18. 已知函数$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x},x＜0,\\x^{2}-2x,0\leq x＜3,\\-x + 6,x\geq3.\end{cases}$
(1)求$f(f(1))$的值；
(2)若$f(a)= 2$,求a的值；
(3)请在如图所示的坐标系中画出此函数的图象,并根据图象写出函数$f(x)$的值域.

解：(1) 由题意，知$f(1) = 1^2 - 2 \times 1 = -1$，所以$f(f(1)) = f(-1) = \frac{1}{-1} = -1$。
(2) 当$a ＜ 0$时，由$f(a) = \frac{1}{a} = 2$，解得$a = \frac{1}{2}$（舍去）；
当$0 \leq a ＜ 3$时，由$f(a) = a^2 - 2a = 2$，解得$a = 1 + \sqrt{3}$或$a = 1 - \sqrt{3}$（舍去）；
当$a \geq 3$时，由$f(a) = -a + 6 = 2$，解得$a = 4$。
综上，$a$的值为$1 + \sqrt{3}$或4。
(3) 作出函数图象如图所示。
　　　　　
由图可知，函数$f(x)$的值域为$(-\infty, 3]$。

19. 已知$f(x)= \frac{x}{x^{2}+4}$,$x∈[-2,2]$.
(1)判断$f(x)$的奇偶性并说明理由；
(2)求证：函数$f(x)在[-2,2]$上单调递增；
(3)若不等式$f(x)\leq a^{2}-\frac{7}{4}对任意的x∈[-2,2]$恒成立,求实数a的取值范围.

解：(1) $f(x)$为奇函数。理由如下：
当$x \in [-2, 2]$时，$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 4} = \frac{-x}{x^2 + 4} = -f(x)$，故$f(x)$为奇函数。
(2) 证明：令$-2 \leq x_1 ＜ x_2 \leq 2$，则$f(x_1) - f(x_2)$
$ = \frac{x_1}{x_1^2 + 4} - \frac{x_2}{x_2^2 + 4}$
$ = \frac{x_1(x_2^2 + 4) - x_2(x_1^2 + 4)}{(x_1^2 + 4)(x_2^2 + 4)}$
$ = \frac{x_1x_2(x_2 - x_1) + 4(x_1 - x_2)}{(x_1^2 + 4)(x_2^2 + 4)}$
$ = \frac{(x_2 - x_1)(x_1x_2 - 4)}{(x_1^2 + 4)(x_2^2 + 4)}$。
$\because -2 \leq x_1 ＜ x_2 \leq 2$，
$\therefore x_2 - x_1 ＞ 0$，$x_1x_2 - 4 ＜ 0$，$x_1^2 + 4 ＞ 0$，$x_2^2 + 4 ＞ 0$，
$\therefore f(x_1) - f(x_2) ＜ 0$，
$\therefore f(x_1) ＜ f(x_2)$，$\therefore$函数$f(x)$在$[-2, 2]$上单调递增。
(3) 因为$f(x) \leq a^2 - \frac{7}{4}$对任意的$x \in [-2, 2]$恒成立，且由(2)知，$f(x)$在$[-2, 2]$上单调递增，所以$f(x)_{\max} = f(2) = \frac{1}{4}$，所以$a^2 - \frac{7}{4} \geq \frac{1}{4}$，即$a^2 \geq 2$，解得$a \geq \sqrt{2}$或$a \leq -\sqrt{2}$，所以$a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, +\infty)$。

20. 已知二次函数$f(x)= ax^{2}+bx + c$,且$f(0)= 1$.
(1)若函数$f(x)的最小值为f(-1)= 0$,求$f(x)$的解析式；
(2)若$b= -2$,求函数$f(x)在区间[0,2]$上的最小值.
(提示：(1)根据$f(0)= 1$,最小值$f(-1)= 0$列出方程(组)；(2)二次函数$f(x)$的解析式中a不确定,故需要根据开口方向和对称轴的位置进行分类讨论)

解：(1) 因为二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，且$f(0) = 1$，所以$c = 1$。
由题意，得$\begin{cases} a ＞ 0, \\ -\frac{b}{2a} = -1, \\ f(-1) = a - b + 1 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = 2, \end{cases}$所以$f(x) = x^2 + 2x + 1$。
(2) 因为$b = -2$，$f(0) = 1$，所以二次函数$f(x) = ax^2 - 2x + 1$，其图象的对称轴为$x = \frac{1}{a}$。
①当$a ＜ 0$时，$f(x)$的图象是开口向下的抛物线，且在区间$[0, 2]$上单调递减，所以当$x = 2$时，$f(x)$取得最小值，即$f(x)_{\min} = f(2) = 4a - 3$；
②当$0 ＜ \frac{1}{a} ＜ 2$，即$a ＞ \frac{1}{2}$时，$f(x)$在区间$[0, \frac{1}{a}]$上单调递减，在区间$[\frac{1}{a}, 2]$上单调递增，所以$f(x)_{\min} = f(\frac{1}{a}) = -\frac{1}{a} + 1 = 1 - \frac{1}{a}$；
③当$\frac{1}{a} \geq 2$，即$0 ＜ a \leq \frac{1}{2}$时，$f(x)$的图象开口向上，且函数在区间$[0, 2]$上单调递减，所以$f(x)_{\min} = f(2) = 4a - 3$。
综上所述，当$a ＜ 0$或$0 ＜ a \leq \frac{1}{2}$时，$f(x)_{\min} = 4a - 3$；当$a ＞ \frac{1}{2}$时，$f(x)_{\min} = 1 - \frac{1}{a}$。