BE+DE$。
【答案】
(1)证明如上；
(2)$AD=BE+DE$，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用型考题，解题核心是先通过角的互余关系推导等角，完成全等证明，再借助全等的性质推导线段关系，是几何入门的典型考法，对培养几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7

11. 如图，在$△ ABC$中，D是AC边的中点，点E在BD上，点F在BD的延长线上，连接AE，CF，且$AE// CF$。
(1)求证：$△ ADE≌△ CDF$；
(2)延长BF至点M，连接CM。若$BF=15$，$DE=\frac{9}{2}$，则当FM为多长时，$AB// CM$？请补全图形并说明理由。

11. (1)证明:$\because D$是AC边的中点,$\therefore AD=CD. \because AE// CF,\therefore ∠ EAD=∠ FCD,$$∠ AED=∠ CFD.$ 在$△ ADE$和$△ CDF$中,$\because \begin{cases} ∠ EAD=∠ FCD, \\ ∠ AED=∠ CFD, \\ AD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ CDF(\mathrm{AAS}).$
(2)解:补全图形如图所示. 当$FM=6$时,$AB// CM$.理由如下:$\because △ ADE≌ △ CDF,\therefore DF=DE=\frac{9}{2}. \therefore BE=BF-DF-DE=6. \because AB// CM,\therefore ∠ ABD=∠ M.$ 在$△ ADB$和$△ CDM$中,$\because \begin{cases} ∠ ABD=∠ M, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ AD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ADB≌ △ CDM(\mathrm{AAS}). \therefore DM=DB. \therefore DM-DF=DB-DE,即FM=BE=6.$

【分析】
(1) 要证明△ADE≌△CDF，先从已知条件入手：D是AC中点可得AD=CD，AE//CF可推出两组内错角对应相等，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 若要AB//CM，需先得到∠ABD=∠M，结合D是AC中点的条件，可证明△ADB≌△CDM，得到DM=DB。再借助(1)中全等的结论得到DF=DE，通过线段和差计算即可推出FM的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D是AC边的中点，
∴ AD=CD。
∵ AE//CF，
∴ ∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases} ∠EAD=∠FCD \\ ∠AED=∠CFD \\ AD=CD \end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$。
(2) 补全图形如图所示：
当$FM=6$时，$AB// CM$，理由如下：
∵ $△ ADE≌△ CDF$，
∴ $DF=DE=\frac{9}{2}$。
∴ $BE=BF-DF-DE=15-\frac{9}{2}-\frac{9}{2}=6$。
若$AB// CM$，则$∠ABD=∠M$。
在$△ ADB$和$△ CDM$中：
$\begin{cases} ∠ABD=∠M \\ ∠ADB=∠CDM \\ AD=CD \end{cases}$
∴ $△ ADB≌△ CDM(\mathrm{AAS})$。
∴ $DM=DB$。
等式两边同时减去相等的DF和DE，可得$DM-DF=DB-DE$，即$FM=BE=6$。
【答案】
(1) 证明:$\because D$是AC边的中点,$\therefore AD=CD. \because AE// CF,\therefore ∠ EAD=∠ FCD,$$∠ AED=∠ CFD.$ 在$△ ADE$和$△ CDF$中,$\because \begin{cases} ∠ EAD=∠ FCD, \\ ∠ AED=∠ CFD, \\ AD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ CDF(\mathrm{AAS}).$
(2) 解:补全图形如图所示. 当$FM=6$时,$AB// CM$.理由如下:$\because △ ADE≌ △ CDF,\therefore DF=DE=\frac{9}{2}. \therefore BE=BF-DF-DE=6. \because AB// CM,\therefore ∠ ABD=∠ M.$ 在$△ ADB$和$△ CDM$中,$\because \begin{cases} ∠ ABD=∠ M, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ AD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ADB≌ △ CDM(\mathrm{AAS}). \therefore DM=DB. \therefore DM-DF=DB-DE,即FM=BE=6.$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是三角形全等与平行线性质的综合应用题，第一问较为基础，直接结合已知条件即可证明全等；第二问需要从结论反向推导成立的条件，对逻辑推理能力有一定要求，能帮助学生巩固全等三角形相关的知识应用。
【难度系数】
0.7