登录
22. 如图7，在四边形$ABDF$中，点$E$，$C$为对角线$BF$上的两点，$AB = DF$，$AC = DE$，$EB = CF$。连接$AE$，$CD$。
（1）求证：四边形$ABDF$是平行四边形；
（2）若$AE = AC$，求证：$AB = DB$。
（1）求证：四边形$ABDF$是平行四边形；
（2）若$AE = AC$，求证：$AB = DB$。
答案
【解析】：
（1）
因为$EB = CF$，所以$EB + EC = CF + EC$，即$BC = FE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases}AB = DF\\AC = DE\\BC = FE\end{cases}$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DFE$。
所以$\angle ABC=\angle DFE$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// DF$。
又因为$AB = DF$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABDF$是平行四边形。
（2）
因为$\triangle ABC\cong\triangle DFE$，所以$AC = DE$。
又因为$AE = AC$，所以$AE = DE$。
因为四边形$ABDF$是平行四边形，所以$AB// DF$，$AB = DF$，$AF// BD$。
由$\triangle ABC\cong\triangle DFE$可得$\angle BAC=\angle EDF$。
因为$AE = AC$，所以$\angle AEC=\angle ACE$。
因为$AB// DF$，所以$\angle BAC+\angle FAC=\angle EDF+\angle EDFC$，又因为$\angle BAC=\angle EDF$，所以$\angle FAC=\angle EDFC$，所以$AE// CD$。
又因为$AC// DE$，所以四边形$AEDC$是平行四边形。
又因为$AE = DE$，所以平行四边形$AEDC$是菱形，所以$AD\perp EC$。
因为$AF// BD$，$AB// DF$，四边形$ABDF$是平行四边形，$AD\perp BF$，所以平行四边形$ABDF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
所以$AB = DB$。
【答案】：
（1）证明见上述解析，可证四边形$ABDF$是平行四边形。
（2）证明见上述解析，可证$AB = DB$。
（1）
因为$EB = CF$，所以$EB + EC = CF + EC$，即$BC = FE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases}AB = DF\\AC = DE\\BC = FE\end{cases}$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DFE$。
所以$\angle ABC=\angle DFE$，根据内错角相等，两直线平行，可得$AB// DF$。
又因为$AB = DF$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABDF$是平行四边形。
（2）
因为$\triangle ABC\cong\triangle DFE$，所以$AC = DE$。
又因为$AE = AC$，所以$AE = DE$。
因为四边形$ABDF$是平行四边形，所以$AB// DF$，$AB = DF$，$AF// BD$。
由$\triangle ABC\cong\triangle DFE$可得$\angle BAC=\angle EDF$。
因为$AE = AC$，所以$\angle AEC=\angle ACE$。
因为$AB// DF$，所以$\angle BAC+\angle FAC=\angle EDF+\angle EDFC$，又因为$\angle BAC=\angle EDF$，所以$\angle FAC=\angle EDFC$，所以$AE// CD$。
又因为$AC// DE$，所以四边形$AEDC$是平行四边形。
又因为$AE = DE$，所以平行四边形$AEDC$是菱形，所以$AD\perp EC$。
因为$AF// BD$，$AB// DF$，四边形$ABDF$是平行四边形，$AD\perp BF$，所以平行四边形$ABDF$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
所以$AB = DB$。
【答案】：
（1）证明见上述解析，可证四边形$ABDF$是平行四边形。
（2）证明见上述解析，可证$AB = DB$。
23. 如图8，在$\mathrm{Rt}\triangle ACB$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，过点$C$的直线$MN // AB$，$D$为$AB$边上一点，过点$D$作$DE \perp BC$，交直线$MN$于点$E$，垂足为$F$，连接$CD$，$BE$。
（1）求证：$CE = AD$。
（2）当$D$在$AB$中点时，四边形$BECD$是什么特殊四边形？请说明你的理由。
（3）若$D$为$AB$中点，则当$\angle A$的大小满足什么条件时，四边形$BECD$是正方形？请说明你的理由。
（1）求证：$CE = AD$。
（2）当$D$在$AB$中点时，四边形$BECD$是什么特殊四边形？请说明你的理由。
（3）若$D$为$AB$中点，则当$\angle A$的大小满足什么条件时，四边形$BECD$是正方形？请说明你的理由。
答案
【解析】：
（1）
因为$MN// AB$，所以$\angle ECD=\angle ADC$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE\perp BC$，所以$AC// DE$，则$\angle EDC=\angle ACD$。
在$\triangle EDC$和$\triangle ADC$中，$\begin{cases}\angle ECD=\angle ADC \\CD = DC\\\angle EDC=\angle ACD\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle EDC\cong\triangle ADC$，所以$CE = AD$。
（2）
当$D$是$AB$中点时，$AD = BD$，由（1）知$CE = AD$，所以$CE = BD$。
又因为$CE// BD$，所以四边形$BECD$是平行四边形。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$中点，所以$CD = BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），所以平行四边形$BECD$是菱形。
（3）
当$\angle A = 45^{\circ}$时，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC = 45^{\circ}$。
由（2）知四边形$BECD$是菱形，此时$\angle DBC = 45^{\circ}$，$\angle BDC = 90^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BCD = 45^{\circ}$，$\angle DBC = 45^{\circ}$）。
有一个角是直角的菱形是正方形，所以四边形$BECD$是正方形。
【答案】：
（1）通过证明$\triangle EDC\cong\triangle ADC(ASA)$，得出$CE = AD$。
（2）菱形，理由：先证四边形$BECD$是平行四边形，再由$CD = BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），得出是菱形。
（3）$\angle A = 45^{\circ}$，理由：先由$\angle A = 45^{\circ}$推出$\angle ABC = 45^{\circ}$，再结合菱形$BECD$中$\angle DBC = 45^{\circ}$，得出$\angle BDC = 90^{\circ}$，从而得出是正方形。
（1）
因为$MN// AB$，所以$\angle ECD=\angle ADC$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE\perp BC$，所以$AC// DE$，则$\angle EDC=\angle ACD$。
在$\triangle EDC$和$\triangle ADC$中，$\begin{cases}\angle ECD=\angle ADC \\CD = DC\\\angle EDC=\angle ACD\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle EDC\cong\triangle ADC$，所以$CE = AD$。
（2）
当$D$是$AB$中点时，$AD = BD$，由（1）知$CE = AD$，所以$CE = BD$。
又因为$CE// BD$，所以四边形$BECD$是平行四边形。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$中点，所以$CD = BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），所以平行四边形$BECD$是菱形。
（3）
当$\angle A = 45^{\circ}$时，因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC = 45^{\circ}$。
由（2）知四边形$BECD$是菱形，此时$\angle DBC = 45^{\circ}$，$\angle BDC = 90^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BCD = 45^{\circ}$，$\angle DBC = 45^{\circ}$）。
有一个角是直角的菱形是正方形，所以四边形$BECD$是正方形。
【答案】：
（1）通过证明$\triangle EDC\cong\triangle ADC(ASA)$，得出$CE = AD$。
（2）菱形，理由：先证四边形$BECD$是平行四边形，再由$CD = BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），得出是菱形。
（3）$\angle A = 45^{\circ}$，理由：先由$\angle A = 45^{\circ}$推出$\angle ABC = 45^{\circ}$，再结合菱形$BECD$中$\angle DBC = 45^{\circ}$，得出$\angle BDC = 90^{\circ}$，从而得出是正方形。
